Теория катастроф и развитие мира

– необратимость  системы (невозможность вернуться  к прежним условиям);

– гистерезис, который  мы уже рассматривали в примере  с “гениями” и “маньяками”.

Чтобы проиллюстрировать  эти ситуации, можно привести множество  примеров из физики, но обратимся лучше  к примерам более “жизненным”. Всем нам после окончания средней  школы приходилось выбирать дальнейший жизненный путь. Первый “флаг катастрофы”  – существование различных устойчивых состояний – проявляется в  том, что мы можем видеть несколько  различных привлекательных для  нас вариантов деятельности. Это могут быть несколько институтов, в которые мы можем поступить (в последние годы благодаря вступительным олимпиадам школьник к моменту окончания школы может быть уже зачислен в несколько вузов), несколько фирм, где нас согласны принять на работу, и т. п. Наряду с этим присутствует и второй “флаг” – неустойчивые состояния – места, где мы уж точно надолго не задержимся. Третий “флаг": приняв решение и став, например, студентом, мы испытываем стремительное изменение – и внешнее (меняется наш социальный статус, у нас появляются собственные деньги, пусть небольшие), и внутреннее (мы стремительно взрослеем). Четвертый “флаг": после выбора обратный путь практически невозможен – чтобы нас отчислили с первого курса, еще до сессии, нужно натворить что-то очень грандиозное. Но уж если отчислили, то просто так обратно не примут, и надо ждать подходящих условий – новых приемных экзаменов. Это пятый “флаг катастрофы”.

Еще одним “флагом  катастрофы” служит так называемое “критическое замедление”, когда множество  усилий не приводит к сколько-нибудь заметному изменению ситуации. Такой  флаг был вывешен на историческом пути нашей страны в 80-е годы, когда колоссальные средства, вкладываемые в экономику, например в сельское хозяйство, уходили словно в песок, ничего существенно не изменяя.

Нетрудно заметить, что если исследователь наткнулся  на один из этих “флагов”, то управляющие  параметры можно поменять так, чтобы  стало возможным обнаружить и  другие “флаги”, которые обязательно  должны проявить себя в подходящих условиях. Правда, в рассмотренном  нами примере с выбором института  экспериментировать вовсе не обязатель но и даже нежелательно, если только вы не хотите пожертвовать собой ради подтверждения теории. Но в иных условиях, чтобы убедиться, что система действительно может претерпеть резкий скачок состояния, имеет смысл поискать и более представительный набор “флагов катастроф”.

Предопределенность  или свобода выбора?

Теория катастроф  является одной из частей более общей  математической теории - качественной теории сложных нелинейных систем. Эта теория изучает общие принципы, проявляющиеся в различных ситуациях, и помогает лучше понять механизм действия природных сил. Один из таких  механизмов описывает взаимодействие судьбы и свободы выбора, и математическая модель этого взаимодействия оказывается  очень близка к мифологической.

В религиозных  и философских системах судьба человека связывается с его предназначе нием, с его жизненным путем, определенным свыше. В мифах античности судьбой человека распоряжаются дочери Зевса Мойры, непреодолимость рока символизируется водами подземной реки Стикс. Если механизм рока запущен, то любое поведение героя неотвратимо влечет его к развязке (как, например, в ситуации с Эдипом, которому было предсказано убить своего отца), однако всегда существует один-единственный поступок, казалось бы, незначительный в сравнении с масштабом последующих событий, который запускает их череду; герой мог бы поступить иначе, и тогда мифическая история пошла бы совсем по другому пути. Примером этому может служить решение Париса отдать яблоко Афродите, что вызывает целый ряд неотвратимых последствий, вплоть до Троянской войны и путешествия Одиссея.

Вопросы о том, что определяет развитие мира, волновали  умы мудрецов еще с древних  времен. Анаксимандр из Милета (610-540 до н. э.) учил: “Природа вечна, но в своем развитии она проходит через определенные фазы”. Гераклит из Эфеса (520-460 до н. э.) утверждал, что мир есть вечно существующий живой огонь, мерно разгорающийся и мерно потухающий. Следуя им, Эмпедокл из Акраганта (490-430 до н.э.) считал, что мир проходит через бесконечную череду этапов – время господства “любви” сменяется периодом господства “вражды"

и т. д. Основная идея античной философии: мир существует вечно, и сегодняшнее его состояние  – лишь одна из многих ступеней его  пути. Однако единая основа мира неподвижна – об этом говорили и Платон, и  философы-элеаты. Идея о том, что  вселенной управляют математические законы, традиционно приписывается  Пифагору. Он учил: “все есть число” и  “числа правят миром”. Все явления  мира гармоничны, а законы гармонии задаются отношениями целых чисел, как частоты нот в консонансном аккорде.

Итак, гармония вечна и неизменна. Судьба же –  это движение, она определяет наше будущее, неизвестное сейчас. Математические принципы развития появились значительно  позже, в конце XVII века, с развитием  исчислений бесконечно малых: описав взаимодей ствие частей системы и ее начальное состояние, можно было однозначно определить ее эволюцию. Казалось, тайна вселенной раскрыта – ее будущее уже определено настоящим, все предрешено, и все можно предсказать, решив дифференциальное уравнение, хотя и очень сложное.

Выразителем этой крайней точки зрения считают  Бенедикта Спинозу (1632-1677): он утверждал, что в природе вещей нет  ничего случайного, существует только необходимость, обусловленная законами природы. Случайность же приходится привлекать там, где мы чего-то не знаем.

В XVII-XIX веках  этой детерминистской точки зрения придерживались большинство ученых. Предопределенность была синонимом объективности научных знаний, возможность точных предсказаний рассматривалась как величайший триумф науки.

Но трудно поверить в то, что миллионы лет назад  уже были точно запрограммированы  и появление жизни, и все катаклизмы и войны, и все радости и  напасти рода человеческого, и все  наши поступки, порой такие непредсказуемые  и неожиданные. Возможно ли такое?

Наука ХХ века дала множество математических моделей, которые свидетельствуют, что в  специально организованной среде действительно  могут возникать новые формы, не существовавшие ранее. Одна из них  была предложена Дж. Конвеем как забавное развлечение, но из-за множества аналогий вдруг приобрела глубокий смысл. Речь идет об игре “Жизнь”. (Подробное описание этой игры под названием “Эволюция” см. в журнале “Наука и жизнь” #8, 1971 г.; #8, 1972 г.) Правила ее очень просты: на тетрадном листе бумаги в ячейках прямоугольной сетки “живут” клеточки, подчиняясь простым правилам: если число соседей клетки больше трех или меньше двух, то она умирает. В пустой же ячейке с тремя “живыми” соседями может родиться новая клетка. Колония клеток демонстрирует разнообразное поведение в зависимости от начального состояния. Некоторые структуры исчезают, другие достигают стационарного поведения. Есть сообщества клеток, которые движутся, словно живые, – к ним относится так называемый “планер”, или “парусник”. Есть и более сложные конфигурации, например “планерное ружье”, – эта колония клеток через 30 поколений возвращается в исходное состояние, рождая при этом один планер. Есть и “пожиратель планеров” – конструкция, которая поглощает налетающий на нее парусник и вновь поджидает очередную жертву.

Еще один пример. Простейшие математические формулы, определяющие расположение точек на плоскости, порождают  необычайно сложные по своей структуре  геометрические объекты – фракталы (см. “Наука и жизнь” #4, 1994 г.). Их узоры складываются из бесконечных повторений и вариаций фрагментов. Колоссальное разнообразие этих форм достигается изменением параметров в математическом законе их построения.

Эти примеры  свидетельствуют о том, что в  самой природе среды, в ее структуре  может быть заложена возможность  творить невероятное количество форм. Среда, словно первобытный хаос, наделена множеством структур. Проявить то или иное потенциальное состояние  среды можно, определенным образом  организовав ее начальную структуру: расставив живые клеточки, “зерна”  жизни в первом примере или  задав параметры закона повторения фрагментов в примере с фракталами.

Казалось бы, тезис Спинозы подтверждается, и  мы – люди, привыкшие считать  себя свободными в выборе своего жизненного пути, – тем не менее действуем в соответствии с неумолимыми законами судьбы, предписанными нашим окружением. И все наши мысли, стремления, эмоции, вдохновения и открытия оказываются следствием изначального распределе ния частичек вселенной...

Но рассмотрим еще один пример – игру в бильярд. Начальная пирамида разбивается  первым шаром – порядок сменяется  хаосом. Если толкнуть все шарики так, чтобы они покатились в обратном направлении, приобретя те же скорости, то, как предписывают математические законы движения, все они из хаоса  соберутся в первоначальную пирамидку. Однако попытки осуществить такое  движение на практике не приводят к  успеху – дело в том, что сколь  угодно малая ошибка в задании  скоростей ведет к значительным расхождениям траекторий в будущем. Эта неустойчивость, свойственная развитию любой достаточно сложной системы, не позволяет полностью предсказать  ее поведение на длительный период времени (см. “Наука и жизнь” #5, 2001 г.).

Математический  анализ моделей сложных нелинейных открытых систем во второй половине ХХ века привел к возникновению новой  науки – синергетики, открывшей  общие принципы эволюции и механизмы  их осуществления. В конце второго  тысячелетия от Рождества Христова наука вновь вернула нас к  древнему пониманию сущности мироздания – к представлению о двух силах, двух противоположных тенденциях, благодаря  которым мир развивается и  преображает ся, удерживаясь все же в относительном равновесии.

Сегодня на уровне математической теории можно утверждать, что любая достаточно сложная  система, взаимодействующая со своим  окружением, проходит в своем развитии определенные этапы. Вначале из неупорядоченных  частей системы вдруг складываются и с колоссальной скоростью начинают расти множество структур – “новых форм”. За счет противоположной, “разрушительной” тенденции скорость роста постепенно замедляется, некоторые формы исчезают, другие приобретают устойчивость. Эта  тенденция рано или поздно одерживает верх, погружая все в изначальный  хаос, и наступает кризис, порождающий  структуры следующего этапа.

Таким образом, математическая модель развития совпадает  с мифологической: согласно воззрениям Древней Индии, бог Брахма творит мир, упорядочивая хаос, а Шива разрушает  его. В промежутках между двумя  рождениями мир устойчив благодаря  уравновешивающему началу – богу Вишну. В античных мифах порождающее  божество Дионис выхватывает из хаоса  бессчетное множество форм, а гармонизирующее  начало – Аполлон – уравновешивает его взрывную творческую энергию, успокаивает  бешеный рост форм, придает миру соразмерность. Нарушение гармонии - конфликт, необходимый для развития, – погружает систему в животворящий хаос, дающий ростки новой жизни.

Хаос – неизбежный, обязательный атрибут жизни любой  достаточно сложной системы. Геометрическим образом хаоса может служить  запутанный клубок ниток: по такой же замысловатой, никогда не повторяющейся  траектории движется система в период кризиса. Так ведет себя атмосфера Земли – хотя погода сегодня похожа на вчерашнюю, она всегда чем-то от нее отличается, и нет двух одинаковых дней. Так работают сердце и мозг – на их регулярные ритмы наложен хаотический фон, и его исчезновение ведет к скорой смерти пациента.

Этап кризиса  характеризуется крайней неустойчивостью: малейшее движение в сторону от траектории может заставить систему сменить  сценарий своего развития. Она может  отправиться “на второй круг”  своей эволюции, лишь немного отличающийся от предыдущего, а может ценой  незначительного усилия перейти  на принципиально иную, новую орбиту движения. Ведь, действительно, в клубке ниток рядом всегда есть нити, которые ведут в другом направлении, надо лишь “перескочить” на них – и наша судьба резко изменится.

В математических моделях выйти из кризиса можно  за счет изменения так называемых внешних параметров – рано или  поздно они изменят среду так, что в ней исчезнет неустойчивость, порождающая хаос, и клубок траекторий вытянется во множество почти  параллельных нитей. Резкие изменения  сценария развития на таких этапах спокойного развития практически невозможны – ведь все нити идут в одном  направлении, и требуется долгое путешествие с нитки на нитку, чтобы существенно поменять направление  движения.

Образом преодоления  кризиса в мифологических концепциях служит ковчег – корабль, несущий  семена новой жизни по бушующему  морю во время потопа. Ковчег преодолевает хаос благодаря вере капитана, знающего, что потоп не вечен, имеющего ясную  цель и осознающего свою ответственность  за будущее. Универсальные математические сценарии развития тоже говорят о  преходящем характере хаоса. И чтобы  не застрять в бессмысленных метаниях, надо успокоиться, не упустить момент окончания кризиса, уловить нужную тенденцию и без лишних затрат выйти на устойчивую траекторию.

Сейчас предмет  изучения науки – мир, для которого характерны кризисы и обвальные  процессы, все чаще встречающиеся  в нашей повседневной жизни; мир  неустойчивостей, когда малые и  локальные изменения влекут за собой  глобальные последствия; мир, в котором  идут процессы становления и возникновения  порядка из хаоса; мир, в котором чередующиеся этапы предопределенности и непредсказуемости образуют причудливую череду событий, которые нас окружают и частью которых мы являемся.