Полупроводники

      В соответствии с тем, что имеется 6 эллипсоидов равной энергии, плотность состояний, которая выражается для одного эллипсоида равенством

,

увеличится  в 6 раз. Если учесть, что для кремния  m₁=m₂, то

,

а эффективная  масса плотности состояний для  электронов с учетом значений m₁=0,19m₀ и m₃=0,98m₀ будет:

                                     .                                 (1)

      Следовательно, у кремния все 6 эллипсоидов изоэнергетической  поверхности зоны проводимости можно  заменить одной сферической поверхностью с эффективной массой плотности состояний для электронов, равной 1,08m₀.

      Для валентной зоны максимум энергии  находится в центре зоны Бриллюэна  к=0 для всех трех полос, при этом в этой точке все три зоны смыкаются, так что энергия в центре зоны Бриллюэна оказывается вырожденной(Рис.5). 

      Рис.5. Поверхности равной энергии в  валентной зоне кремния.

      

 
 

      Учет  спин-орбитального взаимодействия (тонкой структуры уровней) приводит к тому, что вырождение частично снимается. Связь между энергией и волновым вектором задается формулой:

,

,

где и - энергии, которые соответствуют тяжелым и легким дыркам соответственно, а - отщепленным дыркам, скалярные эффективные массы которых можно посчитать по формулам:

,   .

- безразмерные константы. 

Опыт  дает m_T^*=0,49m₀, m_Л^*=0,16m₀.

      Плотность состояний будет определяться суммой плотности состояний в зонах тяжелых и легких дырок:

.

Изоэнергетические поверхности обеих зон можно  заменить одной приведенной сферой с плотностью состояний

,

для которой  эффективная масса плотности состояний для дырок равна:

                                     .                            (2) 
 
 

Расчет  уровня Ферми и  концентрации носителей  заряда в примесном  полупроводнике. 

      Рассмотрим  полупроводник, в который введена примесь одного вида, например, донорная. Уравнение нейтральности для такого полупроводника принимает вид

.

      Для перевода электрона из валентной  зоны в зону проводимости необходима энергия, равная ширине запрещенной зоны, в то время как для перевода электрона с уровня примеси в зону проводимости необходима энергия, равная энергии ионизации примеси, которая много меньше ширины запрещенной зоны. Поэтому при низкой температуре основную роль будут играть переходы электронов с примесного уровня, следовательно p<<N_D⁺. Неравенство сохранится до тех пор, пока вся примесь не будет ионизована. Однако с ростом температуры произойдет ионизация примеси, и рост концентрации электронов n будет происходить вместе с ростом концентрации дырок p. При больших температурах p>>N_D⁺=N_D, и полупроводник станет собственным.

      Область низких температур.

       , или n=p_D.

Решая уравнение, получим

.

Из  этих соотношений можно найти  уровень Ферми:

.

Выражение для концентрации электронов будет  иметь вид

.

      С ростом температуры  стремится к единице, N_c возрастает и может стать больше N_D, однако при достаточно малых температурах может быть выполнено неравенство

,

и выражение  для положения уровня Ферми записывается в виде:

.

При T=0

,

т.е. уровень  Ферми лежит посередине между  дном зоны проводимости и примесным  уровнем. При повышении температуры уровень Ферми повышается, проходит через максимум, а затем опускается. 

При 2N_C=N_D уровень Ферми снова находится в середине между E_C и E_D.

      Концентрация  электронов

.

      Рассмотрим  противоположный случай:

,

тогда для уровня Ферми будет справедливым выражение:

.

      С ростом температуры уровень Ферми  опускается. Концентрация электронов для этого случая: n=N_D, т.е. концентрация электронов не зависит от температуры и равна концентрации примеси. Эта область температур носит название области истощения примеси. Переход от области примесной проводимости к области истощения происходит при температуре насыщения T_s. T_s — температура, при которой F=E_D, ее можно определить из условия

.

Отсюда

. 

      Область высоких температур. 

      С ростом температуры концентрация дырок  возрастает и может стать сравнимой  с концентрацией электронов, тогда  уравнение электронейтральности будет  иметь вид:     .

Решая это уравнение, получим

.

Учитывая  связь между n и F и предыдущую формулу, то можно записать выражение для уровня Ферми в области высоких температур:

.

      По  мере приближения уровня Ферми к  середине запрещенной зоны концентрация дырок возрастает при практически неизменной концентрации электронов. При дальнейшем росте концентрации дырок будет происходить и рост концентрации электронов, достигается равенство n=p, и полупроводник из примесного превращается в собственный. Температура, при которой происходит этот переход, называется температурой истощения примеси.

      Условием  перехода будет выступать равенство  p=N_D или n=2N_D, откуда можно найти эту граничную температуру:

,

или

. 

      Концентрация, при которой наступает полное вырождение полупроводника ( ), находится из соотношения:

      

и будет  равна 

. 
 
 

      Вывод формул для дырочного полупроводника аналогичен выводу для электронного. 

Основные  формулы для дырочного полупроводника: 

Зависимость концентрации дырок от температуры  в области низких температур:

Зависимость уровня Ферми от температуры в области  низких температур:

Зависимость концентрации дырок от температуры  в области высоких температур:

 

Зависимость уровня Ферми от температуры в области  высоких температур:

Температура насыщения примеси: 

Температура истощения примеси: 

Концентрация  акцепторов, при которой наступает  полное вырождение:

. 
 
 
 
 
 
 
 

Расчет  времени жизни  носителей заряда. 

      Реальные  полупроводниковые материалы содержат обычно примеси нескольких типов, каждая из которых может создавать один или несколько уровней в запрещенной зоне полупроводника. Дефекты решетки, обычно нейтральные в состоянии термодинамического равновесия и способные захватывать подвижные носители заряда одного знака и освобождать их, называются ловушками захвата. Ограничимся рассмотрением случая, когда в полупроводнике имеется один тип ловушек, создающий энергетический уровень.

      Время жизни носителей заряда определяется формулой

      

.

      В случае малого уровня возбуждения, когда , время жизни неравновесных носителей заряда имеет вид:

      

,

      

, ,

      где Sp и Sn – сечения захвата электронов и дырок,

Nt – концентрация рекомбинационных центров,

V_T – тепловая скорость. 
 
 
 
 
 
 
 

Расчет s(T). Формулы для подвижности. 

      Удельная  электропроводность примесных полупроводников  определяется по формуле s=qnm_n для донорного и по формуле s=qpm_p для акцепторнрго полупроводника. Для вычисления s(T) необходимо найти температурную зависимость подвижности.

      Кремний является неполярным полупроводником. Для него существуют два основных механизма рассеяния, которые существенно  влияют на подвижность, а именно рассеяние  на акустических фононах и на ионизированных примесях. 

      При низких температурах, когда число  фононов в кристалле сильно уменьшено  охлаждением, подвижность определяется рассеянием на ионизованных примесных  центрах.

      Каждый  ионизованный центр в кристалле  представляет собой неподвижный  отрицательный или положительный заряд, который может отклонить траекторию пролетающего электрона.

      Подвижность, связанная с рассеянием на ионах  примеси, описывается формулой Бруккса-Херринга:

,

где N_I – концентрация ионов примеси, n – концентрация электронов проводимости.

      При высоких температурах в Si электроны рассеиваются преимущественно продольными акустическими фононами.

      При возникновении продольных акустических колебаний происходит смещение центра тяжести элементарной ячейки и происходит упругая деформация кристаллической решетки, которая приводит к изменению положения краев зоны проводимости и валентной зоны, что адекватно возникновению на пути движения носителей заряда потонциального барьера и рассеянию на нем  носителей заряда.

      Подвижность, связанная с рассеянием на акустических фононах описывается формулой Бардина-Шокли:

      

,