Силовой расчет механизма

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ 
 

Исходные  данные 

     Исследуемая механическая система, изображенная на рисунке 1 (грузоподъёмный механизм), состоит из колес 1, 2 и груза 3. На колесо 1 действует момент M(t) = (30t+5900) Нм. На колесо 2 действует постоянный момент сил сопротивления M_c = 600Нм.

     В начальный момент времени t=0 угол поворота колеса φ₁₀ = 0, его начальная угловая скорость ω₁₀ = 2 рад/с.

     Массы тел 1, 2, 3 соответственно равны m₁ =        кг, m₂ =       кг, m₃ =      кг.

Радиусы колес  R₁ = 0,8 м, r₁ = 0,6 м, R₂ = 0,2 м.

Радиусы инерции  колеса 1 относительно его оси вращения i_z1 = 0,7 м. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заданное  время t₁ = 3с. Тело приведения - колесо 2. 
 

Требуется

    1. Нарисовать силовую схему механизма и из условий равновесия системы в предельном статическом состоянии определить максимальное значение активного момента М_{макс.стат.}, который может быть приложен к колесу 1 без нарушения состояния покоя. Найти при этом усилия взаимодействия колес 1 и 2, силу натяжения троса подвески груза 3 а также реакции опор колёс.

    2. Нарисовать кинематическую схему  механизма. Принять угловое перемещение, скорость и ускорение тела приведения 1 в качестве соответственно обобщённой координаты, обобщённой скорости и обобщённого ускорения механизма. Выразить перемещения, скорости, ускорения тел 1 и 3 через обобщённую координату, обобщённую скорость и обобщённое ускорение механизма.

    3. Определить кинетическую энергию  механизма, выразив ее через  обобщённую скорость.

    4. Определить суммарную мощность  всех сил, действующих на механизм, выразив ее через обобщённую  скорость.

    5. Применяя теорему об изменении  кинетической энергии в дифференциальной форме, составить дифференциальное уравнение движения механизма. Решить это уравнение и определить уравнение движения механизма.

    6. Используя полученное решение  и найденные в п. 2 кинематические  соотношения, составить уравнения движения тел 2 и 3. Найти выражения для скоростей и ускорений этих тел.

    7. Применяя теорему о движении центра масс для груза 3, зная его уравнение движения, найти силу динамического натяжения троса, прикрепленного к грузу, в заданный момент времени t₁.

    8. Примеряя теорему об изменении  кинетического момента для колеса 1, зная его закон движения, определить силы взаимодействия колес 1 и 2 в заданный момент времени t₁.

    9. Применяя принцип Даламбера, найти  динамические реакции опор колес,  а также силы взаимодействия  колес 1 и 2 в заданный момент  времени t₁.

    10. Применяя принцип возможных перемещений, определить максимальный активный статический момент М_{макс.стат.}.

    11. Составить дифференциальное уравнение  движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода. Сравнить это уравнение с уравнением, выведенным в пункте 5.

    12. Сделать выводы по работе. 
 
 
 
 
 

1.СТАТИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА 

     Рассматривается предельное статическое состояние  механизма. Конструкция рассекается на части, как показано на рис. 2. Анализируется равновесие каждой части.

     Приняты, следующие обозначения: Р₁, Р₂, P₃ - силы тяжести первого и второго колёс, а также груза 3; R_ax, R_ay, R_bx, R_by реакции опор колёс; Q- силы действия и противодействия в контакте колёс; F - силы натяжения троса подвески груза. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Расчёт  сил тяжести:

сила тяжести  первого колеса - Р_] = m₁g =

сила тяжести  второго колеса -  Р₂ = m₂g =

сила  тяжести груза -                   Р₃ = m₃g =

     Уравнение равновесия груза:

F-P₃ =0.

Из (1.1) вытекает, что натяжение троса  подвески груза равно

F = Р₃ = 

     Уравнения равновесия для колеса 2:

  
 
 

Из (1.4) определяется сила взаимодействия колёс: 
 

а из (1.2), (1.3) определяются реакции:  
 

     Уравнения равновесия для колеса 1: 
 
 
 

Из (1.5), (1.6) определяются реакции: 
 

а также  максимальный активный статический  момент 
 
 

2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ  МЕХАНИЗМА 

     Кинематическая  схема механизма дана на рис. 3. Введены  обозначения: φ₁, ω₁, ε₁ - угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение колеса 1; φ₂, ω₂, ε₂ - то же для колеса 2; s, V, a, - линейное перемещение, скорость и ускорение тела 3. На рис. 3 показаны направления этих параметров при их положительном значении.

     Кинематические  параметры тела приведения, то есть колеса 2, принимаются в качестве обобщенных параметров, характеризующих  движение всего механизма, имеющего одну степень свободы: φ₂ - обобщённая координата, ω₂ -обобщённая скорость, ε₂ - обобщённое ускорение, тел 1 и 3 выражаются через обобщённые параметры. 

Кинематические  параметры колеса 1: 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Кинематические  параметры груза 3: 
 
 
 

Определение начальных условий движения механизма: 

3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ  МЕХАНИЗМА 

     Используем  схему механизма, данную на рис. 3. Выражаем кинетическую энергию механизма  через обобщённую скорость ω₂.Вычисление кинетической энергии механизма выполняется с учетом формул, полученных в разделе 2.

     Кинетическая  энергия системы равна сумме  кинетических энергий всех звеньев, участвующих в движении: 
 

где Т₁ - кинетическая энергия колеса 1, Т₂ - кинетическая энергия колеса 2, Т₃ -   кинетическая энергия груза 3.

     Определение кинетической энергии колеса 1, вращающегося вокруг неподвижной оси: 
 

Здесь                                                               - осевой момент инерции колеса 1.

     Определение кинетической энергии колеса 2, вращающегося вокруг неподвижной оси: 
 

Здесь                                                                              - осевой момент инерции колеса 2.

     Определение кинетической энергии груза 3, движущегося  поступательно: 
 

С учетом формул (3.2)-(3.4) из (3.1) получается выражение  для полной кинетической энергии механизма: 

4. СУММАРНАЯ МОЩНОСТЬ  ВСЕХ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ

НА  МЕХАНИЗМ. 

     Расчётная схема для вычисления мощности показана на рис 4. Выражаем суммарную мощность всех сил, действующих на механизм, через обобщённую скорость ω₂.

     Для заданной механической системы, состоящей из абсолютно твёрдых тел и нерастяжимого невесомого троса, мощность всех внутренних сил равна нулю, поэтому необходимо вычислить мощность только внешних сил.

     Суммарная мощность сил, действующих на механизм, равна

N = N_M + N_Мc + N_P3,

где N_M - мощность активного момента, действующего на колесо 1,

N_Mc  - мощность момента сил сопротивления, действующего на колесо 2,

N_P3 - мощность силы тяжести груза 3.

     Определение мощности активного момента, действующего на колесо 1. 

Определение мощности момента сил сопротивления, приложенного к колесу 2. 
 

Определение мощности силы тяжести груза 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Подставляя (4.2)-(4.4) в (4.1),«получим выражение для  полной мощности сил, действующих на механизм: 

5. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ  МЕХАНИЗМА 

     Исследуемый механизм является системой с одной  степенью свободы, поэтому движение одного тела (тела приведения) определяет движение всех остальных тел. Перемещение тела приведения -колеса 2, то есть угол поворота ф₂, выбирается в качестве обобщённой координаты.

     Для получения дифференциального уравнения  движения механизма применяется теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме, согласно которой производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех сил, приложенных точкам системы.

где Т =                             - суммарная кинетическая энергия механизма,

                                     - суммарная мощность внешних  сил,

  - мощность внутренних сил.

     Подставляя (5.2), (5.3) в (5.1) и дифференцируя функцию (5.2), получим соотношение  

откуда 

Выражение (5.5) с одной стороны представляет зависимость углового ускорения колеса 2 от времени, а с другой стороны является дифференциальным уравнением движения исследуемого механизма.

     Интегрируем дифференциальное уравнение (5.5) методом  разделения переменных, используя определённые интегралы: 
 
 

Выражение (5.6) является формулой угловой скорости колеса 2, то есть формулой обобщённой скорости механизма. Эту зависимость можно представить в виде дифференциального уравнения 
 

Интегрируем дифференциальное уравнение (5.7) методом  разделения переменных, используя определённые интегралы: