Теория катастроф и развитие мира

 Смысл развиваемого  подхода состоит в нахождении  вырожденных критических точек  (поверхностей), соответствующих качественному  изменению в топографии семейств  потенциальных функций и выполнению  вблизи них линейного анализа  устойчивости.  
    В окрестности вырожденных, особых точек подходящим преобразованием координат потенциальная функция может быть представлена в виде:  
   
   

l переменных, соответствующих нулевым собственным значениям матрицы Uij , являются аргументами функции катастрофы  , зависящей также от B  управляющих параметров. Зависимость потенциальной функции от остальных (n—l) переменных, соответствующих отличным от нуля собственным значениям, представляется, как и раньше, квадратичной формой.  
    Оказалось, что функции  можно привести к определенному каноническому виду. Классификация  особенностей потенциальных функций (катастроф) была проведена В. И. Арнольдом. Она удивительно совпала с классификацией таких как будто бы не имеющих ничего общего с особенностями объектов, как точечные группы первого рода, характеризующие симметрию молекул, а также оказалась связанной с правильными многогранниками в эвклидовом пространстве и простыми группами Ли. Причины этих связей еще не поняты до конца.  
   

 Для одной  или двух переменных и числа  управляющих параметров, не превышающего 5, имеется 7 типов элементарных  катастроф. Для каждого типа  катастроф рассматривается поверхность,  зависящая от nj переменных состояния и na  управляющих параметров в пространстве ni+na измерений. Поверхность простейшей катастрофы с одной переменной состояния и одним управляющим параметром приведена на рис. 6, а. Она имеет вид складки на ткани и называется катастрофой складки. Функция катастрофы в этом случае задается канонической формой  . Соответствующие кривые для фиксированных значений параметра с приведены на рис. 6, б. При с>0 все кривые качественно подобны — они не имеют критических точек. Все кривые с с<0 также подобны и имеют две критические точки (рис. 6, б). Точка с=0 в пространстве управляющих параметров является сепратриссой (рис. 6, в). Катастрофы складки появляются в моделях, описыва-ющих релаксационные колебания, триггерные схемы, нагруженные арки, различные диссипативные структуры.  
    Функция катастрофы сборки  зависит от одной переменной состояния и двух управляющих параметров.  
   

 На рис. 7 показана сепаратрисса катастрофы сборки. Она разделяет плоскость управляющих параметров на две открытые области, представляющие функции с одной и тремя критическими точками. Линии сепаратриссы имеют дважды вырожденные точки, а точка пересечения — трижды вырождена. На рис. 7 изображены также потенциальные функции, соответствующие некоторым точкам плоскости управляющих параметров.  
    Модели, содержащие катастрофу типа сборки, используются в механике конструкций, при описании ряда колебательных режимов, в динамике квантовых систем. Аналогично, хотя и несколько более громоздко, выглядит описание остальных пяти типов элементарных катастроф.  
Значение элементарной теории катастроф состоит в том, что она сводит огромное многообразие ситуаций, встречающихся на практике, к небольшому числу стандартных схем, которые можно детально исследовать раз и навсегда.  
    Математические образы теории катастроф овеществляются в волновых полях. Это так называемые каустики — геометрические места точек, в которых происходит заметная концентрация (фокусировка) волнового поля. Она может быть зарегистрирована физическими приборами или обнаружена визуально. С геометрической точки зрения каустики определяются как особенности некоторых отображений, осуществляемых семейством лучей. В геометрической оптике скачкообразное изменение состояния при пересечении каустики выражается в изменении числа лучей, приходящих в данную точку пространства. Все 7 канонических катастроф имеют свои образы в каустиках.  
    Сейчас теория катастроф широко применяется в ме-ханике конструкций, метеорологии, аэродинамике, оптике, теории кооперативных явлений, квантовой динамике. Но главное заключается в том, что эта теория подводит эффективную стандартную базу под описание качественных изменений в нелинейных уравнениях, моделирующих системы, далекие от равновесия. Она является основой анализа в теории бифуркаций, в теории переходов термодинамических систем в новые структурные состояния.