Материальные уравнения Максвелла для биологических объектов

где - проводимость биологической ткани, а - плотность носителей тока, заряд и скорость соответственно.

Если  к электролиту приложено электрическое поле , то на ионы сорта с зарядом , где - валентность иона, будет действовать сила . Однако ясно, что скорость иона не может возрастать безгранично, поскольку при своём движении он испытывает силу трения, которая пропорциональна его скорости . Эту силу можно представить в виде , где - коэффициент трения. В результате совместного действия электрической силы и силы трения устанавливается стационарное движение иона, при котором 

                                                                                                     (3.1.2) 

где - подвижность иона.

Скорость  ионов, как правило, невелики, например при поле 1 В/см и температуре 25 градусов С большинство ионов в воде двигаются со скоростью порядка  см/c. Исключение составляют ионы водорода, которые могут двигаться со скоростью порядка   см/c [19].   

Учитывая (3.1.1) и (3.1.2), находим плотность тока,  ионов данного сорта:  

                                                                                           (3.1.3)

Если  в растворе имеется несколько  сортов ионов, то суммарный ток определяется суммой парциальных ионных  токов из соотношения: 

                                                                                   (3.1.4) 

В связи  с тем, что масса ионов, переносящих  ток в электролитах, велика,  случае переменного напряжения инерционные свойства ионов могут влиять на перенос тока. Связь ускорения ионов, их массы и прикладываемого к среде электрического поля, имеет вид: 
 

                                                 ,                                              (3.1.5) 

где и – масса и заряд иона соответственно, – напряженность электрического поля, – скорость движения заряда.

В данном уравнении считается, что заряд иона отрицательный. Используя соотношение (3.1.1) и (3.1.5), получаем значение плотности ионного тока ионов данного сорта: 

                                                   .                          (3.1.6) 

Введя обозначение

                                                     ,                                     (3.1.7)                 

где - удельная кинетическая индуктивность ионов данного сорта, получаем

                                                        .                                (3.1.8)

 Существование кинетической индуктивности связано с тем, что заряд, имея массу, обладает инерционными свойствами. Для случая гармонических полей соотношение (3.1.8) запишется:

                                                     .                         (3.1.9)

                            

Из соотношения (3.1.8) и (3.1.9) видно, что представляет  индуктивный ток, т.к. его фаза запаздывает по отношению к напряжённости электрического поля на угол  .

Если  в электролите находятся разные сорта ионов, то суммарный индуктивный ток запишется как их сумма: 

                                                                        (3.1.10) 

С учётом соотношений (3.1.4) и (3.1.10) общий ток, текущий через электролит можно записать 

                            (3.1.11) 

Полученное  соотношение показывает интересную особенность суммарного тока, текущего через электролит. Резистивный ток, представленный первым членом правой части, от частоты не зависит, в то же время индуктивный ток, представленный вторым членом правой части, обратно пропорционален частоте и на низких частотах может существенно превосходить резистивный ток. Это обстоятельство говорит о том, что, работая на низких частотах легко перепутать резистивный и индуктивный ток. Для того чтобы их различать, необходимо измерять разность фаз между прикладываемым электрическим полем и током, текущим через электролит. Таким образом, всегда можно подобрать частоту так, чтобы измерять активную составляющую плотности ионного тока.  
 

3.2. Диэлектрические среды биологических тканей. 

В состав биологических  тканей входят также молекулы, заряды в которых связаны. Такие молекулы обладают диэлектрическими свойствами и могут поляризоваться в электрических полях.

Если заряды связаны, то они представляют из себя механический осциллятор, который способен резонировать на определённой резонансной частоте .

    Рассмотрим простейшую модель  электронной поляризации молекул. В этом случае отдельная молекула может быть представлена как механический осциллятор, когда заряд, имеющий массу, под воздействием электрических сил осуществляет вынужденное колебательное движение около центра масс [20]. В этом случае отклонение поляризуемых зарядов от положения равновесия  определяется величиной электрического поля и коэффициентом упругости, характеризующего упругость сил связи зарядов в молекулах.  Эти величины связаны соотношением 

                                                                                  (3.2.1) 

    где  - параметры, первый из которых это отклонение зарядов от положения равновесия, а второй - представляет коэффициентом упругости, характеризующий упругость электрических сил связи зарядов в молекулах. В соотношении (3.2.1) индексом обозначена масса данного сорта молекул.

    Вводя резонансную частоту связанных зарядов 

                                                     ,                                                     (3.2.2) 

    из  ( 3.2.1) получаем: 

                                                                                       (3.2.3) 

    Видно, что в соотношении  (3.2.3) как параметр уже присутствует резонансная частота собственных колебаний, в которую входит масса заряда. Это говорит о том, что инерционные свойства колеблющихся зарядов, подобно индуктивности в колебательном контуре,  будут влиять на колебательные процессы поляризуемых атомов и молекул.

.   Запишем плотность тока связанную с движением зарядов 

                                                                                                           (3.2.4)

    где - плотность молекул в рассматриваемой среде.

Воспользовавшись соотношением (3.2.3) для нахождения скорости колеблющихся зарядов, получим 

                                                 .                     (3.2.5) 

     Подставляя это выражение в соотношение (3.2.4), находим: 

                                                                            (3.2.6) 

     или 

                                            ,                                   (3.2.7)

     где - кинетическая индуктивность связанных зарядов.

    Видно, что выражение, стоящее перед производной в правой части     выражения (3.2.7), играет роль диэлектрической проницаемости среды.

    Если в ткани имеются молекулы разных сортов, то для нахождения суммарного тока нужно произвести суммирование всех парциальных токов: 

    Считая, что напряженность электрического поля изменяется по гармоническому закону , из (8) находим: 

                                                         (3.2.8) 
 

    Теперь, используя соотношения (3.1.11) и (3.2.8), найдём полный ток текущий через биологическую ткань с учётом всех компонент, входящих в её состав: 

                                                                                                                            (3.2.9)

    В это соотношение входит три составляющие тока, текущие через

    биологическую ткань. Первый член правой части представляет резистивный ток, второй член является индуктивным током, эти оба тока характеризуют ионный ток в межклеточном электролите. Последний член правой части представляет ёмкостные токи, связанные с наличием молекул, в которых заряды связаны.

    Следует сказать, что пока за кадром остались те молекулы, которые тоже присутствуют в биологических тканях и которые обладают собственным электрическим дипольным моментом, и поляризация которых связана с поворотом электрических диполей  этих молекул вдоль прикладываемого поля. Ясно, что в этом случае вид тока будет соответствовать последнему члену в соотношении (3.2.9), однако как выразить кинетику такого поворота для молекул пока не ясно, тем более что сам поворот будет осуществляться в вязкой среде, а, значит, необходим учёт трения при таком повороте.

    Если бы имелась возможность измерить значения всех составляющих тока, входящих в соотношение (3.2.9) и их частотную зависимость, то в нашем распоряжении был бы мощный метод исследования биологических тканей и их паталогий. Однако это очень сложная задача, которая требует применения не только широкого спектра частот, но и методов дистанционного введения этих частот в ткани организма и измерения ответной реакции на такое введение. 
 
 

4. Постановка  задачи и её реализация.

 

По указанной причине задачей данной работы является пока только разработка методики, которая даёт возможность определять  активную составляющую тока межтканевого электролита, при наличии максимальной локализации таких измерений. Максимальная локализация необходима для того, чтобы иметь возможность обнаруживать паталогию тканей минимальных размеров, а также исследовать свойства тканей в переходной области между здоровой тканью и паталогической.

При выборе параметров измерительного устройства на него накладывается целый ряд требований, которые очень часто являются противоречивыми. Например, максимальная локализация измерений означает, что зондирующие поля и токи должны быть сосредоточены в очень малых объёмах, а это означает, что при прямом методе измерения, когда измеряется непосредственное падение напряжения при пропускании токов, в указанной области могут иметь место недопустимо высокие уровни рассеиваемой мощности, которые сами по себе будут влиять на результаты измерений, поскольку будут разогревать область измерений. Более того, измерение напряжения и тока даже в  приборах первого класса осуществляется всего до второго, в лучшем случае, третьего знака для обычных значений напряжений. Если же нужно измерять микровольты и микроамперы, то погрешность оказывается гораздо выше. По этой причине очень желательно использование частотного метода измерения, когда полученная информация преобразуется в частоту, которая может быть простыми средствами измерена до шестого седьмого знака. По этой причине в качества датчика выбран резонансный контур,  в котором параллельно основной ёмкости подключена дополнительная ёмкость, последовательно с которой включается резистивный участок исследуемой биологической ткани. Используя метод векторных диаграмм нетрудно показать, что резонансная частота такого контура будет зависеть от активного сопротивления исследуемого участка ткани. По причине ограниченности объёма курсового проекта мы не будем останавливаться на этом непринципиальном вопросе, укажем лишь то, что на практике этот вопрос решается очень просто путём калибровки.

Пока единственным способом достижения локализации измерений порядка нескольких миллиметров остаётся введение зонда непосредственно в исследуемую область. По этой причине в качестве зонда выбрана  медицинская инъекционная игла, внутрь которой вставляется изолированный проводник. Проводник герметизируется при помощи специального клея, а на выходе иглы затачивается таким образом, чтобы плоскость заточки находилась в створе с плоскостью заточки самой иглы.