Теория катастроф и развитие мира

Неустойчивые  модели долгое время считались некорректными  и “изгонялись” из науки. Отражением этого стала точка зрения Ж. Адамара, французского математика, сформулирован ная им в начале XX века. Вдохновленный успехами математической физики в точном описании явлений реального мира, он ввел понятие корректной задачи как задачи, для которой решение существует, единственно и устойчиво. Задачи, для которых не выполнено хотя бы одно из этих требований, он считал неинтересными для практики.

Однако жизнь  показала, что неустойчивость –  необходимый атрибут нашего мира. Тем интереснее точка зрения Анри Пуанкаре, соотечественника и современника Адамара. Роберт Гилмор, автор книги “Catastrophe Theory for Scientists and Engineers”, пишет: “Основы современного подхода к определению качественных изменений в поведении решений обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены почти 100 лет назад Пуанкаре... Эти работы... значительно опередили свое время. Сам Пуанкаре не смог реализовать намеченную им исследовательскую программу, так как был уже тяжело болен, а из его современников только А. Ляпунов следовал этой программе при изучении критических решений уравнений. После Ляпунова работы по теории бифуркаций практически прекратились... Такая ситуация сохранилась до 30-х годов, пока советские математики А. Андронов и Л. Понтрягин... вновь не обратились к идеям Пуанкаре. Особое оживление в этой области наблюдалось в 1950-67 гг.”

Глобальность  изменений во взглядах на мир и  на его описание математическими  моделями характеризует следующий  исторический факт. В 60-х годах XX века сэр Джон Лайтхил, президент Международной ассоциации математических исследований, посчитал своим долгом принести извинение просвещенному сообществу за то, что в течение 300 лет математики вводили человечество в заблуждение, так как концепция абсолютного детерминизма оказалась далеко не безусловной.

Илья Пригожин, лауреат Нобелевской премии, создатель  неравновесной термодинами ки, утверждает: “Покуда мы требовали, чтобы все динамические системы подчинялись одним и тем же законам, хаос был препятствием к пониманию. В замкнутом мире классической рациональности поиск знания легко мог приводить к интеллектуальному снобизму и высокомерию. В открытом мире, который мы сейчас учимся описывать, теоретическое знание и практическая мудрость нуждаются друг в друге”.

Теория нелинейных систем – математическая дисциплина, и сама по себе она не может ни предотвратить резкое ухудшение  обстановки, ни обеспечить быстрый  выход из застоя. Но, как любая  теория, она позволяет глубже вникнуть в суть вещей, явлений и процессов  реального мира. С точки зрения математики катастрофа и хаос –  вовсе не обязательно крушение всех надежд или еще какая-нибудь беда. Это резкая перестройка системы, качественный скачок ее состояния: неожиданный  поворот жизненного пути, социальная революция, экономический бум. И  важно в преддверии этих кризисных  ситуаций найти нужный путь, не дающий “застрять” в кризисе. Помогают в этом знаки судьбы – “флаги катастроф”, предупреждающие умеющего их читать, что пришел подходящий момент для головокружительного прыжка вверх. А если упустить момент, то будут тянуться перед тобой глухие кривые окольные тропы...  

Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике  
Арнольд В.И. Теория катастроф

 
    Возникновение  диссипативных структур носит  пороговый характер. Неравновестная термодинамика связала пороговый характер с неустойчивостью, показав, что новая структура всегда является результатом раскрытия неустойчивости в результате флуктуаций. Можно сказать о "порядке через флуктуации". С математической точки зрения, неустойчивость и пороговый характер самоорганизации связаны с нелинейностью уравнений. Для линейных уравнений существует одно стационарное состояние, для нелинейных — несколько. Таким образом, пороговый характер самоорганизации связан с переходом из одного стационарного состояния в другое.  
    Потеря системой устойчивости называется катастрофой. Точнее, катастрофа — это скачкообразное изменение, возникающее при плавном изменении внешних условий. Математическая теория, анализирующая поведение нелинейных динамических систем при изменении их параметров, называется теорией катастроф.  
    Основой теории катастроф является новая область математики — теория особенностей гладких отображений, являющаяся далеким обобщением задач на экстремум в математическом анализе. Начало было положено в 1955 г. американским математиком Г.Уитни. После работ Р.Тома (давшего теории название) началось интенсивное развитие как самой теории катастроф, так и ее многочисленных приложений. Значение элементарной теории катастроф состоит в том, что она сводит огромное многообразие ситуаций к небольшому числу стандартных схем, которые можно детально исследовать раз и навсегда.  
   Различают 7 канонических катастроф для функций одной или двух переменных и числа управляющих параметров, не превышающих 5.  
    Траектория нелинейной динамической системы в многомерном фазовом пространстве ведет себя необычным образом. При определенных условиях существует область, которая притягивает к себе все траектории из окрестных областей. Она была названа "странным аттрактором" Лоренца. Попадая в нее сколь угодно близкие траектории расходятся и имеют очень сложную и запутанную структуру. В странном аттракторе Лоренца выбранное наугад решение будет блуждать и со временем пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора. По топологии странный аттрактор представляет собой, так называемое, фрактальное множество, характеризующееся дробной размерностью. Быстрое расхождение двух близких в начальный момент времени траекторий означает очень большую чувствительность решений к малому изменению начальных условий. Этим обусловлена большая трудность или даже невозможность долгосрочного прогноза поведения нелинейных динамических систем.  
    Теория катастроф определяет область существования различных структур, границы их устойчивости. Для изучения же динамики систем необходимо знать каким именно образом новые решения уравнений "ответвляются" от известного решения. Ответ на такие вопросы дает теория бифуркаций (разветвлений), то есть возникновения нового решения при критическом значении параметра. Момент перехода (катастрофический скачок) зависит от свойств системы и уровня флуктуаций.  
    В реальных условиях при углублении неравновесности в открытой системе возникает определенная последовательность бифуркаций, сопровождающаяся сменой структур. Типичным примером такого сценария является развитие турбулентности с чередующимися типами все более усложняющихся движений. Состояние системы в момент бифуркации является неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути. Финальным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.

Иллюстрацией  перехода к нему является логистическое уравнение:

Xn+1=CXn(1-Xn)   

 Для наглядности  рассмотрим биологическую трактовку  этого уравнения: изолированно  живет популяция особей нормированной  численностью Xn . Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения — CXn  где коэффициент с определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом — (CXn)^2. Зависимость численности популяции от параметра с приведена на рисунке.

 Линии  показывают значения Xn при больших n.  
При с < 1 популяция с ростом n вымирает.  
В области 1 < с < 3 численность популяции приближается к постоянному значению X0=1-1/C . Это область стационарных решений.  
Затем в диапазоне 3 < с < 3.57 появляются бифуркации, разветвление кривых на две. Численность популяции колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова становится малой. Далее происходит перекрывание областей различных решений, и поведение системы становится хаотическим. Динамические переменные  Xn принимают значения сильно зависящие от начальных. При расчетах на компьютере для близких начальных значений с решения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере. М.Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и т.д. систем. Наряду с последовательностями удвоений периода (каскадами Фейгенбаума) имеются другие пути перехода к хаосу, когда, например, длительные периоды упорядоченного движения чередуются со вспышками беспорядка.  
   
   
 
 
 
Шелепин Л.А. Вдали от равновесия    

 Третье основополагающее  направление в теории состояний,  далеких от равновесия, связано  с анализом качественного поведения  нелинейных динамических систем  при изменении описывающих их  параметров. Его основой является  новая область математики —  теория особенностей гладких  отображений, сформировавшаяся на  стыке топологии и математического  анализа и получившая еще одно, более образное наименование  — теория катастроф. В этой  теории для анализа свойств  систем дифференциальных уравнений  уже не требуется предварительно  находить полное множество решении.   Дело в том, что для сложных систем знание всех точных решений избыточно: в реальных условиях они меняются за счет флуктуаций, и мы не получаем от этого знания нужной информации.  
    Первые результаты, связанные с качественным изучением поведения решений систем дифференциальных уравнений, были получены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым почти 100 лет тому назад. Значительный вклад в развитие их идей внесли А. А. Андронов и Л. С. Понтрягин, которые ввели понятие грубости. т. е. структурной устойчивости системы. Но только с 50-х годов, после работ Р. Тома, началось интенсивное развитие как самой теории катастроф, так и ее многочисленных приложений.  
    Теория катастроф исследует динамические системы, составляющие широкий класс нелинейных систем и описываемые уравнениями вида:

где  Xi— переменные, характеризующие состояние системы,Ca—набор параметров задачи (управляющие параметры). В элементарной теории катастроф рассматривается частный случай динамических систем: предполагается, что существует потенциальная функция—аналог потенциала электрического поля,

и что система  находится в состоянии равновесия (Xi=0 ). Задача заключается в исследовании изменений состояний равновесия Xi(Ca) потенциальной функции U(Xi,Ca) при изменении управляющих параметров.  
    Элементарная теория катастроф является в известном смысле обобщением задач на минимум и максимум в математическом анализе. Для функции одной переменной ее поведение определяется невырожденными критическими точками — максимумами и минимумами. Эти точки соответствуют равенству нулю первой производной при второй производной, отличной от нуля. Сама функция в окрестности невырожденной критической точки может быть приведена к виду

подходящей гладкой (т. е. имеющей производные любого порядка) заменой переменных  .  
    Аналогично в многомерном случае для критических точек, определяемых обращением в нуль первой производной    и отличным от нуля аналогом второй производной, гессианом (детерминантом набора величии  ), существует гладкая замена переменных  , в результате которой в окрестности невырожденной критической точки потенциальная функция приводится к квадратичной форме:

Эта форма может  быть также преобразована, к виду  .  
    Невырожденные критические точки определяют мак-симумы, минимумы и седловые точки различного типа и дают качественную картину поведения потенциальной функции в многомерном случае. Так, функция    напоминает рельефную карту: вершины гор и седла связаны хребтами, имеются озерные впадины и седлообразные долины. Диагонализация  дает направления славных осей линий максимального градиента. Если рельеф наполнить водой, то она соберется в озера, расположенные на дне долин. Минимум, который притягивает воду, называется аттрактором. Аттракторы разделяются седлами, хребтами, вершинами, образующими границу раздела между различными бассейнами притяжения. Типичная картина рельефа потенциальной функции, обладающей лишь невырожденными критическими точками, представлена на рис. 5.  
    Рассмотренная простая качественная картина многомерного рельефа существенно изменяется при наличии вырожденных критических точек, для которых одно или несколько собственных значений  равно нулю. Равенство нулю  возникает при некоторых определенных значениях управляющих параметров Ca . Если с изменением величин  Ca  система проходит через вырожденную критическую точку, то топография коренным образом меняется. Вместо знакомого пейзажа с хребтами и долинами возникает качественно новая картина, т. е. мы оказываемся как бы в совсем ином мире. И в этом смысле о переходе через особую точку говорят как о катастрофе. При приближении к границе перехода определенные критические точки рельефа сближаются, а затем сливаются.  
    Множество точек Ca, отвечающих функции с  , разбивают пространство управляющих параметров на открытые области. Каждой из этих областей соответствуют качественно отличные рельефы. При пересечении границ, разделяющих эти области, — сепаратрисе, являющихся геометрическим местом особенностей, происходит качественное скачкообразное изменение — катастрофа состояний системы.