Электрическая цепь постоянного тока

Однако в электротехнике широко применяют и такие устройства, сопротивление которых резко изменяется в зависимости от силы или направления проходящего через них тока либо приложенного напряжения. Подобные сопротивления имеют вольт-амперную характеристику, отличающуюся от прямой (кривая 2 на рис. 7), и называются поэтому нелинейными сопротивлениями. Простейшим нелинейным сопротивлением является электрическая лампа накаливания. При протекании тока по металлической нити лампа нагревается и сопротивление ее возрастает. Следовательно, при увеличении приложенного к лампе напряжения сила тока будет возрастать не прямо пропорционально напряжению, а в несколько меньшей степени работы8.

В принципе большинство электрических устройств может быть представлено в виде нелинейного сопротивления, так как при изменении силы тока меняется температура данного устройства, а следовательно, и его сопротивление. Однако у многих из них вольт-амперные характеристики в рабочем диапазоне изменений напряжения и тока мало отличаются от прямой, поэтому приближенно можно их считать линейными сопротивлениями.

Рисунок 7 - Вольт-амперные характеристики линейных и нелинейных сопротивлений.

 

К сопротивлениям с нелинейной вольт-амперной характеристикой относятся электрические лампы накаливания, термисторы (полупроводниковые резисторы, сопротивление которых сильно изменяется при изменении температуры), полупроводниковые диоды, тиристоры и транзисторы, электронные лампы и пр. Нелинейные сопротивления широко используют в электротехнике для автоматического регулирования силы тока и напряжения в электрических цепях, электрических измерений, выпрямления тока и пр.

 

 1.3 Неразветвленные и разветвленные электрические цепи.

Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 8, а представлена схема простейшей неразветвленной цепи.

 

Рисунок 8 – Неразветвленная электрическая цепь

 Во всех элементах  ее течет один и тот же  ток. Простейшая разветвленная цепь изображена на рис. 9,

 

Рисунок 9 – Разветвленная электрическая цепь

 

В ней имеются три ветви и два узла. В каждой ветви течет свой ток. Ветвь можно определить как участок цепи, образованный последовательно соединенными элементами (через которые течет одинаковый ток) и заключенный между двумя узлами. В свою очередь, узел — это точка цепи, в которой сходятся не менее трех ветвей. Если в месте пересечения двух линий на электрической схеме поставлена точка, то в этом месте есть электрическое соединение двух линий, в противном случае его нет.

Кроме термина «узел» иногда используют термин «устранимый узел». Под устранимым узлом понимают точку в которой соединены два последовательных сопротивления. Этим понятием пользуются при введении данных в ЭВМ о значении и характере сопротивлений работы9.

1.4 Нелинейные  электрические цепи постоянного тока

Нелинейными называются электрические цепи, содержащие нелинейные элементы, т.е. элементы вольт-амперная  характеристика (ВАХ) которых отличается от прямой линии. Нелинейные элементы разделяются на две большие группы: неуправляемые и управляемые. В управляемых нелинейных сопротивлениях, в отличие от неуправляемых, есть одна или несколько вспомогательных или управляющих цепей, воздействую на напряжение или ток которых можно изменять ВАХ основной цепи.  У неуправляемых НС ВАХ  изображается одной кривой, а у управляемых – семейством кривых. Примеры неуправляемых НС: лампы накаливания, электрическая дуга, бареттер, стабиловольт, нелинейное полупроводниковое сопротивление (НПС), диоды и др. Примеры управляемых  НС: электронные лампы, транзисторы, тиристоры. В зависимости от вида ВАХ различают два вида НС -  симметричные и несимметричные. Симметричными называются элементы, у которых ВАХ не зависит от  направления тока в них или направления напряжения на их зажимах. У несимметричных НС  ВАХ не одинакова при различных  направлениях  I  и  U. ВАХ симметричных НС изображают только в первом квадранте, а несимметричных – в первом и третьем. В примерах НС подчеркнуты названия симметричных элементов. Остальные – несимметричные работы10.

Рассмотрим ВАХ наиболее распространенных НС.

1.  Лампа накаливания (рис.10,а), конструкция которой известна всем. Она является нелинейным элементом по той причине, что по мере возрастания напряжения температура её нити всё больше и больше повышается, а, следовательно, возрастает её сопротивление. Это приводит к тому, что ток растет менее интенсивно, чем  напряжение. Если бы роста сопротивления не происходило, то лампа была бы линейным элементом (пунктирная линия на рис.10а).  

 

Рисунок 10 – Характеристики электрической цепи лампы накаливания

 

2. Бареттер.  Его конструкция: внутри стеклянного баллона в водородной среде натянута вольфрамовая нить. Параметры бареттера подобраны таким образом, что  на некотором интервале изменения напряжения сопротивление нити растет примерно пропорционально напряжению, а ток при этом изменяется незначительно. ВАХ принимает вид, представленный на рис.10,б. Рабочим участком ВАХ  является участок, на котором происходит незначительное изменение тока. Используется бареттер в устройствах стабилизации тока.

   3. Стабиловольт – он представляет собой стекляный баллон, внутри которого в гелиевой среде располагаются два электрода: анод А и катод К. Если к электродам подвести напряжение (на А – обязательно +, иначе работа невозможна), то между ними зажигается электрическая дуга. Правда для её зажигания нужно подать повышенное напряжение. Затем напряжение на дуге с ростом тока хотя и падает, но незначительно и ВАХ имеет вид, представленный на рис.10,в. Используется стабиловольт для стабилизации напряжения.

4. Диоды.  Существует очень  много диодов, которые отличаются  как конструкцией, так и принципом  действия. Объединяет их внешний  вид ВАХ, которая приведена на рис.10,г. Диод является несимметричным элементом, поэтому приведена его ВАХ в первом и третьем квадрантах. При положительном токе (по стрелке условного обозначения) напряжение на диоде имеет очень малые значения, а при отрицательном (обратном) напряжении – очень мал ток. Если обратное напряжение превысит критическое значение Uкр,  то диод выходит из строя (пунктирная часть ВАХ).   Применение диодов очень разнообразное, но чаще всего они используются для выпрямления переменного тока.

5. Транзисторы. Типов ранзисторов очень много. Мы рассмотрим условное обозначение (см. рис.10,д) и семейство ВАХ транзистора типа  n-p-n. Транзистор имеет три вывода – коллектор К, эмиттер Э и базу Б. Основной цепью (цепью нагрузки) является цепь  К-Э. Ток и напряжение этой цепи называют – ток коллектора (Iк), напряжение коллектора (Uк). Цепь Б-Э является цепью управления и ток в ней называют током базы (IБ). При отсутствии тока базы ток коллектора очень мал при любых Uк Примерный вид семейства ВАХ при всё больших и больших значениях IБ   показан на рис.10,д. Такие семейства ВАХ для любого транзистора приводятся в справочниках работы11.

1.5 Расчет нелинейных электрических цепей

Если в сложной электрической цепи имеется одна ветвь с нелинейным резистором, то определение тока в ней можно проводить на основе теоремы об активном двухполюснике (методом эквивалентного генератора). Идея решения заключается в следующем. Ветвь, содержащая нелинейный резистор, выделяется из исходной цепи, а вся остальная, уже линейная, схема представляется в виде активного двухполюсника (АД). Согласно теореме об АД схему линейного АД по отношению к зажимам 1-2 выделенной ветви (см. рис. 11,а) можно представить эквивалентным генератором (см. рис. 11,б) с ЭДС, равной напряжению  на зажимах 1-2 при разомкнутой ветви с нелинейным резистором, и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению линейного двухполюсника. Последняя схема рассчитывается, например, графическим методом как цепь с последовательным соединением элементов.

Рисунок 11 – Схема АД электрической цепи

 

Если необходимо также найти токи в линейной части исходной цепи, то после расчета нелинейной схемы на рис. 11,б в соответствии с теоремой о компенсации нелинейный резистор заменяется источником ЭДС или тока, после чего проводится анализ полученной линейной цепи любым известным методом.

Аналитические методы расчета

Исследования общих свойств нелинейных цепей удобно осуществлять на основе математического анализа, базирующегося на аналитическом выражении характеристик нелинейных элементов, т.е. их аппроксимации. На выбор аналитического метода влияют условия поставленной задачи, а также характер возможного перемещения рабочей точки по характеристике нелинейного элемента: по всей характеристике или в ее относительно небольшой области работы.

К аналитическим методам относятся: 

- метод аналитической аппроксимации;

- метод кусочно-линейной аппроксимации;

-метод линеаризации.

Метод аналитической аппроксимации основан на замене характеристики (или ее участка) нелинейного элемента общим аналитическим выражением. Применяются следующие виды аналитической аппроксимации:

- степенным многочленом (см. рис. 12,а);

- трансцендентными (экспоненциальными, гиперболическими и др.) функциями (см. рис.12,б).

Выбор коэффициентов (а,b,c,…) осуществляется исходя из наибольшего соответствия аналитического выражения рабочему участку нелинейной      характеристики.     При       этом выбираются наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая. Число точек равно числу коэффициентов в аналитическом выражении, что позволяет однозначно определить последнее.

 

Рисунок 12 - Метод аналитической аппроксимации

 

Необходимо помнить, что при получении нескольких корней нелинейного уравнения они должны быть проверены на удовлетворение задаче. Пусть, например, в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного R и нелинейного резисторов, ВАХ последнего может быть аппроксимирована выражением . Определить ток в цепи, если источник ЭДС Е обеспечивает режим работы цепи в первом квадранте.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для данной цепи имеет место уравнение

 

                                      

                            (13)

 

или

 

                                          

.                                         (14)

 

Корни уравнения

 

                                   

.                              (15)

 

Решением задачи является , поскольку второе решение  не удовлетворяет условиям исходя из физических соображений.

Метод кусочно-линейной аппроксимации основан на представлении характеристики нелинейного элемента отрезками прямых линий (см. рис. 13), в результате чего нелинейная цепь может быть описана линейными уравнениями с постоянными (в пределах каждого отрезка) коэффициентами.

Рисунок 13 - Метод кусочно-линейной аппроксимации

 

При наличии в цепи двух и более нелинейных резисторов реализация метода затруднена, так как в общем случае изначально неизвестно, на каких участках ломаных кривых находятся рабочие точки работы.

Кусочно-линейная аппроксимация может быть реализована методом секционных кусочно-линейных функций, позволяющим описать ломаную кривую общим аналитическим выражением. Например, для кривой, представленной на рис. 14 и определяемой коэффициентами  и  характеризующими наклон ее отдельных прямолинейных участков, и параметрами , характеризующими координаты точек, где значения функции изменяются скачками, данное выражение будет иметь вид

 

Рисунок 14 - Методом секционных кусочно-линейных функций.

 

Здесь два первых слагаемых в правой части определяют первый наклонный участок аппроксимируемой кривой; три первых слагаемых - первый наклонный участок и участок первого скачка; четыре первых слагаемых - первый и второй наклонные участки с учетом участка первого скачка и т.д работы12.  

В общем случае аппроксимирующее выражение по методу секционных кусочно - линейных функций имеет вид

Метод линеаризации применим для анализа нелинейных цепей при малых отклонениях рабочей точки Р (см. рис. 15) от исходного состояния.

 

Рисунок 15 - Метод линеаризации.

 

В окрестности рабочей точки (см. рис.15)

 

                                         

,                                          (16)

 

где        (закон Ома для малых приращений);

-дифференциальное сопротивление.

Идея метода заключается в замене нелинейного резистора  линейным с сопротивлением, равным дифференциальному в заданной (или предполагаемой) рабочей точке, и либо последовательно включенным с ним источником ЭДС, либо параллельно включенным источником тока. Таким образом,  линеаризованной ВАХ (см. прямую на     рис. 15) соответствует последовательная (рис. 16,а) или параллельная (рис.16,б) схема замещения нелинейного резистора работы.

 

Рисунок 16 – ВАХ линеаризованной цепи

 

Если исходный режим определен и требуется рассчитать лишь приращения токов и (или) напряжений, обусловленные изменением напряжения или тока источника, целесообразно использовать эквивалентные схемы для приращений, получаемые на основании законов Кирхгофа для малых приращений:

-первый закон Кирхгофа: ;

-второй закон Кирхгофа: .

При составлении схемы для приращений:

1) все ЭДС и токи источников  заменяются их приращениями;

2) нелинейные резисторы  заменяются линейными с сопротивлениями, равными дифференциальным в рабочих точках.

Необходимо помнить, что полная величина какого-либо тока или напряжения в цепи равна алгебраической сумме исходного значения переменной и ее приращения, рассчитанного методом  линеаризации.

Если исходный режим работы нелинейного резистора неизвестен, то следует задаться рабочей точкой на его ВАХ и, осуществив соответствующую линеаризацию, произвести расчет, по окончании которого необходимо проверить, соответствуют ли его результаты выбранной точке. В случае их несовпадения линеаризованный участок уточняется, расчет повторяется и так до получения требуемой сходимости