Материальные уравнения Максвелла для биологических объектов

 

Аннотация 

   В работе  разработана схема адмитансометра, обеспечивающего высокую точность измерения удельной проводимости электролитов при высокой степени локальности измерений. Разработаны основы строгого электродинамического подхода к этой проблеме. Проведены испытания, из которых видно, что максимальная чувствительность адмитансометра обеспечивается именно в области концентраций тканевых электролитов.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Анотація 

     В  роботі розроблена схема адмітансометра, що забезпечує високу точність виміру питомої провідності електролитів при високому ступені локальності виміру. Розроблені основи строгого електродинамічного підходу до цієї проблеми. Проведено випробування, з яких видно, що максимальна чутливість адмітансометра забезпечується саме в області концентрацій тканинних електролітів. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                 Содержание:

1. Введение………………………………………………………4
2. Основные определения и состояние проблемы…………10
3. Материальные уравнения Максвелла для биологических  объектов………………………………………………………18
1. Проводящие среды биологических тканей………..18
2. Диэлектрические среды биологических тканей….22
4. Постановка задачи и её реализация………………………25
5. Полученные результаты и их анализ…………………….29
6. Заключение…………………………………………………..31
7. Список литературы………………………………………....32

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Введение

Диагностика различных  заболеваний связана с изучением  свойств биологических тканей. Эти свойства изучаются путём воздействия на биологические ткани различными видами излучения и проведением биохимического анализа их состава. В ряду таких ведущих диагностических методов видное место занимает рентгеновская диагностика, ядерный магнитный резонанс, ультразвуковые методы исследования.

В медицинской диагностике широко применяются методы визуализации, связанные с реконструкцией изображения внутренних органов человека. Наибольшее распространение получили рентгеновская компьютерная томография, магниторезонансная томография (МРТ) и радионуклидная эмиссионная томография. Данные способы позволяют получать срезы изображения высокой четкости, однако требуют дорогостоящего оборудования для проведения обследований и имеют обширный перечень медицинских ограничений: существует риск негативного влияния рентгеновского излучения, либо ограничения МРТ, обусловленные сильным магнитным полем, которое не позволяет обследовать пациентов с металлическими имплантатами или установленными электрокардиостимуляторами. Эти методы широко применяются для наблюдения за динамикой процессов в организме при проведении различных диагностических проб и оценке реакций организма на фармакологические препараты. Проведение таких обследований в отдельных случаях требует введения специальных контрастирующих препаратов или радиоактивных изотопов, что также негативно сказывается на безопасности обследования.

     В современных условиях весьма актуально создание безопасного для пациента метода диагностики, дополняющего существующие, и позволяющего получать дополнительные данные не только во время лечения или предоперационной подготовки, но и в процессе самой операции.

          Измерение импеданса и адмитанса биологических тканей широко используется для диагностики функционального состояния биологических тканей, а также для выявления различных патологий.

          Модель с сосредоточенными параметрами является наиболее простой, поскольку в ней открытый конец коаксиала моделируется комплексной ёмкостью

                                             Y= jω ε₀ε_cC_f + jω ε₀ε_mC_{0 ,}

где C_f , C₀  - константы, зависящие от конструкции открытого конца коаксиала, причём С_f описывает влияние краевого поля внутри зонда, а С₀   - влияние краевого поля, связанного с исследуемым веществом, ε₀  - диэлектрическая проницаемость свободного пространства,  ε_c  - относительная диэлектрическая проницаемость материала, заполняющего коаксиальную линию, ε_m - диэлектрическая проницаемость исследуемого образца. Данная модель имеет существенные ограничения. С увеличением частоты точность модели резко ухудшается, так как она не учитывает эффекты излучения и наличие высших мод в апертуре зонда, которые при больших значениях  ε_m   и ω  могут существенно повлиять на результаты измерения. В работе [1] эффекты излучения предлагается моделировать включением члена, имеющего размерность проводимости и пропорциональногo  :

                               Y= jω ε₀ε_cC_f + jω ε₀ε_mC₀ +G(ε₀ε_m)^2,5

        Относительно более точная нелинейная модель приведена в работе [2]

                                  Y=K₁ + K₂ε_m + K₄ +K₄

Где К_i  - комплексные, в общем случае, коэффициенты модели, зависящие от частоты, и параметров коаксиальной линии. Для их определения необходимы калибровочные измерения в четырёх средах с точно известными диэлектрическими свойствами.

     Все эти модели основаны на квазистатическом анализе и, следовательно, справедливы для электрически малых апертур и ограниченного диапазона частот.

В работах [3, 4] была предложена также модель виртуальной линии, не нашедшая, впрочем, широкого распространения. Она состоит в моделировании тестируемой среды виртуальной линией передачи длиной L и материалом заполнения  ε_m с теми же размерами, что и реальной коаксиальной линии. На конце виртуальная линия считается разомкнутой, т.е. адмитанс нагрузки линии полагается равным нулю. Модель дает уравнение, связывающее искомую диэлектрическую проницаемость  ε_m  с измеренным входным коэффициентом отражения  R_in   на заданной частоте   f   [3].

                            

Гдe β_c - постоянная распространения в коаксиальной линии зондa;

L - длина виртуальной линии

D - длина физической линии (зонда).

     Две  последние величины в данном  уравнении неизвестны. Они находятся  по результатам измерений коэффициента  отражения в двух калибровочных  средах с известными диэлектрическими параметрами посредством итерационной процедуры подробно описанной в [3].

   В более  строгих электродинамических моделях  вывод выражения для адмитанса зонда основан на записи выражений для поля в коаксиальной линии и в зондируемой  среде и согласования магнитных компонент на плоскости апертуры с учётом граничных условий, требующих непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного поля на границе раздела. Наиболее широко используется модель, учитывающая наличие в коаксиальной линии только основной распространяющейся ТЕМ моды. В рамках этой модели в работах [5-8] были получены три эквивалентных выражения для нормированного адмитанса открытого конца коаксиальной линии с бесконечным фланцем:

                         Y=                           (1.1)

    Y=G + jB

     G= ,                        (1.2)

     B= .

        Y=                                               (1.3) 

   Где  a и b - внутренний и внешний радиусы коаксиальной линии, k₀, k_c, k_m - волновые числа в вакууме, коаксиальной линии и зондируемой среды соответственно.

     Первое  из этих выражений требует  вычисления тройного интеграла  с особенностью в точке ρ=ρ'   при    φ=0 и поэтому редко используется на практике. Интегралы в (1.2) обычно вычисляются разложением в ряд по степеням [5,8]. Наиболее удобным для быстрого решения как прямой, так и обратной задачи – вычисление ε_m по известному значению Y(ω)- является выражение (1.3). На основе этого выражения получены результаты, представленные в [9-11].

    Однако  погрешность данных, полученных  с помощью этой модели, возрастает с увеличением частоты и диэлектрической проницаемости исследуемой среды.

   Наиболее  строгими являются так называемые полуволновые электродинамические модели, учитывающие не только наличие в коаксиальной линии ТЕМ волны отражённой от её открытого конца, но и возбуждение на апертуре мод высших порядков. Поскольку в поле падающей ТЕМ волны, и коаксиальная линия аксиально-симметричны, то возбуждаются только моды ТМ_0n При выводе данных моделей основная идея заключается в получении бесконечной системы линейных уравнений для коэффициентов отражения R_n основной ТЕМ (n=0) и высших ТМ_0n  (n=1,2…)  мод. В физически обоснованном приближении учёта лишь конечного числа N возбуждаемых высших мод эта система сводится к конечной системе N+1 уравнений, решение которой осуществляется численными методами.

    Основным  недостатком полволновых моделей  является необходимость громоздких вычислений, особенно при решении итерационными методами обратной задачи – нахождении диэлектрической проницаемости среды по известному значению коэффициента отражения основной моды R₀.

       Широкое практическое применение  получила также интерполяционная модель, в которой для ускорения расчётов адмитанс открытого конца коаксиальной линии представляется в виде рациональной функции

       Y=                                                                (1.4)

Коэффициенты  α_np, β_kq подбираются по методу наименьших квадратов с помощью численного полволнового решения задачи для большого набора различных проводимостей зонда в различных средах. В работах [12,13] представлены их значения для 50-омного коаксиального кабеля с тефлоновым заполнением. Эти значения получены при N=K=4 и P=Q=8 на основе анализа, выполненного для 20 нормализованных частот в диапазоне 0,01<k₀a<0,19 и 56 диэлектрических констант в диапазоне 1<ε_m'<80.

      Модель удобна тем, что позволяет  получить простое решение обратной задачи. Формулу  (1.4) можно переписать в виде

         

Где

b_p=      p=1,2,…,8;

b₀=0;

c_q=      q=1,2,…,8;

c₀=1+

Из восьми комплексных корней этого уравнения вида ε' + jε'' отбирается только один, имеющий физический смысл (1≤ ε'≤80,    -80≤ ε''≤0). Отметим, что данная модель учитывает и эффекты излучения, и возбуждение высших мод на апертуре. 

     Дополнительные  усложнения возникают при зондировании слоёв конечной толщины [9]. Такая задача имеет самые разные практические применения: от определения толщины эмульсионных слоёв и упаковочных материалов, содержания арматуры в слое железобетона и др. в промышленности, до диагностики рака кожи. Естественно, в этих случаях требуется модификация моделей адмитанса зонда, которые должны учитывать как толщину исследуемого образца, так и электромагнитные свойства ограничивающей среды.

        За основу для такого преобразования, разыми авторами принимаются как модель, учитывающая только основную моду в коаксиальной линии, так и полволновые модели. Рассматриваются не только случаи одиночных диэлектрических слоёв, лежащих на проводящем основании или ограниченных полупространством с известными диэлектрическими свойствами, но и делается обобщение на многослойные структуры.

     Представляет интерес работа [14], в которой приводятся результаты экспериментальных измерений в полосе частот 5…7 ГГц коэффициента отражения зонда, излучающего в очень тонкие слои воды, и сравниваются с результатами численных расчётов по предложенной теоретической модели. Авторы считают возможным применение данного метода для микроволновых измерений влажности тонких внешних слоёв человеческой кожи.