Физические основы классической механики

I. Кинематика вращательного  движения 

      Абсолютно твердым телом в механике называют совокупность частиц, взаимное расположение которых остается неизменным во время  движения.

       Вращательным называют такое движение, при котором все точки тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

      Положение вращающегося тела может быть определено взятым с соответствующим знаком двугранным углом j между двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения, одна из которых Q неподвижна относительно С.О., а другая Р связана с телом и вращается вместе о ним (рис. 4.1). Знак j определяют по правилу правого винта. Положение тела в любой момент времени t определяется уравнением , дающим закон вращательного движения.

   Различные точки тела проходят при одинаковом угловом перемещении dj разные линейные перемещения dS, которые связаны соотношением:

                       (4.1)

где r - расстояние от точки тела до оси вращения.

   Поэтому вращательное движение удобно характеризовать  не линейными, а угловыми величинами, одинаковыми для всех точек  тела.

   Угловой скоростью  называют скорость изменения угла попорота:

                              (4.2)

   Угловым ускорением называют величину, характеризующую быстроту изменения угловой скорости:

                              (4.3)

   С помощью (4.1) можно найти связь  и в с соответствующими линейными величинами и :

           (4.4)     (4.5)

   Угловые   скорость и ускорение - векторные  величины, направленные вдоль оси  вращения. Их направление определяют с помощью правила правого винта. Так, что:

           (4.6)      (4.7)

Полное  ускорение  находится по формуле:

             (4.8) 

2. Кинетическая энергия  вращательного движения. Момент инерции. 

Если  дело вращается вокруг неподвижной  оси, то его кинетическая энергия  равна:

                            (Рис. 4.2.)

Используя формулу (4.4), получим 

где и - расстояние i-частицы тела до оси вращения; - её масса.

   Величина, стоящая в скобках, не зависит  от скорости движения тела и характеризует  инерционные свойства тела во вращательном движении: чем больше эта величина, тем большую энергию надо затратить для достижения данной скорости. Эта величина, характеризующая твердое тело, а также выбранную, ось вращения, называется моментом инерции тала относительно данной оси . Тогда кинетическую энергию можно записать в виде:

                             (4.9)

Момент  инерции тела вычисляют по формуле:

                    (4.10)

     Для материальной точки, вращающейся  вокруг оси, ; для шара, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр, .Полная кинетическая энергия катящегося тела вычисляется по формуле:

                          (4.11)

      Если  известен момент инерции относительно оси, проходя через центр инерции  тела , можно вычислить момент инерция относительно параллельной оси  (теорема Штейнера):

               ,             (4.12)

где  -  масса тела, - расстояние между осями (Рис. 4.3).

 

3. Основное уравнение  динамики вращательного  движения 

   Рассмотрим  цилиндр вращающийся вокруг неподвижной оси (Рис. 4.4) под действием постоянной касательной силы .За время точка приложения силы переместится на и работа этой силы будет , которая равна приращению кинетической энергии: , т.к. , то

                          (4.13)

Величину  , равную произведению проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения, на рассотояние до оси вращения (плечо силы ), называют моментом силы относительно оси :

                         ,    (4.14)

Тогда вместо (4.13) запишем:

            или     (4.15)

   Эта формула выражает основное уравнение  динамики вращательного движения: момент силы относительно оси вращения равен  произведению момента инерции относительно этой оси на угловое ускорение. Роль силы при вращательном движении играет, момент силы, массы - момент инерции. Момент силы - векторная величина, направленная вдоль оси вращения. Его направление определяется правилом правого винта. 

4. Момент импульса. Закон сохранения  момента импульса    

      При вращательном движении точки количественной мерой её движения является момент импульса точки относительно оси, который определяется по формуле:

                      ,   (4.16)

где - радиус окружности, по которой движется точка; - её имульс

   Момент  импульса вращающегося тала равен сумме моментов отдельных его частиц:

                

  Если  ось вращения неподвижна, то момент импульса вращающегося тела можно найти  так:

                 ,  (4.17)

где и - масса и радиус вращения точки, - момент

инерции всего тела относительно выбранной  оси вращения.

    Используя эту формулу, основное уравнение  вращательного движения можно записать в виде:

                       ,   (4.18)

   Если  на вращающееся тело не действуют  внешние силы или их результирующий момент равен нулю, то момент импульса тела относительно оси вращения есть величина постоянная. Из (4.18) при  :

                    и    (4.19)

   В изолированной системе полный момент импульса есть величина постоянная. Это  есть закон сохранения момента импульса. 

 

I. Принцип относительности 

     Как только тело начинает двигаться  со скоростью, сравнимой со скоростью света в пустоте , рассмотренные законы механики (классическая механика) становятся неприменимыми. В этом случае они заменяются более общими законами теории относительности (релятивистской теории). Основное содержание этой теории составляет доказательство принципа относительности - независимости физических процессов от выбора системы отсчета. Доказательство этого закона в инерциальных системах отсчета рассматривается в специальной теории относительности (С.Т.О.). Таким образом, теория относительности по называет, что законы природы не зависят от выбора системы отсчета, положения и движения наблюдателя, а результаты измерений в различных системах отсчета могут быть сопоставлены.

    В классической механике математическим выражением принципа относительности являлись преобразования Галилея. позволявшие сопоставлять результаты измерении в разных И.С.О.

    Для случая движения двух И.С.О., изображенных на рис. 5.1,

   (5.1)

где - скорость движения системы относительно . Из формул (5.1) вытекает и классический закон сложения скоростей:

                        

      Эта формула оказалась неприменимой при определении скорости света  по отношению к Земле (опыт Майкельсона и Морли, 1887 г.). Результат опыта показал, что скорость свата во всех инерциальных системах отсчета постоянна, она не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приемника. 

2. Постулаты Эйнштейна 

    Выход из создавшегося положения был найден Эйнштейном, который, анализируя опытные факты, сформулировал два постулата:

1. Не  только механические, но и все  физические процессы протекают одинаково во всех И.С.О.

 2. Скорость  света в вакууме есть величина  постоянная.

    Этих двух постулатов оказалось достаточно, чтобы разрешить все возникшие противоречия. Однако второй постулат оказался в противоречии с преобразованиями Галилея, из чего следовало, что преобразования Галилея необходимо было пересмотреть. Такой пересмотр оказался связанным с коренной ломкой представлений о пространстве и времени. В частности, из постулатов следует, что понятие одновременности, считавшееся само собой разумеющимся, не является абсолютным: в разных системах отсчета время течет по-разному . 

3. Преобразования Лоренца 

    В С.Т.О. преобразования координат (5.1), описывающие  переход от одной И.С.О. к другой, заменяются новыми соотношениями, которые  удовлетворяют постоянству скорости света - преобразованиями Лоренца. Для частного случая двух систем и , находящихся в относительном движении вдоль оси (Рис. 5.1), они имеют вид:

                 

                     (5.3)

где .

      Из  этих формул видно, что при малых  скоростях для  формулы (5.3) переходят в (5.1), следовательно, законы классической физики входят в С.Т.О. как частный случай.

      Из  преобразований Лоренца вытекают основные следствия. 

4. Замедление времени 

      В направлении  часы, связанные с системой , измеряют интервал времени: . При наблюдении в движущейся системе этот интервал становится равным

              ,  (5.4)

      Для движущегося наблюдателя время  идёт медленнее. 

5. Сокращение длин  

    Если  в системе  находится отрезок , то это же расстояние для движущегося наблюдателя в системе окажется равным:

                 

    Так как наблюдатель видит в своей  системе  оба конца одновременно , то из формул обратного преобразования Лоренца (5.3) получим , откуда следует, что:

              , (5.5)