Дать сравнительную оценку приближенных методов решения задач теории упругого режима фильтрации газа

      Выведем условие для давления на забое скважины. Записав выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

      И использовав равенства

а так же сократив на р_ат, получим:

      Из  этого соотношения можно выразить условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

                                           

при r=0.                                                (19)

Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (16) должно быть проинтегрировано при условиях (17), (18), и (19).

Полученные выражения для совершенного газа аналогичны соотношениям для упругой жидкости, только давление входит в квадрате:

p² = p_k² при t = 0, 0 < r < ∞

р² = р_k² при r = ∞, t > 0

 при r = 0

Решение лиеаризованного уравнения Лейбензона  для газа получим по основной формуле упругого режима для упругой жидкости с учетом для газа и коэффициента , аналогичных коэффициенту пьезопроводности и коэффициенту для жидкости:

                                                                          (20)

      Для малых значений аргумента в соответствии можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической

                                                                                 (21)

      Решения (20)-(21) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (16), а не точного (6).

      Формулы (20) и (21) определяют (при фиксированных значениях времени t распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t = 0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как при установившейся фильтрации очень крутые вблизи скважины (рис.1,а). Если задать значение r можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. Можно найти изменение давления на забое (при r=r_c) после начала работы скважины (рис.1,б):

                                      

                                               (22)

      Кривые  распределения давления по пласту при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и динамика давлений в фиксированных точках пласта (б) 

                  Рис. 1.

    Г.И.Баренблатт, применяя анализ размерностей, показал, что нелинейное уравнение Лейбензона при определенных начальных и  граничных условиях имеет точное решение, которое может служить эталоном для сравнения с ним приближенных решений.

      Для его получения рассматривается задача о нестационарном плоскорадиальном притоке газа с постоянным дебитом к скважине в бесконечном пласте. Необходимо проинтегрировать нелинейное уравнение Лейбензона

                                                  (23)

    При начальных граничных условиях

p² = p_k² при t =0, 0 < r < ∞                                                                                      

р² = р_k² при r = ∞, t > 0.                                                                                            при r = 0

    Г.И.Баренблаттом показано, что в такой постановке  давление зависит от некоторого единого  комплекса, включающего в себя обе  переменные – r и t, а дифференциальное уравнение в частных производных приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей. Распределение давления в пласте зависит, как следует из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (n=5): r, t, p_k, k/(2ηm₀), Q_атp_атη/(πkh).

    Если  обозначить размерность длины через  L, размерность времени Т, размерность давления [p], то размерности этих параметров выразятся следующим образом:

    [r]=L, [t]=T, [p_k]=[p], [k/(2ηm₀)]=L²/[p]T, [Q_атp_атη/(πkh).]= [p]².

    Среди этих параметров - три с независимыми размерностями: r, t, p_k (k=3). Как следует из П-теоремы, искомая функция – давление, приведенное к безразмерному виду F=p/p_k, , будет зависеть от двух безразмерных комплексов (n-k=5-3=2). Такими безразмерными комплексами являются следующие:

    

 и   ,

    т.е. F=p/p_k=F(ξ,λ).

    Дифференцируя функцию F по t и по r как сложную функцию и подставляя производные в уравнение (23) , получим, что функция F удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

                                                      (24)

    при этом начальные и граничные условия  сводятся к следующим:

      при ξ=0;  F(ξ,λ)=1 при ξ=∞                               (25)

    Уравнение (24) при условиях (25) было проинтегрировано численно. Результаты расчетов приведены  в табл.1 для значений λ=0,01 и λ=0,004994. Через ξ* в табл.1 обозначено такое значение аргумента ξ, что для ξ< ξ* значения ξdF²/dξ, отличаются от λ меньше, чем на 0,01%. Значит, для ξ< ξ* можно считать, что ξdF²/dξ= λ.

      Проинтегрировав это равенство,  получим:

    F²=F²(ξ*, λ) + λln(ξ/ ξ*)

    или

    F(ξ, λ) = [F² (ξ*, λ)- λln(ξ*/ξ)]^½ для ξ< ξ*.

Поэтому значения F(ξ, λ) для ξ< ξ* в табл. 1 не приведены. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 1

    Результаты  численного расчета автомодельного решения

 

1.3. Решение задачи о притоке газа к скважине методом последовательной смены стационарных состояний

      Этот  метод основан на следующих предпосылках:

      - в каждый момент времени существует конечная возмущенная область, в которой происходит движение газа к скважине;

      - движение внутри возмущенной области стационарно;

      - размер возмущенной области определяется из условия материального баланса.

      Решим этим методом ту же задачу о неустановившемся притоке газа к скважине с постоянным заданным дебитом Q_ат, но будем считать радиус скважины конечным и равным r_c.

      В любой момент времени возмущенной  областью является круговая область  радиусом R(t), внутри которой давление распределено по стационарному закону

                            

                                  (26)

      Вне возмущенной области давление равно  начальному (невозмущенное состояние):

                                                     p = р_k, r>R(t)                                                              (27)

      В возмущенной области можно написать также выражение для дебита для стационарной фильтрации:

                                                

                                                    (28)

      В рассматриваемой задаче забойное давление является функцией времени.

      Найдем из формулы (28) отношение                   

      

и подставим  его в формулу для давления в возмущенной области (26).

      В результате получим распределение давления, выраженное через заданный дебит и параметры пласта:

                                                                               (29)

Для нахождения R(t) составляется уравнение материального баланса.

Начальный запас газа (при р = р_k) в зоне пласта радиусом R(t):

                             (30)

Текущий запас  газа выразим через средневзвешенное давление :

                         (31)

где определяется по формуле установившейся фильтрации

                                                 (32)

      Так как отбор газа происходит с постоянным дебитом Q_ат, то отобранная масса газа к моменту t равна ρ_атQ_атt. Таким образом,

      М₀-м_t= ρ_атQ_атt

      или, с использованием (30)-(31), найдем:

                                           (33)

  Подставив в последнее соотношение выражение  (32) для средневзвешенного давления и (28) для Q_ат, получим:

                 или                                     (34)

   Для значений времени, для которых  имеем:

                                                               (35)

      Теперь, зная закон движения границы возмущенной  области в виде (34) или (35), можно найти давление в любой точке пласта в любой момент времени по формуле (29), а также изменение давления на забое скважины в любой момент времени 

 р=р_к,                                     (36)

                                      (37) 

      Формулы (36) пригодны как для бесконечного пласта, так и для конечного открытого и закрытого пласта радиусом R_k. В последнем случае они справедливы только для первой фазы движения, пока воронка депрессии не достигнет границы пласта, т.е. для

      

      Изменение давления во второй фазе зависит от граничных условий пласта. Если пласт  закрыт, то давление будет продолжать снижаться во всем пласте, включая  границу. Если пласт открытый (р=р_к или r=R_k, т.е. режим водонапорный, то во второй фазе установится стационарный режим с постоянной депрессией p_k-p_c где:

1.4. Метод усреднения