Синтез линейных систем регулирования

Федеральное агентство по  образованию Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный  горный институт им. Г.В. Плеханова (технический университет)

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

 

 

По дисциплине: _______Теория автоматического управления___________________                 

                       ^{(наименование учебной  дисциплины согласно  учебному плану)}

   

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Тема:                       __Синтез линейных систем регулирования__

 

 

 

 

 

Автор: студент   гр. АПМ-09-2       _________________                     /Воликов А.В../

                         ^{(подпись)               (Ф.И.О.)}

8 вариант

 

ОЦЕНКА:  _____________

 

Дата:     ________________

 

 

 

ПРОВЕРИЛ:

 

Руководитель проекта:      доцент                    _______________        / Суслова О.В./

           ^{(должность)                                  (подпись)                                   (Ф.И.О.)}

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2012

Оглавление

1. Задание

Произвести линеаризацию уравнения  объекта управления согласно заданному  варианту. Оценить точность линеаризации, построив график ошибки в зависимости от входного сигнала.

На основе полученного линеаризованного уравнения  записать выражения для АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ВЧХ и МЧХ  при x>1 и 0<x<1 и построить АФЧХ, АЧХ и ФЧХ для двух указанных.

Определить устойчивость системы управления по критериям Гурвица и Найквиста для двух вариантов объекта управления и построить переходные характеристики.

Произвести  параметрический синтез ПИ-регулятора для своего варианта объекта управления. Построить переходной процесс при полученных оптимальных настройках.

2. Линеаризация математической модели

В качестве предмета изучения будем  использовать некоторый объект, описываемый  дифференциальным уравнением 2-го порядка.:

                    (1).

Исходные данные. В качестве исходных данных служат коэффициенты уравнения (1) , , , ; границы изменения входной переменной и , номинальный режим выбран как 0,5 диапазона измерения.

 

Вариант №								Точность в %
2	20	4Y	7Y	6X2	9	4	0,5	5

 

Решение.

Подставим в уравнение (1) значение заданных коэффициентов и запишем  полученное выражение:

                    (2).

Это нелинейное уравнение, так как  в нем имеется произведение выходной переменной на ее производную (динамическая нелинейность), вторая степень выходной переменной и третья степень входной переменной .

Для того, чтобы  можно было пользоваться стандартными методами теории автоматического управления, применительно к данному объекту, необходимо привести уравнение (2) к виду:

                       (3),

где , , , - некоторые постоянные коэффициенты.

Уравнение (3) – линейное дифференциальное уравнение. Поэтому процесс приведения к такому виду какого-то нелинейного уравнения называют линеаризацией.

Для линеаризации уравнения (2) введем понятие номинального режима: установившегося режима функционирования объекта (производные равны 0), в котором входная и выходная переменная связываются уравнением статики, и каждая имеет какое-то определенное постоянное значение. Относительно этих значений рассматриваются величины входных и выходных переменных во время работы объекта управления. Сами значения при номинальном режиме могут определяться из различных соображений: исходя из требований технологического регламента или просто как 0,5 диапазона измерения входной (выходной) величины и т.п.

Найдем  уравнения статического режима для  объекта (2).

Приравняем  нулю все производные в уравнении (2) и получим уравнение статики  объекта:

 

,  или                     (4).

Уравнение (4) описывает множество  возможных установившихся состояний  объекта, в том числе и состояние  номинального режима. Найдем значения переменных в номинальном режиме.

Диапазон измерения    -  от 4 до 9, а номинальное значение соответствует 0,5 (т.к. z=0,5), то есть

Из уравнения (4) найдем значение :

 

Тогда во всех состояниях значения входной  и выходной переменных можно записать в виде уравнений (5):

                               (5).

Линеаризация производится  для режимов, имеющих относительно малое отклонение от номинального режима.

Перенесем правую часть уравнения (2) налево и  получим

                    (6).

Обозначим левую часть уравнения (6) через функцию :

                    (7).

Разложим ее в ряд Тейлора  с учетом всех переменных и производных (производные рассматриваются как самостоятельные переменные) и отбросим все слагаемые второго и более высших порядков, в следствие чего получим:

              (8),

где  - значение при номинальном режиме, , , , - значения производных по переменным при подставленных номинальных значениях, , , , - отклонения переменных от номинального значения . 

Найдем частные производные, необходимые для разложения:

,  

,

,

.

Таким образом, подставив найденные  значения частных производных в  уравнение (8) получим:

Где члены высоких порядков отброшены, а линеаризованное уравнение  имеет вид:

              (9).

Уравнение (9) является линейным, но описывает  объект не в абсолютных физических переменных, а в отклонениях от номинала (приращениях).

Разделим  обе части уравнения (9) на коэффициент  при  . Тогда он примет вид:

                     (10),

где  =0,093,  =0,285, =1 – коэффициенты; =3,54 –коэффициент усиления объекта. и - производные.

Уравнение (10) является линейным дифференциальным уравнением объекта управления в  канонической форме записи. Приведение к такой форме (коэффициент при  равен 1) – очень важный момент для правильного определения параметров объекта (например, коэффициента усиления).

Линеаризация существенно снижает  точность математической модели. Эта потеря не должна превышать 5%.

Уточним интервал измерения  , в котором данная точность реализуема. Проверка проводится для статического режима.

При линеаризации кривая, соответствующая уравнению (4)  заменяется кривой,  получаемой из уравнения (10) приравниванием к 0 производных.

                     (11),

Сопоставим характеристики (4) и (11).

Поскольку из уравнения (5) следует , что

,

То можем записать на основании  уравнения (11):

              (12)

Ошибку линеаризации можно посчитать  по уравнению (13):

 

                        (13),

где , - значения выходной переменной для линеаризованного уравнения (12) и нелинеаризованного уравнения  (4).

Подставляя в (5), (12) и (13) различные  значения , можно найти значения для линеаризованного ( ) и нелинеаризованного уравнения ( ). Результаты приведены в таблице.

	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0	7,5	8,0	8,5	9,0
	6,492	8,262	10,032	11,802	13,572	15,342	17,112	18,882	20,652	22,422	24,192
	7,407	8,838	10,351	11,942	13,607	15,343	17,146	19,016	20,949	22,943	24,997
,%	5,961	3,753	2,079	0,911	0,226	0,003	0,224	0,873	1,935	3,398	5,248

Как видно из таблицы, на краях заданного диапазона точность линеаризации недостаточна. Найдем параметры диапазона, в котором ошибка не превышает заданных 5%. Из уравнения (13) получим:

Откуда  , или

 

Решая это уравнение, получаем новые значения границ интервала. Они будут: и . Построим график .

Построим графики    и , то есть линеаризованной и нелинеаризованной статических характеристик.

Таким образом, исходное уравнение (1) линеаризуется уравнением вида (10):

,

а требуемая точность достигается в интервале изменения входной переменной от 4,2 до 8,9.

3. Исследование динамических характеристик объекта управления по математической модели

В результате линеаризации нелинейной модели объекта управления получено некоторое линейное дифференциальное уравнение 2 порядка. Линеаризованное уравнение имеет вид:

  (14)

Напомним, что  и - производные по времени, а (14) это уравнение в отклонениях от номинального (знак  D опущен для простоты записи). 

Для уравнения 2 порядка каноническая форма записи имеет вид:

  

   (15)

где – постоянная времени объекта, с; – коэффициент усиления объекта по каналу – ;  - так называемый коэффициент демпфирования, смысл которого будет рассмотрен позже.

Следует отметить важность приведения к канонической форме для получения правильных значений параметров объекта. Характерная черта канонической формы дифференциального уравнения объекта - это то, что при выходной переменной ( ) коэффициент равен 1.

Сравнивая выражения (14) и (15), получим:

=0,304, =0,468, =3,54.

Применим к уравнению (14) преобразование Лапласа.

Напомним, что для некоторой функции f(t) преобразование Лапласа определяется, как:

,

где р – комплексная переменная.

Для величин, входящих в уравнение (14), преобразование Лапласа имеет вид:

;  

;  

С учетом этого, уравнение (16) имеет  следующий вид:

, или

           (16)

Уравнение (16) называется изображением по Лапласу для уравнения (15). Полином, стоящий в левой части уравнения (16), носит название характеристического полинома.

Уравнение =0 называется характеристическим уравнением.

Для анализа  объекта управления обычно используют два вида типовых возмущений:

 

Х = 1[t] – единичный скачек           

                                                                                                   

Х = d[t] – мгновенный импульс

    

  

 

Решение Y(t) при X = 1[t] называется переходной характеристикой объекта управления h(t). Решение Y(t) при X = d[t] называется импульсной характеристикой (функцией веса) объекта w(t).

Следует отметить, что весовая функция w(t) является производной от функции переходного процесса h(t).

Решение дифференциального  уравнения ищется в виде суммы  экспонент. Вид решения зависит от входного сигнала.

Для звена  второго порядка эти решения имеют вид:

 (17)

 (18)

Здесь ; – корни характеристического уравнения, которые определяются, как ; , – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Следует обратить внимание на величину x. В случае, когда x>1, дискриминант положителен и корни р1; р2 получаются вещественными. Переходной процесс называется монотонным. 

В случае, когда 0<x<1, дискриминант отрицательный и корни р1; р2  получаются комплексными, вида  где . В этом случае, выражение (17) можно представить в виде:

         (19),

а выражение (18) в виде:

                    (20).

Здесь a - степень затухания амплитуды (учитывает вещественную часть корней характеристического уравнения); w - круговая частота колебаний выходной переменной (учитывает мнимую часть корней характеристического уравнения); А – начальная амплитуда колебаний, f - фазовый сдвиг.

Переходной  процесс, получающийся при решении  такого вида, называется колебательным.

Значение  постоянных можно найти по выражениям:

           (21)

В данном случае =0,304, =0,468, =3,54 следовательно:

, , ,

Тогда по (19) и (20)

 (22)

 (23)

Для получения монотонного процесса прибавим к  x единицу. Тогда при x>1 (x=1,468):

,следовательно р₁=-1,309 , р₂=-8,349, а по (17) и (18) получаем:

 

Где коэффициенты , – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий:

Тогда

 (24)

  (25)

 

По приведенным  выражениям строим графические характеристики:

 

Переходные характеристики объекта  при x>1 и 0<x<1

Импульсные характеристики объекта  при x>1 и 0<x<1

 

Уравнение (16) можем переписать следующим  образом:       

                   (26)

Выражение вида  при нулевых начальных условиях, называют передаточной функцией объекта управления.