Цифровая обработка сигналов

X(nT) – показывает комплексную функцию Х(е^j), которая выглядит:

      - прямое преобразование. 

 

Спектр сигнала  можно получить с помощью Z–преобразования если подставить: 

 

Из свойства линейности Z–преобразования следует свойство линейности Фурье преобразования.

, то

Из свойства сдвига, мы можем написать следующим  образом:

• Дискретное  преобразование Фурье.

     K= 0, … N-1 – прямое

     n= 0, … N-1 – обратное

X(nT) = (n=0, … N-1)  

X(K)последовательность из N частотных отсчетов, где

Эти преобразования можно представить в матричной  форме:  

X = W_nX 

W_n – окно расчета  

                                    - окно Хэминга

                                   N 

ДПФ и ОПФ  – выполняются над конечной последовательностью  из N – отсчетов и этот вид преобразования дает возможность определить спектральную плотность мощности сигнала, амплитуду и фазу отдельных частот. 

  S₁                                                                         S₁ = a₁sin(wt)

                                                                                                                                                                                       

  S₂                                                                                                              S₂ = a₂sin (w₂t) 
 

  S₃                                                                                                              S₃ = a₃sin (w₃t) 
 

 
 

                                     

                                                                           

Спектральная  плотность сигнала 

Е

 w 

F₁ u F₂ –несет смысл сообщения

F₃ и т.д. – несет источник информации.

 

Свойства  дискретного преобразования Фурье. 

1) Линейность.

Имеются 2 сигнала  х(к)               у(к)

                                  aх(nT)           by(nT)    тогда получается

ax(k)+by(k)=ax(nT)+by(nT) 

2) Свойство сдвига.

Х(к)                          X(nT) – путем сдвига на n₀ отсчетов, тогда дискретное

                                  Y(nT)    преобразование Фурье будет:

      путем сдвига  на n₀k.

  

                                          

 

 

                                                                                     nT

                                           X(nT)

                                          

 

 

                                                                                     nT 

Тема: Случайные последовательности и их характеристики.

Любой сигнал который  подвергается обработке в какой-то степени является случайным сигналом, который изменяется по времени и по частоте. Последовательность X(nT) является случайной, если каждый ее элемент является случайной величиной. 

                                        - помеха

             X(nT) Y(nT)          

 

Характеристики:

1) Математическое  ожидание.

                  

                   

                                                                                Х(nТ)  

                                                                                         N-1                  N 

2) Дисперсия.

Дисперсия сигнала  для непрерывной случайной величины определяется так:

                   

 

  
 
 
 

                     0       

                          95%

3) Авто корреляция.

Корреляция –  связь между нынешним и предыдущим состоянием.

         

- среднее значение или математическое  ожидание.

        

Авто корреляционная функция является мерой связей между случайными последовательностями. Если значение r(m)=0, то нет никакой связи межу случайными последовательностями. 

4) Спектральная  плотность или мощность стационарной  случайной последовательности. 

Спектральная  плотность сигнала ----- есть средняя мощность последовательности ----- , приходящейся на достаточно узкую полосу частот.

Эта функция  связана с преобразованием Фурье, и имеет следующий вид:

           

Тема: Виды окон анализа. 

Проблемы:

1) Для того, чтобы обрабатывать сигнал в начале он превращается в дискретном виде (необходимо решить проблему точности при вставлении сигнала, как по частям, так и по уровню). 

2) Выбор ширины окна анализа сигнала и типа окна анализа. Ширина окна берется исходя из периодичности сигнала. Если ширина окна близка или в точности совпадает с периодичностью сигнала, то это наиболее оптимальный способ выбора ширины окна.

Для речевых сигналов ширина окна должна быть равна периоду основного  тона сигнала.

 

                   Т₀

Тип окна - используются несколько типов:

а) прямоугольное  окно. 

                  

Частотная характеристика этого окна выглядит так: 

               

 

   

б) Окно Хэмминга.

Окно Хэмминга отличается от прямоугольного окна и  описывается следующей формулой:

  

Достоинства:

1) Она сглаживает  боковые вклады в результат  обработки.

2) Ширина сдвига  окна меньше ширины всего окна.

в) Окно Кайзера.

, где

I₀ – функция Бегеля

- const 

Тема: Расчеты цифровых фильтров. 

Случайные сигналы  можно исследовать:

2. В области  частот.

Этот способ позволяет найти компоненты периодических  сигналов, которые формируют или образуют случайные сигналы.

     а) Преобразованием Фурье.

         Сигналы можно разделить на 3 гармоники.

     б) С помощью полосовых фильтров.

2. Во временной  области.

Исследование  его характеристики во времени. 

  

                 

3. С помощью  линейного предсказания. 

Это авто корреляционный способ. Он использует закономерность или информацию о том, как соседние отсчеты взаимосвязаны между  собой.

Для того, чтобы исследовать сигналы в частотной области с помощью программ, которые моделируют цифровые фильтры, необходимо, заранее делать расчет цифровых фильтров. 

Порядок расчета  цифровых фильтров следующий:

1) Решается задача  аппроксимации с целью определения  коэффициента фильтра, при котором фильтр удовлетворяет заданному требованию.

2) Выбирается  конкретная схема построения  фильтра и квантования, найденных  значений его коэффициентов в  соответствии с фиксированной  длиной слова.

3) Делается квантование  переменных величин фильтра, т.е. выбор длины слова входных выходных и промежуточных переменных.

4) Проверяется  методом моделирования, удовлетворяет ли полученный фильтр заданным требованиям. Если на этом этапе фильтр не удовлетворяет заданным требованиям, то предыдущие 2 и 3 этапы повторяются.

Бывают 2 типа фильтров:

а) Нерекуррентные.

б) Рекуррентные.

Формулы определения  фильтров.

   -    рекуррентный фильтр 

Другую характеристику цифрового фильтра можно записать следующим образом:

 

Схема фильтра  будет следующая:

         X(n)                           W(n)                            a₀                                Y(n)

 

 Схема фильтра состоит из набора элементов задержек, выходной сигнал которых

умножается на определенный коэффициент. 

Тема: Линейное предсказание сигналов. 

Один из способов обработки сигналов является: использование  модели линейного предсказания. Суть состоит в том, что следующий  отчет сигнала является (вычисляется), используя предыдущие отчеты.

---- реальный  дискретный сигнал.

---- моделирование  дискретных сигналов.

С другой стороны:

                         - модель сигнала

                         

Ошибка  

Минимизируем  функцию. 

a_k – коэффициент линейного предсказания. 

                                   

Решая эту систему, находим коэффициент а

                    

- Это Ковариационный  метод.

- Авто корреляционный  метод.

Модель такая: минимизируется ошибка следующим образом: