Изучение материала по теме "Гидростатика"

    Этот опыт приводит к мысли, что при надлежащей форме сосуда можно при помощи небольшого количества жидкости создать очень большие силы давления на дно. 

   2.4 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ  НА ТЕМУ «ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ  ДАВЛЕНИЕ» 

   Задача  №1. Вы опускаете палец в стакан с водой, не касаясь дна стакана. Изменяется ли при этом сила давления воды на дно? Если изменяется, то как?

   Решение: Сила давления жидкости на дно зависит от уровня жидкости в сосуде. Если первоначально стакан был заполнен не доверху, то после опускания пальца уровень воды поднимется, вследствие чего сила давления на дно увеличится. Если же стакан был заполнен доверху, то сила давления на дно не изменится (часть воды просто выльется из стакана).

   Задача  №2. Изменится ли давление воды на дно ведра, если в воду опустить мяч? Камень?

   Указание: Давление увеличится, если ведро было неполным, и останется неизменным, если ведро было заполнено водой доверху.

   Задача  №3. Каково давление воды на дно в точках А, В, С (рис.4)? Атмосферное давление не учитывайте. 

    Решение. Когда жидкость покоится, давление во всех точках, лежащих на одном уровне, одинаково: разность давлений вызвала бы перетекание жидкости. Следовательно, p_A=p_B=p_C. В точке же С p_C=ρgh, где ρ – плотность воды. При вычислении давления жидкости глубину следует отсчитывать от свободной поверхности этой жидкости. Иначе аквалангист, заплывший на стометровой глубине в низкую подводную пещеру, мог бы «спрятаться» от давления воды.

    Задача  №4. В сосуд, имеющий форму куба с ребром а, налита доверху жидкость плотностью ρ (рис.5). Определить силы давления жидкости на дно и на стенки сосудов. Атмосферное давление не учитывайте.

   Решение:

   Давление  жидкости на дно сосуда будет равно  весу столба жидкости высотой а с площадью основания равной единице:

   p₁=ρgа.

   Сила  давления на дно сосуда:

   F₁=p₁S=ρga³.

   Давление  на боковую грань куба будет зависеть от расстояния до поверхности жидкости. На глубине h давление

   p=ρgh.

   Так как давление изменяется с глубиной по линейному закону, то для определения  силы давления мы должны среднее давление

   p_ср= ρgh+0/2= ρgh/2.

умножить  на площадь боковой грань:

F₂= ρga³/2.

   Задача  №5. На горизонтальном листе резины лежит перевернутая кастрюля радиусом R=10 см и высотой H=15 см. В дне кастрюли просверлено круглое отверстие радиуса r=1 см, в которое плотно вставлена легкая вертикальная трубка (рис. 6). В кастрюлю через трубку наливают воду. Когда вода заполняет всю кастрюлю и поднимается по трубке на h=4 см, она начинает вытекать из-под краев кастрюли. Какова масса m кастрюли?

   Решение: Вода начинает вытекать, когда кастрюля чуть приподнимается. Приподнимает кастрюлю направленная вверх сила давления воды на дно. Эта сила

F=pS

должна  уравновесить действующую на кастрюлю силу тяжести mg. Здесь p=ρgh – давление воды на дно,

S = pR²-r²

– площадь дна кастрюли (с учетом отверстия).

   Из  условия равновесия F = mg находим

   m = pρh(R²-r²).

   Заметим, что ответ не зависит от высоты кастрюли H.

   Задача  №6. Оцените массу атмосферы Земли (радиус Земли R = 6400 км).

   Решение. Вес атмосферы равен силе давления воздуха на всю поверхность Земли, площадь которой

   S = 4pR².

   Следовательно, mg =p_а× 4pR², где p_а = 50 Па – атмосферное давление. Отсюда 

   m =p_а× 4pR²/g » 5×10¹⁸ кг.

   Эта величина составляет менее одной  миллионной части полной массы нашей  планеты. Такая простая оценка массы  атмосферы возможна потому, что основная часть атмосферы сосредоточена  на высотах, малых по сравнению с  радиусом Земли. Поэтому можно считать, что вес атмосферы равен mg, где g – ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. 

   2.5 ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ  «СООБЩАЮЩИЕСЯ СОСУДЫ» 

   Свойство  жидкости передавать давление по всем направлениям без изменения позволяет  объяснить устройство сообщающихся сосудов.

   Сосуды, имеющие общую (соединяющую их) часть, заполненную покоящейся жидкостью, называются сообщающимися.

    Простейшими примерами сообщающихся сосудов  могут служить лейка, чайник, кофейник. Из опыта мы знаем, что вода, налитая, например, в чайник, стоит всегда на одном уровне (рис.1).

    Проделаем опыт. Соединим два стеклянных сосуда резиновой  трубкой и, зажав трубку в середине, нальем в один из сосудов воду (рис.2, а). Теперь откроем зажим и проследим  за перетеканием воды из одного сосуда в другой, сообщающийся с первым. Мы видим, что вода будет перетекать до тех пор, пока поверхности воды в обоих сосудах не установится на одном уровне (рис.2, б). Оставим один из сосудов закрепленным в штативе, а другой будем поднимать, опускать или наклонять в сторону. Видим, что все равно, как только движение воды прекратится, её уровни в обоих сосудах окажутся одинаковыми (рис.2,в).

   Закон сообщающихся сосудов: в сообщающихся сосудах поверхности однородной жидкости устанавливаются на одном уровне.

   Для доказательства этого закона рассмотрим частицы жидкости, находящиеся в том месте, где соединяются сосуды (внизу на рисунке 1, а). Так как эти частицы (вместе со всей остальной жидкостью) покоятся, то силы давления, действующие на них слева и справа, должны уравновешивать друг друга. Но эти силы пропорциональны давлениям, а давления – высотам столбов жидкости, со стороны которых действуют эти силы. Поэтому из равенства рассматриваемых сил следует и равенство высот столбов жидкости в сообщающихся сосудах.

    Изменим условия опыта: в правый сосуд нальем воду, а в левый керосин, плотность которого меньше плотности воды. Видим, что уровень воды в правом сосуде ниже, чем уровень керосина в левом сосуде (рис. 3).

     Это объясняется тем, что давление жидкости на дно сосуда зависит не только от высоты столба, но и от плотности жидкости. Поскольку жидкости и в данном случае будут покоиться, то по-прежнему можно утверждать, что давления, создаваемые и правым и левым столбами жидкостей (например, на уровне АВ на рисунке 3), равны:

   р₁=р₂.

   Выразим каждое из давлений с помощью формулы  гидростатического давления:

   р₁=ρ₁gh₁, р₂=ρ₂gh₂.

   Получим

   ρ₁gh₁= ρ₂gh₂,

   откуда

   h₁/h₂= ρ₂/ρ₁.

   Из  этого равенства следует, что  в сообщающихся сосудах высоты столбов жидкости над уровнем раздела жидкостей обратно пропорциональны плотности этих жидкостей. При этом высоты столбов жидкости отсчитываются от поверхности соприкосновения жидкостей друг с другом.

   2.6 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ  НА ТЕМУ «СООБЩАЮЩИЕСЯ  СОСУДЫ» 

   Задача  №1. В сообщающихся сосудах находится ртуть. В один из сосудов доливают воду, а в другой – керосин. Высота столба воды h_в = 20 см. Какова должна быть высота h_к столба керосина, чтобы уровни ртути в обоих сосудах совпадали?

   Решение. Уровни ртути будут совпадать, если давление столба воды и столба керосина одинаково: ρ_вgh_в= ρ_кgh_к. Отсюда находим h_к = ρ_вh_в/ρ_к = 25 см.

    Задача  №2. В сообщающихся сосудах (рис. 4) находится холодная вода. В каком направлении потечет вода по трубке, соединяющей сосуды, если их поместить в теплое помещение?

   Решение. Выделив в соединительной трубке некоторый участок. Вначале давление воды на этот участок с обеих сторон было одинаковым, и вода не перемещалась. При одинаковом уменьшении плотности воды в сосудах увеличение высоты столбов воды в них будет разным. В левом сосуде высота столба воды будет увеличиваться быстрее, чем в правом. Так как давление воды пропорционально высоте столба, то слева на выделенную площадку давление будет больше и вода в соединительной трубке начнет перемещаться вправо.

   Задача  №3. При равновесии поршень в первом из сообщающихся сосудов (рис. 5) устанавливается на h₁ = 20 см выше, чем во втором. Массы поршней m₁ = 2 кг и m₂ = 4 кг. Если на первый поршень поставить гирю массой m₃ = 3 кг, то поршни установятся на одинаковой высоте. Как расположатся поршни, если гирю переставить на второй поршень?

   

   Решение. В этой задаче нельзя считать, что силы давления жидкости на поршни относятся как площади этих поршней: когда поршни устанавливаются на разных уровнях, следует учитывать и давление столба жидкости. Если переставить гирю на второй поршень, он окажется ниже первого. Обозначив разность высот поршней в этом случае h, плотность жидкости ρ, а площади поршней S₁ и S₂ и учитывая, что сила давления жидкости на поршень при равновесии равна по модулю весу этого поршня с грузом, получим систему уравнений:

     

   Вычитая из первого уравнения второе, а  из третьего – первое, приходим к  следующим уравнениям: m₃ = ρh₁S₁ и m₃ = ρS₂(h – h₁), откуда h = h₁(1 + S₁/S₂). Поскольку из второго уравнения системы следует, что S₁/S₂ = (m₁ – m₃)m₂, находим: первый поршень будет расположен выше второго на h = h₁(m₁ + m₂ + m₃)/ m₂.

   Задача  №4. Трубки ртутного U-образного манометра имеют разные диаметры. К какому из колен манометра следует подсоединить сосуд, в котором необходимо измерить давление, чтобы точность измерения была выше? (Шкала прикреплена к узкому колену манометра).

    Решение. Так как жидкость несжимаема, то объем ртути в одном колене увеличится на столько, на сколько уменьшится объем в другом колене, поэтому p+Dp = p+ρgh, где h – разность уровней жидкости в коленах (рис.6).

   Задача  №5. Пять одинаковых сообщающихся сосудов (рис. 7) частично заполнены водой. В один из сосудов доливают слой керосина высотой h = 25 см. На сколько поднимется уровень воды в остальных сосудах?

    Решение. Слой керосина высотой h вызывает такое же увеличение давления в жидкости, как слой воды высотой h_в = ρ_кh/ρ_в = 20 см. Если долить в сосуды воду, то она распределится между всеми сосудами поровну. Следовательно, уровень воды в сосудах поднимется на h_в/5 = 4 см.

   Задача  №6. В U-образной трубке находятся ртуть, вода и керосин (рис. 8). Найдите высоту столбов воды и керосина, если в правом колене трубки уровень ртути на h = 1 см выше, чем в левом.