Моделирование как метод научного познания

Методы математического  программирования находят широкое  применение для обоснования оптимальных  решений в самых различных  областях человеческой деятельности: при планировании перевозок и в торговле, для правильной организации труда, в управлении городским транспортом и строительством.

Рассмотрим, как  вырабатываются правила решения  еще одной важной производственной задачи.

Резервы раскроя

Изготовление  многих видов современной промышленной продукции начинается с раскроя материала. Выкраивают не только одежду и обувь, но и детали корпуса корабля, кузова автомобиля, фюзеляжа самолета. Раскраивают ткани и кожу, бумагу и стекло, металл и пластмассу. Кроить можно по-разному...

Перед нами листы  дефицитного материала размером 6 х 13 метров (рис. 4). Из каждого такого листа необходимо выкроить по несколько  заготовок двух видов: заготовки  А – размером 5x4 метра и заготовки  Б – размером 2x3 метра. Задача заключается  в том, чтобы получить как можно больше заготовок обоих видов с наименьшим количеством отходов. Кроме того, как и в задаче со станками, необходимо обеспечить комплектность заготовок: на 1 заготовку А должно приходиться 5 заготовок Б.

Как вести раскрой? Какое решение принять?

Рис. 4. Способы  раскроя материала

 

Прежде всего, нужно установить все возможные  способы раскроя наших листов по требуемым заготовкам. Начнем с того, что постараемся получить с одного листа как можно больше заготовок А – они крупнее, чем Б, и для них труднее подыскать место на листе. Оказывается, однако, что более трех заготовок А с листа выкроить невозможно. Исходя из этого предусмотрим способы раскроя для получения трех, двух и одной заготовки А и наибольшего возможного количества заготовок Б с листа. Каждому способу дадим номер:

способ № 1:3 заготовки  А и 1 заготовка Б;

способ № 2: 2 заготовки А и 6 заготовок Б;

способ № 3: 1 заготовка А и 9 заготовок Б.

Заметим, что  при всех способах раскроя часть  площади листа остается неиспользованной и идет в отходы. На рис. 4 эта площадь  заштрихована.

Для составления  оптимального плана раскроя материала  построим график, подобный тому, который  мы рисовали в задаче со станками. На рис. 5 по оси X отложено количество заготовок А, а по оси Y – число заготовок Б. При этом каждому способу раскроя соответствует своя точка на графике. Так, точка «способ № 2» стоит на пересечении двух заготовок А и шести заготовок Б. Точки – способы раскроя – указывают границы области допустимых планов.

 

Рис. 5. График раскроя  материала

Для того чтобы  обеспечить комплектность заготовок, необходимо ограничиваться лишь теми точками области допустимых планов, которые лежат на луче ОЛ. Он построен таким образом, что все его точки соответствуют требуемому отношению заготовок А и Б:

Какой же план раскроя  наиболее рационален?

Очевидно, тот, которому соответствует точка, наиболее отдаленная от начала координат, – ведь при  этом число заготовок будет наибольшим. Этот план дает точка, лежащая на пересечении луча ОЛ с границей области допустимых планов – линией, соединяющей способы № 2 и № 3. Она находится как раз посередине между упомянутыми способами. Итак, оптимальный план раскроя заключается в том, что половина листов кроится способом № 2, а половина – способом № 3.

Проверим теперь наш оптимальный план на партии в 200 листов. Половину – 100 листов раскроим по способу № 2 и получим 100 х 2 = 200 заготовок Б. Всего же получилось 300 заготовок А и 1500 заготовок  Б – комплектность 1 к 5 соблюдена. А чем этот план лучше других? На этот вопрос ответят следующие любопытные цифры.

Предположим, что  тот, кто ведет раскрой, не знает  современных методов обоснования  решений и действует без расчета, «на глазок». Не исключено, что он станет раскраивать наши 200 листов способами № 1 и № 3. Для того чтобы иметь возможность сравнивать глазомерный план с оптимальным, примем, что способом № 1 раскраивалось 50, а способом № 3–15 листов. Вот что при этом получается.

50 листов, раскроенные  по способу № 1, дают:

50 х 3 = 150 заготовок А и 50 х 1 = 50 заготовок Б;

150 листов, раскроенных  по способу № 3, дают:

150 х 1 = 150 заготовок  А и 150 х 9 = 1350 заготовок Б.

Всего получается 300 заготовок А и 1400 заготовок  Б.

А куда же исчезло 100 заготовок Б? Ведь при оптимальном  раскрое их было 1500. Их «съел» плохой план. Все они ушли в отходы. Дефицитный материал остался неиспользованным.

Таким образом, рациональный раскрой даже в такой  скромной задаче, как наша,– разрезается  всего 200 листов – экономит 600 квадратных метров дефицитного материала: 100 заготовок Б х 2 метра х 3 метра = 600 квадратных метров.

Еще одной важной областью выработки решений производственных задач является составление всевозможных расписаний. С помощью расписаний определяется порядок действий персонала  предприятий, устанавливается последовательность выполнения операций обработки материалов и сборки сложных изделий, назначается очередность при распределении различных материальных благ и т. д. Как же строятся наилучшие расписания?

Управление очередями

Простейшее решение по составлению расписаний имеет так называемая задача директора. Сущность этой задачи заключается в следующем.

На прием к  директору записалось несколько  посетителей. Секретарь директора  составил список в алфавитном порядке, указав для каждого требующуюся ему ориентировочную продолжительность приема. Фамилии записавшихся обозначены в списке их заглавными буквами (табл. 5).

На весь прием  директор, как видно из таблицы, отвел 2 часа =120 минут, поэтому пришлось ограничиваться всего шестью посетителями. Является ли составленное расписание наилучшим?

Таблица 5

№ п/п	Фамилия (начальная буква)	Продолжительность приема, мин	Время ожидания, мин
1	Б	25	0
2	Д	15	25
3	Е	10	40
4	К	5	50
5	С	35	55
6	Т	30	90
Суммарное время 120 мин = 260 мин =  = 2 часа = 4 часа 20 мин

С точки зрения общей продолжительности приема любая очередность посетителей  равнозначна: суммарное время приема не меняется при любой его последовательности. А с точки зрения ожидания в  очереди? Подсчитаем общее время  ожидания как сумму времени ожидания всех посетителей. В нашем алфавитном списке оно составляет 260 минут = 4 часа 20 минут. Понятно, что это время желательно было бы уменьшить: ведь время ожидания – зря потраченное время. Но вот можно ли это сделать? Приведет ли расписание с другой последовательностью приема к экономии общего времени ожидания при сохранении намеченного суммарного времени приема?

Оказывается, получение  такого расписания возможно. В одном  из методов исследования операций –  так называемой теории расписаний –  доказывается, что наименьшее суммарное время ожидания получается при составлении расписания в порядке нарастания продолжительности приема. Составим такое расписание (табл. 6).

	№ п/п		Фамилия (начальная  буква)		Продолжительность приема, мин	Время ожидания, мин
1		К		5		0
2		Е		10		5
3		Д		15		15
4		Б		25		30
5		Т		30		55
6		С		35		85
Суммарное время 120 мин = 190 мин =  = 2 часа = 3 часа 10 мин

Таблица 6

Таблица 6

Полученное оптимальное  расписание позволяет уменьшить  суммарное время ожидания на 1 час 10 минут. Это значительное сэкономленное время можно использовать на полезные дела.

Задача директора  находит применение не только в приемной руководителя. Ведь таким же образом  можно составить и расписание очередности работы станка или другого  оборудования над различными деталями. Продолжительность обработки при этом бывает различной, и нужно составить расписание таким образом, чтобы суммарное время обработки оказалось наименьшим. Это, как мы видели, дает существенный временной, а значит, и экономический эффект.

Задачу директора  иногда называют задачей одного станка. Ее дальнейшим развитием является задача двух станков. В чем ее суть?

Детали обрабатываются последовательно на двух станках. В  табл. 7 показана продолжительность  этой обработки для каждой из 10 деталей  на двух станках. Нумерация деталей и последовательность их обработки взяты при этом произвольно.

Таблица 7

Номера деталей и  последовательность их обработки	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Продолжительность обработки  на станке № 1 , мин	7	3	12	14	20	4	2	9	19	6
Продолжительность обработки на станке № 2, мин	18	13	9	5	8	16	20	15	1	13

Расчет показывает, что суммарное время обработки  всех деталей составляет 118 минут. Кроме  того, существует время ожидания обработки  первой поданной детали на станке № 2, равное 7 минутам, и время ожидания, пока освободится станок № 2 для обработки детали № 5, равное 11 минутам. Итого – обработка всех деталей на двух станках с учетом времени ожидания продолжается 136 минут.

В теории расписаний доказывается, что в задаче двух станков для обеспечения оптимальной последовательности обработки с наименьшим временем ожидания необходимо составлять расписание, руководствуясь следующими правилами:

1) выбирается  деталь с наименьшей продолжительностью  обработки на одном из станков;  в нашем примере это № 9;

2) выбранная деталь помещается в начало очереди, если наименьшая продолжительность обработки соответствует станку № 1, или в конец очереди, если – станку № 2; в нашем примере деталь № 9 помещается в конец очереди;

3) столбец таблицы  7.7, ранее занятый выбранной деталью, вычеркивается;

4) выбирается  деталь среди оставшихся со  следующей наименьшей продолжительностью  обработки на одном из станков;  в нашем примере – деталь  № 7;

5) выбранная  деталь помещается в начало  или конец очереди по указанному  в пункте 2 правилу; в нашем примере деталь № 7 помещается в начало очереди;

6) вычеркивается  соответствующий столбец таблицы.

И так далее.

В итоге можно  получить оптимальное расписание работы двух станков (табл. 8).

Таблица 8

Последовательность обработки (порядковый номер очереди)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер детали	7	2	6	10	1	8	3	5	4	9
Продолжительность обработки  на станке № 1 , мин	2	3	4	6	7	9	12	20	14	19
Продолжительность обработки  на станке № 2, мин	20	13	16	13	18	15	9	8	5	1