Электрическая цепь постоянного тока

Итерационные методы расчета.

Решение нелинейного уравнения (системы нелинейных уравнений), описывающего (описывающих) состояние электрической цепи, может быть реализовано приближенными численными методами. Решение находится следующим образом: на основе первой, достаточно грубой, оценки определяется начальное значение корня (корней), после чего производится уточнение по выбранному алгоритму до вхождения в область заданной погрешности работы.

 

ГЛАВА 2. РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Для заданной электрической цепи необходимо:

Записать систему уравнений по законам Кирхгофа (без расчетов);

Определить все токи и напряжения методами контурных токов и узловых потенциалов;

Проверить результаты расчетов по уравнениям баланса мощностей;

Построить потенциальные диаграммы для двух замкнутых контуров.

ЭДС=E1=E2=50 В

Резисторы  R1=12 Ом

R2=24 Ом

R3=15 Ом

R4=18 Ом

R5=30 Ом

R6=30 Ом

R7=30 Ом

2.1 Составление уравнений по двум законам Кирхгофа

Рисунок 17 – Схема электрической цепи

 

Записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для любых двух узлов:

Узел А: I1+I2+I3=0

Узел B: I3+I4+I5=0

Выбираем независимые контуры и направления их обходов.

3) Записываем уравнения  по второму закону Кирхгофа  для выбранных независимых контуров.

I1*(R1+R6)-I2*R3=E1

I3*R2+I2*R3-I4*R4=0

I4*R4-I5*R7-I5*R5=E2

4) Подставим численное  значение:

I1+I2-I3=0

I3+I4+I5=0

I1*(12+30)-I2*15=50

I3*24+I2*15-I4*18=0

I4*18-I5*30-I5*30=50

2.2 Определение всех токов и напряжений методами контурных

 токов

 

Выбираем независимые контуры:

R6,E1,R1,R6;

R3,R2,R4;

R4,E2,R5,R7;

1. Полагаем, что в каждом контуре течет свой контурный ток: I11,I22,I33.
2. Произвольно выбираем их направления.
3. Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов, для выбранных независимых контуров:

I11(R1+R3+R6)-I22*R3=E1

I22(R2+R3+R4)-I11*R3-I33*R4=0

I33(R4+R5+R7)-I22*R4=E2

Подставим численные значения:

I11*57-I22*15+0=50

-I11*15+I22*57-I33*18=0

0-I22*18+I33*78=50

1. Решаем полученную систему уравнений через определители:

Главный определитель:

|57    -15    0|

D= |-15   57  -18| = 253422+0+0-0-17550-18468=217404

|0-18   78| 

Вспомогательный определитель 1:

|50   -15    0|

D1= |0 57 -32| = 222300+0+13500-0-0-16200=219600

|50   -18  78|

Вспомогательный определитель 2:

|57    50    0|D2= |-15   0   -18| = 0+0+0-0-(-58500)-(-51300)=109800

|0 50  78|

Вспомогательный определитель 3:

|57   15   50|D3= |-15  570| = 162450+13500+0-0-11250-0=164700

|0    -18   50|

I11=D1/D=219600/217404=1.01(A)

I22=D2/D=109800/217404=0.505 (A)

I33=D3/D=-164700/217404=0.757 (A)

I1=I11=1.01 (A)

I2=I22=-0.505 (A)

I3=I11-I22=1.01-0.505=0.505 (A)

I4=I22-I33=0.505-0.757=-0.252 (A)

I5=I33=0.757 (A)

6)Энергетический  баланс мощностей 

На основании закона сохранения энергии количество теплоты выделяющиеся в единицу времени на резисторах должно равняться энергии доставляемой за это же время источниками энергии.

 SIE=SI2R

E1*I1+E2*I5=I12 *(R1+R5)+I22*R2+I32 *R3+I42*R4+I52*(R5+R7)

50.5+37.5=32.64+6.120+3.825+0.068+34.382

88.35=77.055 (Вт)

2.3 Метод узловых  потенциалов

1) Выбираем базисный  узел (целесообразно за базисный  принимать тот узел, в котором  пересекается больше всего ветвей):

V3=0

2) Задаемся  положительными направлениями узловых  потенциалов от базисного узла.

1. Записываем собственные и взаимные проводимости узлов, исключая базисный:

g11=0.0238+0.0416+0.0666=0.132 (Сим)

g22=0.0416+0.0555+0.0166=0.1137 (Сим)

g12=0.0416 (Сим)

 

4) Введем узловые  токи для всех узлов, исключая  базисный:

I11,I22

I11=1.1904 (A)

I22= -0.8333 (A)

Узловой ток равен алгебраической сумме токов от действия ЭДС ветвей пересекающихся в данном узле.

Если ЭДС направлено к узлу, то ЭДС записываем со знаком «+», в противном случае «-».

1. Записываем систему уравнений:

V1*g11-V2*g12=I11

V2*g22+V1*g21=I22

g12=g21=0.0416 (Сим)

V1*0.132+V2*(-0.0416)=1.1904

V2*0.1137+V1*(-0.0416)= -0,8333

V1*0.132-V2*0.0416=1.1904

-V1*(-0.0416)+V1*0.132= -0.8333

|0.132   -0.0416|

D= |-0.0416   0.132| = 0.0174-0.0174=0.0157

|1.1904   -0.0416|

 D1= |-0.83330.132| = 0.1571+0.0346=0.1225

|0.132   1.1904|

 D2= |-0.0416   -0.8333| = (-0.1099)-(-0.0495)= -0.0604

V1=D1/D= 0.125/0.0157= 7.8025

V2=D2/D= -0.0604/0.0157= -3.8471

I1=(V3-V1+E1)/(R1+R6)=42.1975/42=1.0047 (A)

I2=(V1-V2)/R2=11.6496/24=0.4854 (A)

I3=(V3-V1)/R3= -7.8025/15= -0.5201 (A)

I4=(V3-V2)/R4= 0.2137 (A)

I5=(V3-V2+E2)/(R5+R7)= 53.8471/60=0.8974 (A)

2.4 Энергетический баланс мощностей

На основании закона сохранения энергии количество теплоты выделяющиеся в единицу времени на резисторах должно равняться энергии доставляемой за это же время источниками энергии.

SIE=SI2R

Энергетический баланс мощностей методом контурных токов:

E1*I1+E2*I5=I12 *(R1+R5)+I22*R2+I32 *R3+I42*R4+I52*(R5+R7)

50.5+37.5=32.64+6.120+3.825+0.068+34.382

88.35=77.055 (Вт)

Энергетический баланс мощностей методом узловых потенциалов:

E1*I1+E2*I5=I12 *(R1+R5)+I22*R2+I32 *R3+I42*R4+I52*(R5+R7)

50.235+44.87=42.3948+5.6547+4.0575+0.8208+48.318

95.105=101.245 (Вт)

2.5 Построение потенциальных диаграмм для двух замкнутых контуров

Va=0

Vb=Va-I1*R1= -12.05     B (12;-12.0564)

R=12 (Ом)

Vc=Vb-I3*R3= -19.8579 C (27;-19.8579)

R=R+15 (Ом)

Vd=Vc-I1*R6= -50.02  D (57;-50.02)

R=R+30 (Ом)

Va=Vd+E1= 0  A (57;0)

R=57 (Ом)

 

Vt=0

Vf=Vt+I5*R5= 22.71  F(30;22.71)

R=30 (Ом)

Ve=Vf+I5*R7= 45.42  E(60;45.42)

R=R+30 (Ом)

Vs=Ve-I4*R4= 40.884  S(78;40)

R=R+18 (Ом)

Vt=Vs-E2= 10   T(78;10)

R=78 (Ом)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Существует большое разнообразие цепей преобразующих ту или иную энергонесущую материю. Какова бы ни была энергонесущая материя (например, электрический ток), и в каком бы режиме ни функционировала преобразующая энергию цепь, существует ограниченный набор универсальных методов для их анализа и расчета. Цель расчета цепей состоит в уточнении величин токов и падений напряжения на элементах во всех режимах работы.

Для анализа и расчета электрическая цепь графически представляется в виде электрической схемы, содержащей условные обозначения ее элементов и способы их соединения. Для расчета и анализа электрических цепей используется законы Ома, Кирхгофа.

Выбор наиболее рационального метода расчета разветвленной цепи основан на учете особенностей схемы и поставленной задачи. Все соображения по выбору расчетных методов для цепей постоянного тока применимы и к выбору расчетных методов для цепей синусоидального тока.

Нелинейными называются электрические цепи, содержащие нелинейные элементы, т.е. элементы вольт-амперная  характеристика (ВАХ) которых отличается от прямой линии.

Различают численные, аналитические и графические методы расчета нелинейных электрических цепей.

1) Численные - это методы  численного решения нелинейных  уравнений. Обычно используют ЭВМ. Они позволяют решить широкий  круг задач, но ответ получается  в виде числа.

2) Аналитические - это методы, в основе которых лежит аппроксимация  ВАХ какой-нибудь подходящей функции. Если эта функция нелинейная, то получается нелинейная система  уравнений. Чтобы она могла быть  решена, приходиться очень аккуратно  выбирать аппроксимирующую функцию.

3) Графические методы расчета нелинейных цепей постоянного тока

Чаще всего применяют кусочно-линейную аппроксимацию, когда всю ВАХ заменяют на совокупность отрезков прямых. Каждый отрезок ВАХ описывают линейным уравнением (U=a+bi). Этому уравнению сопоставляют некоторую схему замещения. Для каждого участка аппроксимации нелинейный элемент заменяют его схемой замещения. Задача становиться линейной. Можно применять все методы расчёта линейных цепей.

В процессе выполненных заданий я проанализировал схему разветвленной электрической цепи постоянного тока, в полном объёме изучил её работу, различные методы определения токов и напряжений, узловых потенциалов, проверил на практике различные законы Ома, законы Кирхгофа, баланс мощностей. Наглядно графическим методом показал зависимость напряжения от сопротивления.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Башин М. Л. Теория электрических цепей // Электротехника, №4 2011г.
2. Галицкая Л.Н. "Теоретические основы электротехники. Курсовое проектирование" – Минск, 2013г.
3. Дятлаф А.А. Яворский Б.М. Курс физики//Высшая школа . 2010г.
4. Евдокимов Ф.Е. "Теоретические основы электротехники". Издательство "Высшая школа" - Москва 2012г.
5. Кринина М. Физика для высшеё школы // Физфакультет. 2010г.
6. Попов В.С. "Теоретическая электротехника" - Москва 2013г.
7. Савельев И.Р. Курс общей физики // Москва 2011г.

 

1 Галицкая Л.Н. "Теоретические основы электротехники. Курсовое проектирование" – Минск,  2013г, с.123

2 Галицкая Л.Н. "Теоретические основы электротехники. Курсовое проектирование" – Минск,  2013г, с.117.

3 Башин М. Л. Теория электрических цепей // Электротехника, №4 2011г, с.83.

4 Башин М. Л. Теория электрических цепей // Электротехника, №4 2011г, с.84.

5 Башин М. Л. Теория электрических цепей // Электротехника, №4 2011г, с.86.

6 Кринина М. Физика для высшей школы.  М.: Просвещение, 2010г., с.143.

7 Кринина М. Физика для высшей школы.  М.: Просвещение, 2010г., с.145.

8 Дятлаф А.А. Яворский Б.М. Курс физики. Москва, Высшая школа . 2010г., с.311.

9 Савельев И.Р. Курс общей физики. Москва, Просвещение 2011г, с.302.

10 Савельев И.Р. Курс общей физики. Москва, Просвещение 2011г, с.328.

11 Попов В.С. "Теоретическая электротехника" – Москва, 2013г., с. 165.

12 Попов В.С. "Теоретическая электротехника" – Москва, 2013г., с.376.