Электростатическое поле,его напряженность и потенциал

    Электростатическое  поле,его напряженность  и потенциал.

    Электростатическое, то есть не меняющееся во времени, поле создается неподвижными в данной системе координат электрическими зарядами и описывается двумя  основными характеристиками.

    Силовой характеристикой поля является напряженность  электрического поля (векторная величина), а энергетической характеристикой является потенциал поля j (скалярная величина).

    Напряженность электрического поля в некоторой  точке - это отношение силы , действующей со стороны электрического поля на точечный заряд q, помещенный в эту точку, к величине этого заряда:

     = /q .

    Потенциал электрического поля в некоторой  точке равен отношению потенциальной  энергии W положительного точечного заряда q, помещенного в эту точку, к величине заряда:

    j = W / q.

    Потенциал электрического поля  j измеряется работой, которую совершают силы поля, перемещая единичный положительный заряд из данной точки в бесконечность (или другую точку, потенциал которой условно принят равным нулю). В этом определении j  раскрыт физический смысл величины W.

    Единица измерения напряженности  В/м, а  потенциала  В.

    Напряженность и потенциал j не являются независимыми характеристиками электрического поля. Они связаны друг с другом соотношением

     .                                                                                                      (1)

    Здесь dj - приращение потенциала между двумя точками, расположенными на расстоянии dl друг от друга, E_l - проекция вектора напряженности электрического поля на направление отрезка dl.

    Если  направление вектора  известно, то, выбирая dl вдоль этого направления, получаем формулу для определения величины :

     .                                                                                                        (2)

    Если  направление вектора  неизвестно, то для расчета вектора применяется формула

     = - grad j ,

    Напряженность поля равна градиенту потенциала , взятому со знаком "минус". Градиент показывает направление, в котором потенциал растет наиболее быстро, и скорость этого роста.  
 
 
 

Закон кулона.Напряженность  и потенциал полей.Силовые  линии напряженности.

Зако́н Куло́на — это закон о взаимодействии точечных электрических зарядов.

Был открыт Кулоном в 1785 г. Проведя большое количество опытов с металлическими шариками, Шарль Кулон дал такую формулировку закона:

Сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме направлена вдоль  прямой, соединяющей заряды, прямо  пропорциональна произведению модулей  зарядов и обратно пропорциональна  квадрату расстояния между ними.

Важно отметить, что для того, чтобы закон был  верен, необходимы:

1. точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров.
2. их неподвижность. Иначе уже надо учитывать дополнительные эффекты: возникающее магнитное поле движущегося заряда и соответствующую ему дополнительную силу Лоренца, действующую на другой движущийся заряд.
3. взаимодействие в вакууме.

Однако, с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов  в среде и для движущихся зарядов.

В векторном  виде в формулировке Ш.Кулона закон  записывается следующим образом:

где  — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; q₁,q₂ — величина зарядов;  — радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — r₁₂); k — коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноименные заряды отталкиваются (а разноименные – притягиваются). Коэффициент k

В СИ k ≈ 8,987551787·10⁹ Н·м²/Кл² (или Ф^-1·м) и записывается следующим образом:

где  ≈ 8.854187817·10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная.

В однородном изотропном веществе в знаменатель формулы добавляется диэлектрическая проницаемость среды ε.

      В системе СИ        

 

Величина e₀ называется электрической постоянной; она относится к числу фундаментальных физических постоянных и равна

         (78.3)

где фарад (Ф) — единица электрической емкости (см. § 93). Тогда

 

Как следует  из формул и напряженность поля точечного заряда в вакууме

                                                     (79.2)

Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду.

Если  поле создается системой n точечных зарядов Q₁, Q₂, ..., Q_n, то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом Q₀, равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда Q₀, находящегося в этом поле, равна сумме потенциальных энергий U_i, каждого из зарядов:

        (84.3)

Из формул и (84.3) вытекает, что отношение U/Q₀ не зависит от Q₀ и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом:

         (84.4)

Потенциал j в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Из формул (84.4) и    следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, равен

                                  

                          
 

    Графически  электростатическое поле изображают с  помощью линий напряженности — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е (рис. 119). Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с направлением вектора напряженности. Так как в каждой данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Для однородного поля (когда вектор напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности — радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен (рис. 120, а), и входящие в него, если заряд отрицателен (рис. 120, б). Вследствие большой наглядности графический способ представления электростатического поля широко применяется в электротехнике. 
 
 
 
 
 

Принцип суперпозиции полей  и его применение.Дифференциальный и интегральный методы.Расчеты  физических величин. 

      Если поле образовано системой  зарядов, то определение напряженности  проводится в соответствии с  принципом суперпозиции полей:  напряженность поля системы зарядов  определяется как геометрическая  сумма напряженностей, создаваемых  каждым зарядом в отдельности  в рассматриваемой точке поля, то есть поле системы зарядов  рассматривается как результат  сложения независящих друг от  друга полей отдельных зарядов:  или .

 
    

     

    В качестве примера использования  принципа суперпозиции рассматривается  поле диполя. Диполем называется система двух равных зарядов противоположного знака, находящихся друг от друга на расстоянии l, малом по сравнению с расстоянием до точки, в которой определяется напряженность поля. Линию, соединяющую заряды, называют осью диполя. Диполь характеризуется дипольным моментом. Дипольным моментом (p_e) называют вектор, направленный вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Модуль дипольного момента равен произведению значения положительного заряда на расстояние между зарядами: Р = q l).

       Определим напряженность поля  в точке А, лежащей на перпендикуляре  к оси диполя, восставленном из  середины отрезка, соединяющего  заряды (плеча диполя). Треугольник  AEE подобен треугольнику Aq₊q_- , следовательно, . Учитывая, что r₊ = r_- » r, получаем (по модулю E₊ = E_--)  

E₊ = E_- = , отсюда E = E₊ = , то есть 

 E = = . 

 

Напряженность поля, точечного заряда обратно пропорциональна  квадрату расстояния, а напряженность  поля диполя – обратно пропорциональна  кубу расстояния от диполя до исследуемой  точки. Поэтому в некоторых случаях, там где нельзя пренебречь полем  точечного заряда, можно пренебречь полем диполя.  
 

Поток вектора напряженности.

Теорема Остроградского - гаусса.

Экспериментально  установленные закон Кулона и  принцип суперпозиции позволяют  полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в  вакууме. Однако, свойства электростатического  поля можно выразить в другой, более  общей форме, не прибегая к представлению  о кулоновском поле точечного  заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое  поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1.3.1):

   

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности  электростатического  поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀.