Физические основы классической механики

4. Принципы относительности  Галилея 

      Опыт  показывает, что во всех инерциальных системах отсчета механические явления протекают одинаково, т.е. в механическом отношении все И.С.О. равноправны. Это утверждение называют принципом относительности Галилея. 

5. Закон сохранения  импульса  

Совокупность  взаимодействующих тел называют механической системой. Силы, действующие  между телами системы, называют внутренними, а со стороны тел, не включенных в данную систему - внешними. Если действием внешних тел на тела данной системы можно пренебречь, то систему называют замкнутой или изолированной. В ней действуют лишь внутренние силы. В такой системе описать движение тел можно без помощи 2-го закона Ньютона, т.к. в ней имеются величины, на меняющиеся со временем, т.е. сохраняющиеся. Одной их таких величин является полны импульс всех тел системы. Рассмотрим взаимодействие двух материальных точек m₁ и m₂ составляющих замкнутую систему. Движение каждой из них описывается 2-й законом Ньютона:

                        (2.5)

Т.к. по третьему закону Ньютона  , то из (2.5) получаем:

        ,откуда  (2.6)

      Этот  результат и представляет закон  сохранения импульса для замкнутой  системы.

      Полный  импульс всех тел замкнутой системы  сохраняется (т.е. не меняется со временем).

      Нужно помнить, что импульсы отдельных  тел при этом могут меняться.  
 
 
 
 
 
 

6. Реактивное движение 

      Закон сохранения импульса лежит в основе реактивного движения. Рассмотрим, например, движение ракеты, где — скорость истечения газов относительно ракеты. Полный импульс системы ракета-газы для моментов времени t₁ и t₂ будет равен:

       ,

где Dm - масса вылетевших газов, - их скорость относительно Земли, тогда или (2.7). Из этой формулы следует, ччо отделение газов от ракеты эквивалентно действию на не силы: , где - расход топлива. Эту силу называют реактивной. Переходя в (2.7) к дифференциалам, получим

                  (2.8)

Полученный  результат представляет  Формулу Циолковского. 

7. Центр инерции

Рассмотрим  движение произвольной системы материальных точек (Рис. 2.2). Движение каждой из них  определяется законом изменения радиус-вектора . Центром инерции (центром масс) такой системы зазывается точка (т.С.), радиус-вектор которой равен:

       (2.9)

Центр инерции может и не совпадать  ни с одним из тел системы, а, например, для двух тел центр инерции  делит расстояние между ними на части, обратно пропорциональные их массам. Вычислим скорость центра инерции:

                    (2.10)

Числитель этой формулы есть полный импульс  поэтому:

                            (2.11)

      Как видно, между полный импульсом системы  тел и скоростью центра инерции такая же связь, как и для материальной т.С. массой . Таким образом, центр инерции приобретает смысл точки, скорость которой равна скорости движения всей системы как целого. Если , то система как целое покоится, в то же время отдельные тела системы могут двигаться относительно центра инерции.

   Формула (2.11) есть обобщение закона инерции  для системы тел: для замкнутой  системы , .поэтому центр инерции такой системы движется равномерно и прямолинейно или покоится. 
 

 

I. Работа 

   Количественной  характеристикой процесса взаимодействия тел является работа, совершаемая силой А.

              Работа есть скалярная  величина, равная произведению проекции силы (на направление перемещения) на величину перемещения точки приложения силы

                    (3.1)

где a - угол между направлением силы и перемещением. Если a<90°. то сила совершает положительную работу (А>0), если a>90°, то А<0; при a=90° сила работы не совершает, oна лишь искривляет траекторию тела.

      Если  работа совершается переменной силой F=F(S) , во для элементарного перемещения , а для всего пути

                             (3.2)

Вычислим  для примера работу, совершаемую  силой тяжести при движении тела по наклонной плоскости (Рис. 3.1):

,

где  h - высота наклонной плоскости. Как видно, работа силы тяжести не зависит от длины пути, а зависит от начального и конечного положений тела.    Можно показать, что такой же результат получается  для любой криволинейной траектории. Таким же свойством обладает и сила упругости.

Силы, обладающие указанным свойством, называются консервативными или потенциальными.

Для таких  сил работа по любому замкнутому контуру  равна нулю, или:

                             (3.3)

Это и  есть условие потенциального характера  силы.

   Работа, совершаемая за единицу временя, называется мощностью:

                        

2. Энергия 

   В результате совершения работы в окружающих телах происходят определенные изменения - переход одних форм движения материи  в другие. Общей количественной мерой  различных форм движения материи  является физическая величина, которую называют энергией Е.

  В физике соответственно различным физическим процессам и взаимодействиям  различают механическую энергию; тепловую, электромагнитную, ядерную и т.д.

  Энергия может, быть выражена через величины, характеризующие строение и состояние тела. Она является функцией его состояния. Изменение состояния тела, например, его движение, приводит к изменению его энергии, а сам процесс изменения есть результат работы, совершаемой силой, поэтому изменение энергии тела или системы тел определяется работой, совершенной приложенными к телу силами:

                             (3.4)

Механическая  энергия состоит из двух величин - кинетической энергии K - энергии движения и потенциальной энергии П - энергии взаимодействия между телами:

                             (3.5) 

3. Кинетическая и  потенциальная энергии

      Чтобы получить выражение для кинетической энергии подсчитаем работу силы, необходимую  для изменения скорости тел от v₁ до v₂:

                 

                  

      Итак, совершенная силой работа равна приращению кинетической энергии тела: , где . Потенциальная энергия обусловлена характером взаимодействия между телами, их взаимным расположением. Поэтому вид формулы для потенциальной энергии зависит от конкретного вида силы.

      Так, работа силы тяжести, необходимая дня  изменения положения тела относительно Земли, равна:

                   ,

где h₁ и h₂ - начальная и конечная высота тела относительно Земли. Эта работа равна изменению потенциальной энергии тела:

                   ,

т.е. совершенная  силой работа равна убыли потенциальной  энергии тела.

Так как  , то или   (3.7)

Эта формула, связывающая между собой силу, перемещений тела и  соответствующее этому изменение его потенциальной энергии, даёт возможность вычислить потенциальную энергию в отдельном случае.

   Вычислим, например, потенциальную энергию  силы тяготения

Из (3.7) находим и , есть так называемый нулевой уровень потенциальной энергии, который обычно выбирается из условия , тогда = 0 и  

4. Закон сохранения  механической энергии  

      В изолированной системе кроме  полного импульса сохраняющейся величиной является и полная механическая энергия.

      Так, для двух взаимодействующих материальных точек уравнения движения будут      (3.8)

      Под действием сил точки совершают  перемещения  ; . Умножив каждое из уравнений (3.8) на соответствующее перемещение, получим:

сложив их, получим:

    (3.9)

т.к. , то вместо (3.9) имеем:

          или ,

где - изменение кинетической и потенциальной энергии всех тел системы. Тогда ,  (3.10)

   Полная  энергия изолированной системы есть величина постоянная. Это и есть формулировка закона сохранения энергии.  

5. Удар абсолютно  упругих и неупругих  тел 

   Под ударом понимают кратковременное столкновение соударяющихся тел.            

   Прямая, проходящая через точку соприкосновения обоих тел, называется линией удара (Рис. 3.2). Если она проходит через центры масс тел, то удар центральный. Отношение относительных скоростей шаров после удара U   к скорости их v до удара называют коэффициентом восстановления: . Если , то удар абсолютно неупругий, если , то удар абсолютно упругий.

При абсолютно  неупругом ударе часть механической энергии тел переходит в другие формы энергии (например, в тепловую). В этом случае выполняется лишь закон сохранения импульса, на основании которого и находим скорость шаров после столкновения:

            (3.11)

Найдем  изменение кинетической энергии  шаров, т.е. ту её часть которая перешла  во внутреннюю энергию:

(3.12)

При абсолютно, упругом ударе потерь энергии  нет, н в этом случае выполняются  законы сохранения импульса и энергии:

                

Решая эти уравнения, находим:

  (3.13)

Когда массы соударяющихся тел равны: , то шары обмениваются скоростями: