Дать сравнительную оценку приближенных методов решения задач теории упругого режима фильтрации газа

      Еще одним приближенным методом, применительно к задачам неустановившейся фильтрации газа, является метод усреднения временной производной по пространству.

      В качестве примера рассматривается прямолинейно-параллельная фильтрация реального газа. Соответствующее этому случаю точное дифференциальное уравнение имеет вид

                                         (38)

      Допущением является то, что коэффициент сверхсжимаемости z(р) можно заменить на где p_ср - некоторое среднее давление в области фильтрации. Введем обозначение р₁=р/z(р). Тогда уравнение примет вид

                                                 (39)

      Пусть имеется первоначально невозмущенный  газонасыщенный пласт шириной В, толщиной h, длиной L. С трех сторон пласт ограничен непроницаемыми поверхностями, а с четвертой стороны (х = 0) вскрыт галереей. В момент t = 0 через галерею начинает отбираться газ с постоянным массовым дебитом, который в соответствии с законом Дарси можно записать в виде:

      

      Требуется определить давление в пласте в любой  момент времени t> 0. Для этого нужно найти решение уравнения (39) в области изменения удовлетворяющее начальному и граничным условиям:

p₁ = p₁₀ при t = 0                                                          (40)

при x=0, где                                          (41)

при x = L                                                       (42)   

      Как и в методе последовательной смены стационарных состояний принимаем, что в каждый момент времени существует конечная возмущенная область l(t), на границе которой выполняются условия

      p₁²=p₁₀², при x = l(t)                                     (43)

      Центральным моментом в рассматриваемом методе усреднения является принятие условия

      

равносильного предположению, что во всей части  пласта, охваченной возмущением, давление изменяется с одинаковой скоростью; тогда уравнение (39) принимает вид

                                              (44)

      Проинтегрировав это уравнение дважды по х получим:

                                                  (45)

      Использовав граничные условия на галерее (41) и на границе возмущенной области (43), в результате получим

                                     (46)

      Для нахождения зависимости l(t) проделав ряд преобразований уравнения (39) получаем

      1-

        Откуда                                                                                   (47)

      Подставив выражение l(t) в формулу (46), получим зависимость давления, от координаты и времени.

      В момент Т, когда возмущенная зона достигнет непроницаемой границы  пласта (l=L) закончится первая фаза.

      Для определения ее продолжительности :

                                          (48)

      Можно найти приближенное значение T из формулы (47) и убедиться, что погрешность не превышает 3-4%.

      В течение второй фазы давление на границе  x=L падает и выполняется условие (42). Соотношения для второй фазы истощения газового пласта строятся аналогичным образом. Проделав аналогичные выкладки, получим закон распределения давления по пласту:

                                              (49)

и закон изменения давления на галерее:

                                       (50)

 

      

    2. Расчетная часть

    В расчетах принимаем:

    - k = 0,29ּ10^-12 м²

    - h = 6 м

    - r_c=0,08 м

    - R_k=300м

    - η=1,2ּ10^-5Паּс

    - P_k=13,8МПа

    - m₀=0,2

    - t = 1час =3600с

    - дебит Q_ат , из условия, что λ=0,004994.

    2.1. Рассчет депрессии на пласт по точной формуле и по приближенным формулам

    

    Подставив наши данные, получим:

    

    определим коэффициент 

    

    2.1.1.Точное  решение

    Определим безразмерную величину ξ для r = r_c

    

    Сравнивая полученное значение ξ со значениями в таблице 1 для λ=0,004994 заключаем, что ξ < ξ* поэтому безразмерное давление F определим по формуле

     .

    Выразив давление P=P_c, получим

    P_c= FP_k = 0.996ּ13,8ּ10⁶ = 13,7ּ10⁶ Па

    Депрессия на пласт через 1 час будет равна:

    ∆P = P_k-P_c = (13,8-13,7)ּ10⁶ = 0,1 МПа.

    2.1.2. Расчет по линеаризованной формуле

    Подставляя  наши данные в формулу (22), определим  забойное давление P_c через 1 час

    

    Депрессия будет равна:

    ∆ P= (13,8-13,55)ּ10⁶=0,25 МПа.

    2.1.3. Расчет методом последовательной смены стационарных состояний

    

    

    Депрессия будет равна:

    ∆ P = (13,8-13,54)ּ10⁶=0,26 МПа.

    2.2. Относительная погрешность расчетов

1. Расчет по линеаризованной формуле:

2. Расчет методом последовательной смены стационарных состояний:

 
 

    Вывод

    Линеаризованная формула эффективна только в тех  случаях, когда радиус скважины очень  маленький, потому что в этом случае воронка депрессии очень крутая и давление по всему пласту в целом не сильно отличается от начального. Но при больших радиусах скважины эта формула будет давать большую погрешность, т.к. давление по пласту будет сильно отличаться от начального. В отличие от линеаризованной формулы, формула последовательной смены стационарных состояний эффективна для любых радиусов скважин, но только для первой фазы движения, т.е. пока воронка депрессии не достигнет радиуса контура. Как показали расчеты наиболее точной является линеаризованная формула. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Литература

1. К.С. Басниев и др. «Подземная гидромеханика». М. Недра. 1993г.