m=qvr/2c.                                                                                                              (2.2)

   Вращающаяся частица с массой  М обладает угловым моментом (или  моментом импульса) L, представляющим собой вектор, направленный вдоль оси вращения и имеющий величину Mvr. Здесь L=[rp]= [rv], в данном случае r^v. И заряд, и масса участвуют в одном и том же вращении (вращательном движении), поэтому вектор магнитного момента коллинеарен вектору углового момента, с которым он связан соотношением

=(q/2Mc)L=gL,                                                                                                 (2.3)

где g=q/2Mc-гиромагнитное отношение, являющееся индивидуальной характеристикой частицы (ядра).

    Рассматриваемая здесь модель, естественно, не может объяснить ни наличие магнитного момента у нейтральной частицы (например, у нейтрона), ни отрицательных магнитных моментов некоторых ядер. Тем не менее, изучение классического движения магнитного диполя в магнитном поле позволяет получить дополнительные (по сравнению с квантово-механическим рассмотрением) сведения о природе магнитного резонансного поглощения, особенно при рассмотрении нестационарных явлений. Недостатки классической модели указывают на сложность структуры ядра: полный угловой момент ядра получается в результате сложения в различных комбинациях орбитальных и спиновых движений частиц, входящих в состав ядра. Это сложение аналогично связи спиновых и орбитальных моментов электронов в атомах и молекулах.

    Выражение 2.3 позволяет записать  классическое уравнение движения  магнитного момента  в векторной форме следующим образом:

                                  d /dt=g[ ],                                                                   (2.4)

где –напряженность внешнего магнитного поля.

   Если в отсутствии магнитного  поля вращать вектор  с угловой скоростью , то, в соответствии с законом Ньютона для вращательного движения, выражение для d /dt будет иметь вид:

                                        d /dt=[ ].                                                               (2.5)

    Из сопоставления выражений 2.4 и 2.5 следует, что действие магнитного  поля  в точности эквивалентно вращению момента с угловой скоростью   =-g (2.6), т.е.   ω=gH, или n=gH/2p (2.7), здесь n [Гц] ,H [Э] (уместно вспомнить, что [ab]=-[ba]).

    Таким образом, в постоянном  магнитном поле вектор магнитного  момента будет прецессировать  вокруг направления вектора  с постоянной угловой скоростью -g независимо от направления вектора , т.е. от угла между осью вращения частицы и направлением поля (рис.1).Угловой скоростью такой прецессии называют ларморовой частотой, а выражение 2.6 –      формулой Лармора.

     Если перейти к системе координат,  вращающейся равномерно с угловой скоростью -g , то при отсутствии других магнитных полей вектор магнитного момента   в этой системе координат будет оставаться неизменным по величине и направлению. Другими словами, во вращающейся системе координат постоянное магнитное поле как будто отсутствует. 
 

       
 
 

Рис.1. Прецессия  магнитного момента в магнитном  поле  

    Допустим теперь, что кроме поля  введено другое, более слабое поле ₁, постоянное по величине и равномерно вращающееся в плоскости, перпендикулярной направлению (рис.1). Если скорость вращения поля ₁ не равна частоте ларморовой прецессии, то это поле будет вращаться и в упомянутой выше вращающейся системе координат. Наличие поля приводит к появлению момента сил [ ₁], который стремится повернуть ядерный момент в плоскость, перпендикулярную . Если направление ₁ во вращающейся системе координат меняется, то направление соответствующего момента сил будет быстро меняться, и единственным результатом будут слабые периодические возмущения прецессии магнитного момента.

     Если, однако, само поле ₁ вращается с ларморовой частотой, то во вращающейся системе координат оно будет вести себя подобно постоянному полю. Поэтому направление момента сил будет оставаться неизменным, что вызовет сильные колебания направления магнитного момента , т.е. большие изменения угла между и ₀. При изменении угловой скорости вращения поля ₁ колебания с наибольшей амплитудой возникают при совпадении этой скорости с ларморовой частотой. В этом случае говорят о явлении резонанса.

    Аналогичное явление резонанса должно наблюдаться, когда направление поля ₁ фиксировано, а величина его меняется по синусоидальному закону с частотой, близкой к частоте ларморовой прецессии. Это происходит потому, что такое поле можно представить в виде суперпозиции двух равных полей, вращающихся с равными угловыми скоростями в противоположных направлениях (рис.2).  При этом поле, вращающееся в направлении, противоположном направлению ларморовой прецессии, не будет оказывать влияния на резонанс.      
 

     

Рис.2. Разложение вектора магнитного поля на два вектора, вращающиеся в противоположные стороны.

       

       На практике для создания магнитного поля, осциллирующего вдоль определенного направления, например, вдоль оси х, по катушке, ось которой перпендикулярна полю ₀ и направлена вдоль оси х, пропускают переменный ток. Напряжение с частотой w, приложенное к катушке, создает поле, эквивалентное двум вращающимся в противоположных направлениях полям величиной (Н₁cos wt+H₁sin wt) и (H₁cos wt – H₁sin wt).

    Если w соответствует частоте резонанса, магнитный диполь поглощает энергию поля, создаваемого катушкой, вследствие чего вектор магнитного момента отклоняется в направлении к плоскости ху и во второй (приемной) катушке, расположенной вдоль оси у, наводится э.д.с.

    Т.о., рассмотренная здесь классическая модель резонанса, объясняя суть явления, указывает и на экспериментальное его проявление, состоящее в непрерывном поглощении электромагнитной энергии поля Н₁.

 

     2.2.Квантово-механическое  рассмотрение условий  резонанса.

      При включении магнитного поля  каждое ядро приобретает дополнительную энергию -m , которую называют зеемановской. Гамильтониан в этом случае имеет очень простой вид

H=-m                                                                                                                  (2.8)

Направляя ось z вдоль приложенного постоянного магнитного поля ₀, получаем

H=-gh ₀I_z                                                                                                                                                                        (2.9)

Собственные значения этого гамильтониана являются произведениями величины gh ₀ на собственные значения оператора I_z . поэтому возможные значения энергии равны

Е=-gh ₀m ,    m= I ,  I-1 , … , -I .                                                                     (2.10)

   Чаще всего для наблюдения  магнитного резонанса применяют  переменное магнитное поле, направленное  перпендикулярно постоянному полю. Если амплитуду переменного поля  обозначить через H⁰_x, то часть полного гамильтониана, приводящая к переходам, будет иметь вид

H_возм=-gh ⁰_xI_xcoswt                                                                                          (2.11)

Оператор  I_xимеет отличные от нуля матричные элементы (m^’êI_x êm), связывающие состояния m и m^’, только в случае выполнения равенства m^’=m+\-1. В соответствии с этим разрешены переходы только между соседними уровнями, что дает

hw=DE=gh ₀                                                                                                                                                             (2.12)   

  или

w=g ₀                                                                                                                (2.13)

Это соотношение  позволяет вычислить частоту, при которой можно наблюдать резонанс, если известно, каким образом можно определить g.

     Вычислим магнитный и механический  моменты частицы массой mи заряда e, движущейся по окружности радиуса r с периодом Т. В этом случае механический момент

J=mvr=m(2pr²/T),                                                                                              (2.14)

а магнитный  момент

m=iA                                                                                                                   (2.15)

(рассматриваем систему как контур тока i, охватывающий площадь А). Поскольку i= (e/c)(1/T), получаем

m=(е/c)(pr²/T).                                                                                                    (2.16)

    Сравнение вычисленных значений m и J дает g=m/J=e/2mc. Помимо оценки порядка величины g эта формула позволяет сделать вывод о том, что g для ядер должна быть на три порядка меньше величины g для электронов. Следует пользоваться самыми сильными магнитными полями, какие могут быть получены в лабораторных условиях, т.к. при этом возрастает величина поглощаемых квантов, и сигнал резонанса увеличивается. 

Эксперимент Штерна – Герлаха.

    

    Существенным для понимания свойств  магнитного момента микрочастиц  является его квантование, т.е. наличие у микрочастицы дискретных состояний с различными магнитными свойствами.

    Классический эксперимент по  доказательству дискретных свойств  магнитного момента был впервые  осуществлен Штерном и Герлахом. Простейшая схема этого опыта,  проведенного сначала для электрона, состоит в следующем (рис.3.). Катод, на который нанесен слой натрия, разогревается в вакууме. Пучок атомов натрия с помощью системы фокусирующих щелей направляется в пространство между полюсами магнита, магнитное поле которого неоднородно; в частности, компонента поля Н_z (вдоль оси магнита) зависит от z-координаты, т.е. дН_z/дz ≠ 0. за магнитом располагают пластину, на которой регистрируют пучок атомов натрия. Если магнитное поле отсутствует, то пучок фокусируется в центре пластины (Δl=0). Если предположить, что 2s-электрон атома натрия обладает собственным магнитным моментом μ_е, то при наложении неоднородного магнитного поля на электрон будет действовать сила F, проекция которой на ось z равна