Материальные уравнения Максвелла для биологических объектов

    В этом же ряду стоит работа [15], в которой на основе полволнового анализа выведена модель для расчётов коэффициента отражения и наличии воздушного зазора между апертурой зонда и образцом. Приведены расчёты зависимостей коэффициента отражения от величины зазора при различных размерах зонда, рабочих частотах и диэлектрических параметрах образца, а также представлен анализ неопределённости результатов.

     Поскольку  все модели, применяемые для определения  диэлектрических характеристик  тонких образцов, становятся более  сложными, чем в случае полупространства, при их практическом применении встаёт вопрос о критерии допустимых упрощений этих моделей. Для тонких образцов существенное значение имеет учёт высших мод, который может оказаться необходимым даже при зондировании материалов с низкой диэлектрической проницаемостью. 

Недостатком существующих методов является то, что при их помощи измеряются интегральные характеристики достаточно больших объёмов тканей, что не позволяет установить локальные изменения функционального их состояния.

 Целью дипломного проекта является разработка зондового метода измерения составляющих адмитанса биологических тканей для определения локальных изменений их функциональных характеристик, а также создание прибора, реализующего такие возможности.

2. Основные определения и состояние проблемы.

 

Электрическим импедансом или комплексным сопротивлением двухполюсника для гармонического сигнала называется  отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала , прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока , текущего через такой двухполюсник:  

                                                     .                                           (2.1)

Сдвиг фазы  между током и напряжением обусловлен свойствами двухполюсника, в состав которого могут входить сопротивления, ёмкости и индуктивности.

Адмитансом двухполюсника  является величина обратная импедансу: 

                                                       .                                                     (2.2)

Поскольку для  активного сопротивления  связь между током и напряжением определяется законом Ома 

                                                                                                             (2.3) 

 и сдвиг  фаз между током и напряжением  отсутствует, то импеданс цепи  для этого случая равен активному сопротивлению 

                                                        .                                                   (2.4)

Для ёмкости  связь между током и напряжением  определяется соотношением:  

                                                        ,                                               (2.5)

поэтому импеданс для такой цепи имеет вид: 

                                                         .                                              (2.6)

Для индуктивности  связь между током и напряжением  определяется соотношением  

                                                       ,                                               (2.7) 

поэтому импеданс для индуктивности определяется соотношением: 

                                                          .                                               (2.8) 

Если имеется цепь, в которой сопротивление, ёмкость и индуктивность соединены последовательно, то импеданс такой цепи буде равен сумме импедансов указанных элементов: 

                                                                                     (2.9)

Понятием импеданса  удобно пользоваться при последовательном соединении указанных элементов. Если через такой двухполюсник течёт ток

, то, переходя от комплексного представления (2.9) к реальным физическим величинам, нетрудно вычислить напряжение на двухполюснике: 

                                                        (2.10) 
 

В случае же параллельного соединения сопротивления, ёмкости и индуктивности удобнее пользоваться понятием адмитанса, который запишется как: 

                                                                                 (2.11) 

Если к такому двухполюснику приложено напряжение  , то ток, текущий через него запишется как 

                                                       (2.12) 

Указанное рассмотрение относится к цепям с сосредоточенными параметрами, которыми являются сопротивление, ёмкость и индуктивность. Для материальных сред вводятся их локальные характеристики, такие как удельное сопротивление и проводимость , которая является обратной величиной удельного сопротивления: 

                                                                                                               (2.13) 

 Вводятся  также такие понятия как диэлектрическая проницаемость среды, которая является аналогом  ёмкости и кинетическая индуктивность носителей зарядов, которая является аналогом индуктивности. Импеданс и адмитанс для материальных сред записывается аналогичным образом: 

                                                                                 (2.14) 

                                                                                  (2.15) 

В отличие от цепей с сосредоточенными параметрами  в материальных средах вводятся такие  понятия как напряженность электрического поля и плотность тока , которые являются векторными величинами. Если эти величины меняются по гармоническому закону и , то по аналогии с (2.10) и (2.12) запишем: 

                                                      (2.16) 

                                                      (2.17) 
 

Биологические ткани обладают свойствами, как проводников, так и диэлектриков. Поэтому при протекании токов через них имеются в наличии все составляющие импеданса и адмитанса. Эти составляющие и определяют их электрические свойства и в зависимости от рода ткани, её функционального состояния и возможной патологии. Именно это обстоятельство и используется для диагностики путём измерения составляющих импеданса или адмитанса.

Наличие свободных  ионов в клетках и тканях обуславливает  проводимость этих объектов. Диэлектрические  свойства биологических объектов определяются структурными компонентами и явлениями поляризации и характеризуются диэлектрической проницаемостью [16]. Диэлектрическая проницаемость биологических тканей зависит от частоты, эту зависимость условно можно разделить на три области α, β, γ (Рис. 1).

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис.1. Зависимость  диэлектрической проницаемости биологических тканей от частоты. 

Наличие этих областей связано с тем, что в процессах  поляризации биологических тканей участвуют различные механизмы. В низкочастотной области α поляризуются очень крупные молекулы и целые молекулярные комплексы типа ДНК, в области β поляризуются молекулы, область же γ соответствует поляризации молекул воды.

Времена релаксации для различных видов биологических  тканей и их структур приведены в Таблице №1.

                                                                                                              Таблица №1 

 

Большинство биологических тканей и их компонент заполнены электролитами, веществами в которых соли и кислоты диссоциируют на положительные и отрицательные ионы. Такая их структура приводит к тому, что электролиты являются проводниками, поскольку при наложении на них электрических полей ионы начинают двигаться в направлении приложенного поля. Типичные зависимости удельного сопротивления различных здоровых биологических тканей в зависимости от частоты приведены на рис. 2.

Однако ткани, имеющие различную паталогию, могут иметь другие характерисики. Это обусловлено тем, что в этом случае может менятся состав тканевого электролита.

Что касается диэлектрических  свойст биологических объектов то в  случае наличия паталогии может  происходить перерождение клеток а  также изменение их функционального состлояния, что может приводить к изменению их диэлектрических свойств. Эти особенности паталогии биологических тканей и используются для диагностики различных заболеваний путём измерения их импеданса или адмитанса.  

Рис. 2. Зависимость удельного сопротивления от частоты для различных биологических тканей. 

В настоящее  время с целью изучения импеданса биологических тканей используются феноменологические методы, когда данному типу ткани  сопоставляют эквивалентные схемы, состоящие из ёмкостей и индуктивностей, включённых в определённой последовательности. Наиболее распространённые эквивалентные схемы, используемые для этих целей приведены на рис. 3,4, 5 [16].

   

Рис. 3. Последовательное включение сопротивления и ёмкости. 

     

Рис. 4. Параллельное включение сопротивления и ёмкости. 

   

Рис. 5. Смешанное  включение сопротивлений и ёмкости.  

Путём измерения соотношения между фазой тока, текущего через биологическую ткань и приложенного к ней напряжения  находят импеданса таких тканей и сопоставляют свойства биологических тканей со свойствами указанных цепей. Мы не будем останавливаться на этих вопросах, т.к. они подробно рассмотрены в имеющейся литературе [16-17]. Мы попытаемся очертить контуры более строгого электродинамического метода, основанного на материальных уравнения Максвелла, началом развития которого и является данная работа.  
 
 
 

3. Материальные уравнения Максвелла биологических

объектов. 

Материальные  уравнения Максвелла дают строгое  описание

электродинамических процессов в материальных средах, если известны электрические  свойства самой среды [18]. Выясним, какой вид могут иметь уравнения Максвелла для случая биологических объектов.

  
 

1. Проводящие  среды биологических тканей.

 

Проводящей  средой биологических тканей является электролит, который заполняет межклеточное пространство. При наложении на него электрического поля, через электролит начинает течь ток. Плотность активной составляющей такого тока определяется дифференциальным законом Ома  

                                                                                             (3.1.1)