Электростатическое поле,его напряженность и потенциал

Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность  S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

   

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR². Следовательно,

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон  Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой  закона Кулона.

Используя теорему  Гаусса, можно в ряде случаев легко  вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов  обладает какой-либо симметрией и общую  структуру поля можно заранее  угадать.

Теорема Остроградского — Гаусса — утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между n-кратным интегралом по области и (n − 1)-кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v₁,v₂,...,v_n) есть векторное поле на , такое что функции v_i вместе со своими частными производными интегрируемы по Лебегу в ограниченной области Ω, граница которой является объединением конечного множества кусочно гладких (n − 1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней единичной нормали ν.

Тогда формула  Остроградского имеет вид

где

есть дивергенция поля V. 

Формула Остроградского — Гаусса в векторной форме имеет вид

,

то есть интеграл от дивергенции векторного поля , распространённый по некоторому объёму T, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объём.

Формула применяется  для преобразования объёмного интеграла  в интеграл по поверхности, ограничивающей данный объём, то есть замкнутых, таких  как поверхность воздушного шарика, и не применима к поверхностям, таким как воздушный шар с подогревом.

В работе Остроградского формула записана в следующем  виде,

,

где ω и s дифференциалы объёма и поверхности. В современной записи ω = dΩ — элемент объема, s = dS — элемент поверхности.  — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью 

Работа  при перемещение  электрического заряда в электрическом  поле.Теорема о  циркуляции вектора  напряженности электрического поля в интегральной форме.

 Работа, совершаемая селами электростатического  поля при перемещении заряда  Q₀ из точки 1 в точку 2 (см. (84.1), (84.4), (84.5)), может быть представлена как

        (84.6)

т. е. равна  произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной  и конечной точках. Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Работа  сил поля при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде

     (84.7)

Приравняв (84.6) и (84.7), придем к выражению для  разности потенциалов:

         (84.8)

где интегрирование можно производить вдоль любой  линии, соединяющей начальную и  конечную точки, так как работа сил  электростатического поля не зависит  от траектории перемещения.

Если  перемещать заряд Q₀ из произвольной точки за пределы поля, т. е. в бесконечность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля, согласно (84.6), A_¥=Q₀j, откуда

 
 

Если  в электростатическом поле точечного  заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 132) перемещается другой точечный заряд Q₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна

Так как  d/cosa=dr, то

Работа  при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2

       (83.1)

не зависит  от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной  1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными (см. § 12).

   

Из формулы (83.1) следует, что работа, совершаемая  при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.

         (83.2)

Если  в качестве заряда, переносимого в  электростатическом поле, взять единичный  точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Е dl = E_l dl, где E_l = Ecosa — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (83.2) можно записать в виде

          (83.3)

Интеграл  называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (83.3), называется потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Формула (83.3) справедлива только для электростатического  поля. В дальнейшем будет показано, что для поля движущихся зарядов  условие (83.3) не выполняется (для него циркуляция вектора напряженности  отлична от нуля). 

Электростатическое  поле.Диэлектрики  в электрическом  поле.типы диэлектриков.

Диэлектрик, внесенный в электрическое поле, так же как и проводник, электризуется  через влияние. Однако между электризацией  проводника и диэлектрика имеется  существенная разница. Если в проводнике под влиянием сил электрического поля свободные электроны передвигаются  по всему объему проводника, то в  диэлектрике свободного перемещения  электрических зарядов произойти  не может. Но в пределах одной молекулы диэлектрика возникает смещение положительного заряда вдоль направления  электрического поля и отрицательного заряда в обратном направлении. В  результате влияния заряженного  тела на поверхности диэлектрика  возникнут электрические заряды. Это явление называется поляризацией диэлектрика.

Различают диэлектрики двух классов. У диэлектриков первого класса молекула в нейтральном  состоянии имеет положительный  и отрицательный заряды, настолько  близко расположенные один к другому, что действие их взаимно компенсируется. Под влиянием электрического поля положительные  и отрицательные заряды в пределах молекулы несколько смещаются один относительно другого, образуя диполь. 
 
У диэлектриков второго класса молекулы и в отсутствие электрического поля образуют диполи. Такие диэлектрики называются полярными. К ним относятся вода, аммиак, эфир, ацетон и т. д. У таких диэлектриков при отсутствии электрического поля диполи в пространстве расположены хаотически и вследствие этого результирующее электрическое поле вокруг полярного диэлектрика равно нулю. Под действием внешнего электрического поля молекулы (а стало быть и диполи) стремятся повернуться так, чтобы их оси совпали с направлением внешнего поля. 
 
В отличие от индуцированных зарядов на проводнике поляризационные заряды диэлектрика нельзя отделить один от другого. С устранением электрического поля поляризация диэлектрика исчезает. Таким образом, поляризация представляет собой упругое смещение электрических зарядов в веществе диэлектрика. При некоторой определенной величине напряженности электрического поля смещение зарядов достигает предельной величины, после чего происходит разрушение — пробой диэлектрика, в результате которого диэлектрик теряет свои изолирующие свойства и становится токопроводящим. Необходимость правильного выбора величины напряженности электрического поля в диэлектрике привела к созданию теории электрической прочности, имеющей важное значение для современной техники высоких напряжений. 

Электрический ток.Сила и плотность  тока.Закон Ома.

Электрическим током (ЭТ) называют направленное движение электрических зарядов. Различают  электрический ток проводимости, связанный с упорядоченного движения свободных электрических зарядов внутри проводников (в зависимости от типа проводников это могут быть электроны или ионы), и конвекционный ток, механическое движение заряженных макроскопических микроскопических тел (например, заряженных капель дождя). Направлением тока условно принято считать направление движе-

ния положительных  зарядов. Два условия, необходимые  для возникновения и существования  ЭТ:1. наличие свободных электрических  зарядов;

2. наличие электрического  поля, которой вызывает и поддерживает  их упорядоченное движение.

Так, если на концах проводника поддерживается постоянная разность потенциалов, то внутри проводника возникает постоянное электрическое  по-

ле. Сила, действующая со стороны эл. поля на электроны проводимости, создает и поддерживает постоянный ЭТ.Выдающуюся роль в создании законов постоянного ЭТ сыграл немецкий

физик Георг  Симон Ом (1787 1854). 
 

Для количественной характеристики электрического тока в физике используют две величины: плотность тока и силу тока.

Плотностью электрического тока называют векторную физическую величину, модуль которой равен количеству заряда, переносимого через единичную площадь поперечного сечения проводника за единицу времени

(44)

где n обозначает концентрацию свободных носителей заряда, а где       скорость их упорядоченного движения.

Эта формула действительно  определяет заряд, пересекающий единичную  площадку сечения проводника за одну секунду. На рис. 11 видно, что

через единичную площадку S, ориентированную перпендикулярно скорости     зарядов, проходят только те заряды, которые в начале этого промежут-

ка времени ∆t = 1 с находятся внутри цилиндра с основанием площадью S и высотой |vд|∆t.

Количество заряда, перенесенное через поперечное сечение  проводника за единицу времени называют силой тока. Плотность ЭТ является дифференциальной характеристикой ЭТ проводимости, указывая направление и силу ЭТ в различных точках поперечного сечения проводника, или другими словами распределение тока по его сечению. При равномерном распределении плотности ЭТ по сечению проводника сила (случай постоянного

электрического  тока в однородном цилиндрическом) сила и плотность токасвязаны соотношением

(45) I = |j|nS,

где jn= |j| cos θ проекция вектора плотности тока на направление перпендикуляра к поверхности сечения проводника, S площадь этого сечения.

Если плотность тока j не постоянна по сечению проводника, то сечениенеобходимо мысленно разбить на малые участки dS, в пределах которых плотность тока можно считать постоянной. Полная сила тока получается

суммированием сил  тока jndS через малые участки.

Для силы тока справедливо следующее соотношение равная отношению