Изучение материала по теме "Гидростатика"

   Задача  №6. На дне аквариума стоит склеенная из 4 одинаковых кубиков деталь (рис.5). Длина ребра каждого кубика 10 см. В аквариум медленно наливают воду. Когда высота уровня воды достигает 10 см, деталь отрывается от дна. Опыт повторяют, натерев нижнюю грань детали парафином (теперь вода не подтекает под эту грань). До какой высоты h нужно теперь налить в аквариум воды, чтобы деталь оторвалась от дна?

   

   Решение. В первом случае деталь оторвалась от дна, когда масса вытесненной воды достигла 1 кг. Следовательно, масса детали 1 кг. Во втором случае вода не затекает под основание нижнего кубика и не давит на него снизу. Поэтому архимедова сила действует только на нижние грани двух боковых кубиков. Деталь оторвется от дна, когда каждый из этих кубиков вытеснит 0,5 кг воды. Отсюда находим h = 15 см.

   2.13 ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ «УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ» 

   Описать движение жидкости и газа гораздо  труднее, чем решить задачи гидростатики. Хотя гидроаэродинамика основана на трех хорошо знакомых в механике законах  сохранения массы, импульса и энергии, их формулировка здесь выглядит немного сложнее. Например, определение закона сохранения массы обычно выглядит так: масса системы тел остается неизменной. Для жидкости, текущей в трубе, этот закон используется в форме (называемой уравнением неразрывности):

υS=const

    Здесь – υ скорость жидкости, S – площадь сечения трубы, по которой течет жидкость. Сформулировать этот закон можно так: сколько вливается жидкости в трубу, столько должно и выливаться, если условия течения не изменяются. Согласно уравнению неразрывности скорость жидкости в узких местах трубки больше, чем в широких.

   Познакомимся  с распределением давления в движущейся жидкости. Обратимся к опытным фактам. Возьмем трубку переменного сечения с небольшими отверстиями в стенке, в которые вставлены стеклянные открытые сверху измерительные трубки (рис.1). При стационарном течении (движение жидкости называется стационарным, если во всех точках пространства скорости элементов жидкости не меняются со временем) жидкость в каждой измерительной трубке поднимется до определенной высоты. По высоте столба жидкости в измерительных трубках можно судить о её давлении на стенки горизонтальной трубки. Опыт показывает, что в широких местах трубки давление больше, чем в узких. Но чем больше сечение трубки, тем меньше скорость течения жидкости. Следовательно, можно сделать вывод:

   При стационарном течении  жидкости давление больше в тех местах, где  меньше скорость течения, и, наоборот, меньше в тех местах, где  скорость течения  больше.

Зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее стационарного течения и перепада высоты была установлена в математической форме Даниилом Бернулли в 1783 году. Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии и условие неразрывности течения идеальной жидкости.

    Пусть труба  переменного сечения расположена  наклонно к горизонту. Выделим некоторый объем жидкости между сечением АВ в широкой части трубы и сечением CD в узкой части (рис. 2).

   Пусть площадь поперечного сечения, давление и модуль скорости потока в широкой  части равны S₁, p₁, υ₁, а в узкой части – S₂, p₂, υ₂.

   Если  жидкость течет слева направо, под  действием сил давления F₁ и F₂ и силы тяжести выделенный объем жидкости за малое время Dt сместится вправо и займет часть трубы, ограниченную сечениями А₁В₁ и C₁D₁. Силы давления F₁ и F₂ совершат работу

A = A₁ + A₂ = F₁l₁ – F₂l₂ = p₁S₁υ₁Dt – p₂S₂υ₂Dt.

   Существенно, что при стационарном течении  жидкости энергия объема жидкости, заключенного между сечениями  А₁В₁ и CD остается неизменной. Все происходит так, как если бы жидкость, занимавшая объем АВВ₁А₁, переместилась бы и заняла объем CDD₁C₁. Поэтому достаточно учесть лишь изменение энергии элемента жидкости, переходящей из области АВВ₁А₁ в область CDD₁C₁. Работа внешних сил давления согласно закону сохранения энергии равна изменению энергии этого элемента. Его объем DV не изменяется вследствие несжимаемости жидкости.

   Изменение энергии этого элемента жидкости равно:

   DE =DE_k + DEp = ½*ρDV(υ₂² – υ₁²) + ρg(S₂l₂h₂ – S₁l₁h₁).

   Учитывая, что DE = А, получим:

½*ρDV(υ₂² – υ₁²) + ρg(DVh₂ - DVh₁) = p₁S₁υ₁Dt – p₂S₂υ₂Dt.

   Так как S₁υ₁Dt = S₂υ₂Dt = DV, то после сокращения на DV находим:

½*ρυ₂² – ½*ρυ₁² + ρgh₂ -ρg h₁ = p₁ – p₂.

Откуда

p₁ + ρg h₁ + ρυ₁²/2= p₂ + ρgh₂ + ρυ₂²/2 

или

p₁ + ρg h₁ + ρυ₁²/2=const

   Это и есть уравнение Бернулли для течения идеальной жидкости.

   В этом уравнении все слагаемые имеют размерность давления и соответственно называются: p - статическое давление, ρυ²/2 - динамическое давление (или плотность кинетической энергии), pgh - весовое давление (плотность потенциальной энергии). Согласно уравнению Бернулли сумма давления и плотностей кинетической и потенциальной энергий при стационарном течении идеальной жидкости остается постоянной для любого сечения потока.

   При отсутствии скорости уравнение Бернулли превращается в гидростатическую формулу. Если труба устроена так, что давление в ней остается постоянным, уравнение Бернулли для жидкости просто совпадает с законом сохранения энергии для материальной точки. Если же труба устроена так, что можно не учитывать изменение высоты h (в силу малой плотности вещества или малого изменения этой высоты), то результат получится неожиданным: скорость в узких участках трубы растет, - значит там должно падать давление. Максимальное давление в трубах устанавливается именно там, где труба имеет наибольшее сечение; здесь ее материал может не выдержать и разорваться. Узкие части трубы в этом отношении безопасны, но в них давление может упасть настолько, что жидкость закипит, - это тоже приведет к разрушению материала трубы.

   Уравнение Бернулли справедливо и для газов, если скорость течения достаточно мала, так как в этом случае можно пренебречь их сжимаемостью.

   Уравнение Бернулли просто объясняет множество  явлений, происходящих в жидкости и  газе.

   1) Например, крыло самолета, которое  обтекает равномерный поток воздуха.  Даже при отсутствии у крыла  угла атаки, т. е. наклона по направлению к набегающему потоку, существует подъемная сила, направленная вверх. Именно из-за такой формы крыла, в соответствии с уравнением неразрывности получается, что скорость воздуха под крылом меньше, чем над ним. Это означает, что давление снизу крыла больше, чем  давление сверху. Разность давлений и создает подъемную силу.

   2) Капитаны морских и речных  судов прекрасно знакомы с  коварным проявлением уравнения  Бернулли. Если два корабля идут  параллельным курсом слишком  близко один к другому, возникает гидродинамическая сила, толкающая их друг к другу, в результате чего может произойти кораблекрушение. Формула Бернулли позволяет понять, почему возникает эта сила: относительная скорость воды между судами будет больше, чем снаружи, давление воды на корабли в пространстве между ними окажется ниже, чем извне. Перепад давлений по разные стороны кораблей создает силу, толкающую их друг к другу.

   3)Закон  Бернулли позволяет измерять  скорость движения жидкости или  газа с помощью манометра – прибора для измерения давления.

    С помощью  уравнения Бернулли можно найти  скорость истечения идеальной жидкости из отверстия, расположенного в сосуде на глубине h относительно поверхности жидкости. Если сосуд широкий, а отверстие мало, то скорости жидкости в сосуде малы. Ко всему потоку жидкости в целом можно применить уравнение Бернулли. В верхнем сечении (рис.3) у поверхности жидкости давление p₀ равно атмосферному, а скорость υ₀»0. В нижнем сечении «трубки» - в отверстии давление также равно атмосферному. Если скорость в отверстии обозначить через υ, то для этих двух сечений уравнение Бернулли можно записать так:

p₀ + ρυ₁²/2= p₀ + ρgh,

или

υ = ü2gh,

где h – высота жидкости в сосуде над отверстием.

   Истечение происходит с той же скоростью, какую  имело бы тело при свободном падении с высоты h. Этот результат вытекает и из закона сохранения механической энергии, так как жидкость идеальна (без вязкости).  

   2.14 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ  НА ТЕМУ «УРАВНЕНИЕ  БЕРНУЛЛИ» 

   Задача  №1. Почему, спускаясь на лодке по реке, плывут посредине реки, а поднимаясь, стараются держаться берега?

   Решение. Это связано с тем, что скорость течения в разных точках различна: скорость течения реки посредине больше, чем у берегов. Поэтому при спуске плывут посредине реки, что облегчает спуск, т. к. к скорости лодки прибавляется скорость течения реки. При подъеме стараются держаться берега, чтобы течение реки не сильно сносило лодку, т.к. скорость движения лодки при этом уменьшается на величину скорости течения реки.

   Задача  №2. Почему сильный ветер вздымает высоко над землей сухие листья?

   Решение. Благодаря большой скорости воздушного потока давление воздуха на поверхности этих предметов становится меньше атмосферного, т. к. чем больше скорость воздуха, тем меньше его давление. Под листьями давление атмосферное. Вследствие разности давлений возникает подъемная сила, которая и поднимает листья над землей.

   Задача  №3. В сосуд, в дне которого имеется узкое отверстие, закрытое пробкой, налита вода до высоты h = 1 м. На поверхности воды находится поршень массой m = 1 кг и площадью S = 100 см². Между поршнем и стенками сосуда вода не просачивается. Найдите скорость истечения воды из отверстия в дне сосуда сразу после того, как из отверстия будет вынута пробка. Трение не учитывать.

   Решение. Воспользуемся уравнением Бернулли. Давление в струе воды равно атмосферному p₀. Давление под поршнем на высоте h от отверстия равно p₀ + mg/S. Скоростью течения жидкости под поршнем можно пренебречь, так как она мала по сравнению со скоростью истечения из отверстия, потому что площадь отверстия значительно меньше площади поршня. Согласно уравнению Бернулли

p₀ + ρυ²/2= p₀ + ρgh + mg/S.

   Отсюда

υ = ü2gh + 2mg/ρS » 4,9 м/с.