Синтез линейных систем регулирования

В случае, когда к дифференциальному уравнению объекта управления применяют преобразование Фурье:

    (27)

Выражение (23) называют амплитудно-фазовой  частотной характеристикой (АФЧХ) объекта управления, поскольку выражение, являющееся коэффициентом перед экспонентой, характеризует зависимость амплитуды колебаний, а показатель экспоненты – фазового сдвига от частоты.

 

АФЧХ можно разбить на две  составляющие:

1) Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) – А(w)

2) Фазо-частотную характеристику (ФЧХ) - j(w)

 

1) АФЧХ объекта второго порядка имеет вид:  , поэтому:

АЧХ: 

 (28)

А) при 0<x<1: 

Б) при x>1: 

2) ФЧХ объекта второго порядка  имеет вид: 

ФЧХ:

   (29)

 

А) при 0<x<1: 

Б) при x>1: 

  Следует отметить, что АФЧХ  является комплексным числом, поэтому  может быть представлена в виде:

Здесь Р(w) называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ), а Q(w) – мнимой частотной характеристикой (МЧХ), при этом:

;     

Для рассматриваемого объекта АФЧХ имеет вид:

  

то есть:

;      (30)

 

А) при 0<x<1:  ;

 

  

 

Б) при x>1:  ;    

АФЧХ объекта строится в виде годографа на комплексной плоскости, при этом по оси абсцисс откладывают ВЧХ , а по оси ординат – МЧХ. Один для апериодического звена (x=1,468>1), а другой для колебательного звена  (0< x=0,468 <1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Исследование устойчивости замкнутой системы управления

Под устойчивостью АСУ понимают способность системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. В любой АСР, в результате возмущающих сил с одной стороны и восстанавливающего действия регулятора с другой, возникает переходной процесс.

 

Схема системы регулирования по отклонению

 

Переходной процесс в системе  может быть 3 видов:

1) Система не может восстановить  состояние равновесия и значение  Y все больше отклоняется от заданного. Такой процесс называется расходящимся, а система — неустойчивой.

2) Система возвращается к равновесному  состоянию и значение управляемой  координаты Y после окончания переходного процесса отличается от заданного лишь на некоторую статическую ошибку. Такой процесс называется сходящимся, а система — устойчивой.

3) В системе устанавливаются  периодическое движение. Такой процесс  называется незатухающим колебательным, а система находится на границе устойчивости. Любое воздействие на такую систему может привести ее как к сходящемуся, так и к расходящемуся переходному процессу.

 

Основными законами автоматического  регулирования являются:

1) Пропорциональный (П – закон). При таком законе управления  управляющий сигнал m прямо пропорционален сигналу рассогласования межну выходной координатой и ее заданным значение., то есть:

       

2) Пропорционально-интегральный (ПИ  – закон). Управляющий сигнал  складывается из пропорциональной  части и интеграла ошибки за  некоторый период Т:

3) Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД – закон). К  ПИ –  закону добавляется производная от ошибки (скорость ее изменения).

Выбирая Кр ; Ти ; Тд , можно усиливать  или ослаблять соответствующие  части регулятора, добиваясь наилучшего качества регулирования. Оценка устойчивости системы производится при помощи критериев устойчивости 2 видов: алгебраических и частотных.

Алгебраические критерии позволяют  судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения. Рассмотрим один из наиболее часто встречающихся алгебраических критериев – критерий Гурвица.

Напомним, что рассматриваемый  объект  управления представляет собой  колебательное звено 2 порядка, передаточная функция которого имеет вид:

                        (31)

Выберем в качестве закона регулирования  ПИ – закон, то есть передаточная функция  регулятора будет иметь вид:

                                (32)

Передаточная функция замкнутой системы управления определяется по выражению:

                        (33)

Подставляя значения W_o(p), W_p(p) и производя необходимые упрощения, получим:

        (34)

Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:

       (35)

Обозначим :

;   ;     ;   

Критерий устойчивости Гурвица  заключается в вычислении определителей  так называемой матрицы Гурвица. Система управления считается устойчивой, если все определители матрицы Гурвица больше нуля. Для системы 3 порядка необходимо вычислить следующие определители:

;      ;                (36)

Вычисление определителей матрицы  Гурвица можно производить и  вручную, но наиболее удобно сделать  это с использованием математических пакетов типа MathCad и др.

Так как, ;   , где D - допустимая статическая ошибка регулирования, которую примем равной 5 %.

 то 

,

 

Подставим найденные значения в  характеристическое уравнение 

и найдем:

 

А) при 0<x<1:

 

, , , 

 

;    

 

 

;          

Определители матрицы Гурвица  и все коэффициенты  больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива

 

Б) при x>1:

 

, , , 

 

;    

 

 

;        

Определители матрицы Гурвица  и все коэффициенты  больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива

 

Среди частотных критериев устойчивости наиболее распространенным является критерий Найквиста. Этот критерий заключается  в построении годографа разомкнутой  системы и определении положения годографа относительно точки (-1; j0). Если годограф пересекает ось абсцисс левее этой точки, то система считается неустойчивой, если правее – система устойчива. Если же годограф проходит через эту точку, называемую точкой Найквиста – система находится на границе устойчивости.

 Можем записать:   , или:

         (37)

Передаточную функцию разомкнутой  системы  преобразуют в амплитудно-фазовую  частотную характеристику, строят годограф, и по нему оценивают устойчивость системы.

В заключение построим переходной процесс  в системе, как реакцию на  типовое  возмущение – единичный скачек. Определим корни характеристического уравнения замкнутой системы управления (6) и представим решение дифференциального уравнения замкнутой системы в виде:

  (38)

где:

         (39)

Подставляя корни характеристического  уравнения (31) в выражение (35), определяем константы интегрирования и строим по выражению (34) переходной процесс.

Построим графики переходного  процесса и годографа Найквиста  с помощью программного математического пакета Matlab 2009b.

 

 

 

 

 

 

Переходный процесс при 0<x<1

>> p=[0.056 0.173 12.184 18.97]

p =

    0.0560    0.1730   12.1840   18.9700

 

>>  roots(p)

ans =

  -0.7575 +14.6497i

  -0.7575 -14.6497i

  -1.5742         

 

>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.173 12.184 18.97])

Transfer function:

                2.159 s

---------------------------------------

0.056 s^3 + 0.173 s^2 + 12.18 s + 18.97

 

>> step(w)

 

Годограф Найквиста при 0<x<1

>> wr=tf([5.36*3.54*0.61 5.36*3.54],[0.056 0.173 0.61 0])

Transfer function:

       11.57 s + 18.97

------------------------------

0.056 s^3 + 0.173 s^2 + 0.61 s

 

>> nyquist(wr)

Система находится на границе устойчивости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходный процесс при x>1

>>  p=[0.056 0.544 12.184 18.97]

p =

    0.0560    0.5440   12.1840   18.9700

 

>> roots(p)

ans =

  -4.0277 +13.7108i

  -4.0277 -13.7108i

  -1.6588         

 

>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.544 12.184 18.97])

Transfer function:

                2.159 s

---------------------------------------

0.056 s^3 + 0.544 s^2 + 12.18 s + 18.97

 

>> step(w)

 

 

Годограф Найквиста при x>1

>> wr=tf([5.36*3.54*0.61 5.36*3.54],[0.056 0.544 0.61 0])

 

Transfer function:

       11.57 s + 18.97

------------------------------

0.056 s^3 + 0.544 s^2 + 0.61 s

 

>> nyquist(wr)

Система находится на границе устойчивости

5. Синтез линейных систем регулирования

Рассмотрим методику расчета параметров регулятора  для получения наилучшего качества переходного процесса в  системе по минимуму средней квадратической интегральной оценки.

Смысл синтеза  АСР по минимуму средней квадратической интегральной оценки заключается в подборе настроек регулятора, минимизирующих интеграл

                         (36)

где t0 – момент времени включения  регулятора, ε(t) – суммарная ошибка регулирования входной величины, включающая в себя ошибки, связанные с изменением заданной величины и колебаниями возмущения.

Рис. 12. Схема системы регулирования 

 

Для ошибки регулирования можем  записать выражение:

                                (37)

Поскольку на входе системы имеем  единичный скачек, Х(р)=1/р. Передаточная функция разомкнутой системы:

                               (38)

Тогда равенство (37 ) примет вид:

где    _{, , , ,} , ,

Тогда

 

А) при 0<x<1:

_{, , , , ,} ,

Б) при x>1: 

_{, , , , ,} ,

 

Последнее выражение получено в  области Лапласовых изображений  и переход к оригиналу следует  произвести через замену р на jw, при этом интеграл (36) примет вид:

                                      (39)

Подобные интегралы табулированы и решение для полинома 3 степени в знаменателе имеет вид:

          (40)

Подставив в (40) числовые значения получим

 

А) при 0<x<1:

 

Взяв производную по , приравняем ее к нулю и  решим получившееся уравнение.

 Получатся 2 корня:

, 

Критерий не может быть отрицательным, поэтому выбираем .

Следовательно, , - эти настройки и принимаются в качестве оптимальных.

Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:

Обозначим :

;   ;     ;   

Вычислим определители критерия устойчивости Гурвица:

 

;    

 

;          

Определители матрицы Гурвица  и все коэффициенты  больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива.

В заключение построим переходной процесс  в системе, как реакцию на типовое  возмущение – единичный скачек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходный процесс при 0<x<1

>> p=[0.056 0.173 0.891 0.46]

p =

    0.0560    0.1730    0.8910    0.4600

 

>> roots(p)

ans =

  -1.2610 + 3.5903i

  -1.2610 - 3.5903i

  -0.5673         

 

>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.173 0.891 0.46])

Transfer function:

               2.159 s

--------------------------------------

0.056 s^3 + 0.173 s^2 + 0.891 s + 0.46

 

>> step(w)

Годограф Найквиста при 0<x<1

 

>> wr=tf([0.13*3.54*0.61 0.13*3.54],[0.056 0.173 0.61 0])

 

Transfer function:

      0.2807 s + 0.4602

------------------------------

0.056 s^3 + 0.173 s^2 + 0.61 s

 

>> nyquist(wr)

 

Б) при x>1: 

Взяв производную по , приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение.

 Получатся 2 корня:

, 

Критерий не может быть отрицательным, поэтому выбираем .

 

Следовательно, , - эти настройки и принимаются в качестве оптимальных.

Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:

Обозначим :

;  ;     ;   

Вычислим определители критерия устойчивости Гурвица:

 

;    

 

 

;          

Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты  больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива.

В заключение построим переходной процесс  в системе, как реакцию на типовое  возмущение – единичный скачек.

Переходный процесс при x>1

>> p=[0.056 0.552 1.638 1.685]

p =

    0.0560    0.5520    1.6380    1.6850

 

>>  roots(p)

ans =

  -5.5839         

  -2.1366 + 0.9074i

  -2.1366 - 0.9074i

 

>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.552 1.638 1.685])

Transfer function:

                2.159 s

---------------------------------------

0.056 s^3 + 0.552 s^2 + 1.638 s + 1.685

 

>>  step(w)

Годограф Найквиста при x>1

>> wr=tf([0.476*3.54*0.61 0.476*3.54],[0.056 0.552 0.61 0])

Transfer function:

       1.028 s + 1.685

------------------------------

0.056 s^3 + 0.552 s^2 + 0.61 s

 

>> nyquist(wr)

Заключение

В результате работы был произведен параметрический синтез ПИ-регулятора на основе линеаризованного уравнения объекта управления, а также был построен переходной процесс при полученных оптимальных настройках.

В результате оценки устойчивости системы были произведены расчеты критериев устойчивости 2 видов: алгебраических и частотных, которые подтвердили устойчивость системы.