Феноменологические модели строения вещества

с неким  числовым параметром q. Заметьте, что при q, стремящемся к 1, lnq(x) переходит в настоящий логарифм, в чем можно убедиться простым дифференцированием. Новая формула для q-энтропии выглядит так:  

Sq = – Si ( piq lnq(pi) ) = (1 – Si piq)/(q – 1).

Если  q –>1, то q-энтропия переходит в стандартную больцмановскую энтропию.  

             Главное следствие такой замены: q-энтропия является уже не экстенсивной функцией. Если всю систему разбить на две независимых подсистемы A и B (напомним, что мы уже перешли к новым невзаимодействующим, а значит, и независимым степеням свободы!), то мы получим:

Sq(A+B) = Sq(A) + Sq(B) + (1–q)Sq(A)Sq(B) 

Итак, параметр q — это мера неэкстенсивности системы. Как видно, величина q пока ничем не ограничена и может принимать значения от минус бесконечности до плюс бесконечности, однако некоторые ограничения могут возникнуть в той или иной конкретной задаче.

                Может возникнуть резонный вопрос: ну хорошо, построили мы новую энтропию. Но откуда мы знаем, что эта энтропия обладает свойством увеличиваться при эволюции системы? Ведь, казалось бы, кинетическое уравнение Больцмана однозначно говорит, что неубывающей фукнцией является именно стандартное, больцмановское выражение для энтропии!

             Ответ на этот вопрос прост: кинетическое уравнение Больцмана не универсально, а базируется на гипотезе молекулярного хаоса. Если же эта гипотеза нарушается, то нарушится и закон неубывания больцмановской энтропии. Более того, удается показать, что гипотезу молекулярного хаоса можно видоизменить таким способом, чтобы неубывающей функцией оказалась именно q-энтропия! Таким образом, предложение Тсаллиса влечет за собой не только обобщение термодинамики и статфизики, но и обобщение физической кинетики. Однако надо четко понимать, что это — не есть вывод термостатистики Тсаллиса, не есть доказательство того, что форма энтропии должна быть именно такая. Опять же, это лишь игра с формулами, исследование того, что в принципе может быть реализовано в природе.

             Крайне важно понимать, что выбранная функциональная форма q-энтропии достаточно произвольна. Ее самый главный плюс: она может промоделировать неэкстенсивность. Однако доказательства того, что именно такая форма и должна возникать, нет.

            Давайте теперь сделаем передышку и поймем, что же мы получили. Мы (а точнее, Тсаллис) придумали некоторое обобщение термодинамического подхода. Действительно, обычная термодинамика получается из нашего общего подхода при вполне конкретном значении параметра q = 1. Если же q отлично от 1, то мы имеем уже иную теорию, со своими законами, которые нам еще предстоит исследовать. Таким образом, мы построили целый класс различных термодинамик! И теперь наша задача — понять, каким физическим системам будет соответствовать та или иная термодинамика.  

Развиваем теорию 

             Итак, мы имеем новое выражение для энтропии. На основе его мы теперь можем строить здание новой статистической физики. Мне хочется упомянуть здесь два интересных явления, возникающих в термостатистике Тсаллиса.

            Первое — это последствия перехода от логарифмической к степенной фукнции. Если рассмотреть в рамках новой теории канонический ансамбль и получить, скажем, распределение частиц по энергии, то вместо известного распределения Гиббса  

p(E) ~ exp(–E/kT)

мы получим  

  p(E) ~ [1 + (1–q)*(–E/kT)]q/(1–q) 

             Самым важным здесь является поведение этого распределения при больших значениях энергии. При q>1 мы имеем степенное, а не экспоненциальное падение в ростом энергии, а при q 
 

Заключение 

    Применение  статистического подхода в других областях естествознания.

               Мы уже говорили, что утверждение второго начала термодинамики в формулировке Клаузиуса не соответствовало традиционным механическим представлениям. Механика всегда рассматривала процессы природы как обратимые, тогда как второе начало термодинамики считает их необратимыми. Кинетическая теория превращает это несоответствие в противоречие: если теплота сводится к движению отдельных молекул, подчиняющемуся обратимым динамическим законам, то как же можно совместить обратимость отдельных процессов с необратимостью в целом? По-видимому, одной из причин острой борьбы между представителями энергетического направления — Ранкином, Гельмгольцем, Оствальдом, Махом— и сторонниками атомистики, которую "энергетики" считали слишком грубой и наивной, является именно вопрос о противоречии между обратимостью динамических процессов и вторым началом термодинамики. Согласно энергетической школе, противоречие может быть снято, если отказаться от одной из посылок, поэтому они были склонны отказаться от кинетической теории и вернуться к агностической концепции Майера.

              Однако это противоречие было преодолено совсем иным путем. Первым пошел по этому пути Максвелл, поставив перед собой конкретную задачу кинетической теории газов: если молекулы газа находятся в непрерывном движении, то какова скорость определенной молекулы в определенный момент?

               Максвелл начинает с замечания, что предположение Бернулли о равенстве скоростей всех молекул принять нельзя. Действительно, если бы даже в какой-либо определенный момент все молекулы газа имели одну и ту же скорость, то такое идеальное состояние тотчас нарушилось бы в результате взаимных соударений молекул. Так, если молекула А налетает на молекулу В перпендикулярно направлению ее движения, то легко рассчитать, что молекула В ускоряется, а молекула А замедляется. 

                Но проследить мысленно или рассчитать судьбу каждой отдельной молекулы из бесчисленного количества молекул, содержащихся в объеме газа, не представляется возможным. Можно, согласно Максвеллу, лишь определить статистическое распределение их скоростей, т. е. ответить не на вопрос о том, какова скорость отдельной определенной молекулы, а на вопрос, сколько молекул имеют определенную скорость в заданный момент. В основу своего расчета Максвелл положил следующие интуитивные предпосылки: ни одно направление движения не является привилегированным; ни одно значение скорости не является привилегированным или запрещенным (т. е. молекула может принимать все значения скорости от нулевой до максимальной); каждый газ, предоставленный самому себе, приходит в конце концов в стационарное состояние, в котором статистическое распределение скоростей остается постоянным во времени. Иными словами, если две молекулы со скоростями а и b сталкиваются и после соударения приобретают скорости р и q, то одновременно две другие молекулы со скоростями р и q сталкиваются и приобретают соответственно скорости а и b, так что число молекул, имеющих скорости а, b, . . ., р, q, . . ., остается постоянным.

               Исходя из этих гипотез и некоторых других, менее существенных, к которым он прибегает по ходу рассуждений, Максвелл пришел к известной формуле для распределения скоростей молекул газа. Эта формула вызвала длительную дискуссию, утихшую лишь в последние годы, когда молекулярные насосы позволили произвести ее экспериментальную проверку. Не прослеживая всей дискуссии, достаточно подчеркнуть огромное значение введения статистических законов. На место причинных динамических законов становятся статистические законы, позволяющие предвидеть эволюцию природы не с абсолютной достоверностью, а лишь с большой степенью вероятности.

              Понятие вероятности физического явления, неявно введенное Максвеллом, было применено в 1878 г. Людвигом Больцманом (1844—1906) для преодоления трудностей, связанных со вторым законом термодинамики. В связи с этим находится классический мысленный эксперимент Максвелла (1871 г.): пусть газ разделен на две части диафрагмой с небольшим отверстием, которое может перекрываться задвижкой, и пусть некий "демон", способный видеть молекулы и стерегущий этот проход, открывает задвижку для молекул, движущихся в одном направлении, и закрывает ее для молекул, движущихся в противоположном направлении. Через некоторое время произойдет сжатие всего газа в одной из половинок объема, и второе начало термодинамики будет нарушено.

              Эти трудности были преодолены Больцманом с помощью радикального нововведения: второе начало термодинамики рассматривается не как достоверный закон природы, а лишь как в высшей степени вероятный. Вот известное рассуждение Больцмана, приведенное им для иллюстрации такого понимания. Пусть мы имеем, говорит Больцман, два сосуда, соединенных небольшим отверстием, и пусть сначала в каждом из сосудов имеется по одной молекуле. Вследствие движения молекул может случиться, что одна из молекул пройдет сквозь отверстие между сосудами и. окажется в другом сосуде. При этом произойдет самопроизвольное сжатие газа вопреки утверждению второго закона термодинамики. Но если бы в каждом из сосудов было первоначально не по одной, а по две молекулы, то ясно, что такое сжатие менее вероятно; еще менее вероятным оно становится для 4, 8, 16, ... молекул в каждом сосуде.

             Так вот, второе начало термодинамики утверждает не об абсолютной достоверности, а о высокой степени вероятности. Вероятность отклонения от термодинамического закона итана, и для иллюстрации полученной величины, несоизмеримой с вероятностями событий, встречающихся в обычной жизни, придумывалось множество примеров. Приведем один из них. Допустим, обезьяна долбит по клавишам пишущей машинки с непрерывной подачей бумаги. Какова вероятность, что она напечатает "Божественную комедию" Данте? Ясно, что рассчитать ее нетрудно; полученная при этом вероятность еще во много раз больше термодинамических вероятностей. Но поскольку мы практически совершенно уверены, что обезьяна никак не сможет написать "Божественную комедию", тем больше оснований быть уверенными в справедливости термодинамических законов.

            Но практическая справедливость закона представляет интерес для инженера, а ученые видят, что второй закон термодинамики из ранга достоверных законов переходит в ранг вероятных. Между достоверностью и вероятностью, пусть даже и очень большой, ученый видит непроходимую пропасть. Таким образом, классическая физика оказалась перед лицом неизбежного дуализма. Имея перед собой какой-либо закон, претендующий на описание явления, физика должна теперь задавать себе вопрос: что это — динамический, причинный закон или же статистический, вероятностный?

           Перед лицом такого дуализма физики разделились на два лагеря. Меньшинство хотело преодолеть этот дуализм, отрицая существование достоверных законов и придавая всем законам вероятностный характер. Большинство же стремилось свести все статистические законы к элементарным, динамическим. Статистические законы, говорили они,— это синтез отдельных динамических причинных законов, которые наше сознание не в состоянии проследить в их совокупности. Вероятность, возникающая в статистических законах, это, как говорил Пуанкаре, просто мера нашего незнания. Наука не может опираться на статистические законы, она должна добраться до индивидуальных динамических законов, лежащих в основе статистических, потому что только таким образом наше мышление сможет следовать за причинными связями в природе.

           Эти физики, очевидно, полностью придерживались строгого детерминизма явлений природы, провозглашенного Лапласом фундаментальным принципом в его известном утверждении: "Мы должны рассматривать существующее состояние Вселенной как следствие предыдущего состояния и как причину последующего. Ум, который в данный момент знал бы все силы, действующие в природе, и относительное положение всех составляющих ее сущностей, если бы он еще был столь обширным, чтобы ввести в расчет все эти данные, охватил бы одной и той же формулой движения крупнейших тел Вселенной и легчайших атомов. Ничто не было бы для него недостоверным, и будущее, как и прошедшее, стояло бы перед его глазами".

           Этим детерминистским подходом вдохновлялся Бьеркнес, когда в начале XX столетия излагал грандиозную программу исследований, направленных на то, чтобы свести свою метеорологическую статистику к отдельным динамическим законам. Но в то время, когда Бьеркнес составлял эти грандиозные планы, уже стала складываться современная физика, которой предстояло революционизировать традиционные схемы.

            Впоследствии объединенное распределении Максвелла-Больцмана было получено из весьма общих соображений, справедливых не только для идеальных газов, но и для других равновесных статистических ансамблей, в которых вероятность нахождения объекта в рассматриваемом состоянии не зависит от числа уже имеющихся объектов в этом состоянии. Так распределения часто встречаются в физике плазмы, физике растворов, в химии, имеется опыт их успешного применения в таких мало похожих на идеальный газ системах, как, например, не связанные с атомами электроны в проводящих кристаллах и даже электронные оболочки атомов с большими порядковыми номерами. Представляется весьма вероятным, что сходные подходы могут быть плодотворными и в других областях, где сложность рассматриваемых систем не позволяет производить точные расчеты поведения каждого отдельного элемента - биологии, экономике, социологии (например, автору известны не претендующие на большую серьезность попытки физиков вывести аналогичные максвелловским функции распределения людей по деньгам, городов по населению и т.п.). 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы 
 

1. Т.Я. Дубнищева. «Концепции современного естествознания»  Новосибирск. Изд. ЮКЭА , 1997

2. Дж. Б. Мэрион. «Физика и физический мир» М., Мир, 1975