Курс лекции по "Физике"

Применение  уравнения Шредингера

1. Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

    Пусть в одномерном пространстве создано силовое поле, потенциальная энергия которого бесконечна везде, кроме области   0 < x < l и не зависит от времени. Пусть электрон попадает в это поле, тогда его движение описывается волновой функцией, которая является решением уравнения Шредингера. Так как потенциальная энергия не зависит от времени, решается стационарное уравнение Шредингера , где Е – разрешенные значения энергии в потенциальной яме. Расписывая оператор Гамильтона, получим  (1).

В областях 1 и 3 (рис.1) потенциальная энергия  бесконечна, для ее преодоления частица  должна иметь бесконечную скорость, а так как волновая функция описывает только реальные частицы, она не может иметь сингулярности, поэтому, в этих областях .

В области 2 U=0, поэтому  (2). Решение уравнения ищем в виде , где  (3). Решение можно записать в виде  (4), где константы А и j определим из граничных условий. Так как волновая функция должна быть непрерывна и однозначно определяема во всем пространстве, и . Применим условия . , тогда энергия электрона на n-ном уровне  (5), таким образом, электрон в потенциальной яме может занимать только дискретный набор уровней. Тогда волновая функция имеет вид . Константу А найдем из условий нормировки или в одномерном случаи  (6).

 Плотность вероятности  электрона в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками можно представить графически (рис.2) 
 
 

    Прохождение через барьер.

    Пусть частица, движущаяся слева направо, падает на потенциальный барьер

    высоты  U_o и ширины l (рис. 3). По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера (E>U₀), частица беспрепятственно проходит «над» барьером (на участке 0 x l лишь уменьшает скорость частицы, но затем при х > I снова принимает первоначальное значение). Если же Е меньше U_o (как изображено на рисунке), то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.

      Совершенно  иначе выглядит поведение частицы  согласно квантовой механике. Во-первых, даже при Е>U₀ имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при Е < U_o имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где х>l. Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.

      Рассмотрим  случай Е<Uo. В этом случае уравнение Шредингера имеет вид: , для областей I и III и для области , причем Е — U₀<0. Легко убедиться (хотя бы подстановкой), что общее решение уравнения Шредингера для каждой из трех областей имеет вид:

           (7)

причем  и определяются из выражений:      (8)

      Заметим, что решение вида e^iax соответствует волне, распространяющейся в направлении оси х, а решение вида e^-iax — волне, распространяющейся в противоположном направлении. Чтобы это понять, вспомним, что обычная (звуковая, электромагнитная и т. п.) плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х, имеет вид cos(at—kx), а волна, распространяющаяся в направлении убывания х,— вид cos ( - kx) [см. т. I, формулы (78.2) и (78.5)]. В § 65 мы установили, что волновая функция свободной частицы, движущейся в направлении оси х, имеет вид (65.5). Если отбросить в этой формуле временной множитель, то для получится значение . Для частицы, движущейся в противоположном направлении, нужно, очевидно, взять e^-i(p/h)x.

      В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент В₃ следует положить равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся условиями, которым должна удовлетворять функция . Для того чтобы была непрерывна во всей области изменений х от до , должны выполняться условия: = и ₂(l) = (l). Для того, чтобы была гладкой, т. е. не имела изломов, должны выполняться условия: = и ’₂(l) = ’(l) .Из этихусловий вытекают соотношения:

      Разделим  все уравнения на А₁ и введем обозначения:

      а также    (10), Тогда уравнения (9) примут вид:

         (11)

    Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны

определяет вероятность  отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения.

Отношение квадратов  модулей прошедшей и падающей волны

определяет  вероятность прохождения частицы  через барьер и может быть названо коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности).

Нас будет  интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся нахождением величины D. Правда, найдя D, легко найти R, поскольку эти коэффициенты связаны очевидным соотношением: R+D=1.

    Умножим первое из уравнений (11) на i и сложим с третьим. В результате получим: 2i = (п + i) a₂-(n- i) b₂.  (13)

    Теперь  умножим второе из уравнений (11) на i и вычтем его из четвертого. Получим: (14)

Решая совместно уравнения (68.13) и (68.14), найдем, что и

Наконец, подставив найденные нами значения а₂ и b₂ во второе дз уравнений (68.11), получим выражение для а₃:

Величина обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаменателе выражения для а₃ слагаемым, содержащим множитель , можно пренебречь по сравнению со слагаемым, содержащим множитель (комплексные числа п+i и п-i имеют одинаковый модуль). Итак, можно положить Согласно (12) квадрат модуля этой величины дает вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Учтя, что , получим:  где

Выражение 16п²/(п² + 1)² имеет величину порядка единицы¹). Поэтому можно считать, что   (15).

      Как следует из полученного нами выражения, вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера l и от его превышения над Е, т.е. от U_o — Е. Если при какой-то ширине барьера коэффициент прохождения D равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет равным 0,01² = 0,0001, т.е. уменьшается в 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины U_o — Е. Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы m. В случае потенциального барьера произвольной формы (см., например, (рис. 2) формула (15) должна быть заменена более общей формулой: (16)  где U= U(x),

    При преодолении потенциального барьера  частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см. заштрихованную область на рис. 197,6), в связи с чем рассмотренное нами явление часто называют туннельным эффектом.

    С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находящаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле E<U). Однако туннель — явление специфически квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой же механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией T, был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс р. Аналогично тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию U, означал бы, что частица находится в точно заданном месте пространства. Поскольку координата и импульс частицы не могут одновременно иметь определенных значений, не могут быть одновременно точно определены Т и U. Таким образом, хотя полная энергия частицы Е имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Т и U. Ясно, что при такой ситуации заключение об отрицательности Т в туннеле становится беспочвенным.