Инвариантные свойства ортогонального проецирования

Поверхность гиперболического параболоида (рис. 79) формируется при

движении  прямолинейной образующей L по двум прямолинейным

направляющим m и n, на рис. 79 плоскостью параллелизма гиперболического

параболоида является фронтальная плоскость  проекций П2.  

Построение  линии пересечения  поверхностей способом секущих плоскостей. При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей секущие плоскости, принятые в качестве посредников, могут быть и общего, и частного положения. Более широкое применение находят плоскости частного положения. Сущность метода состоит в том что в качестве вспомогательных поверхностей выбирают плоскости, которые могут занимать общее положение в пространстве, быть проецирующими или плоскостями уровня. Наиболее широко используются плоскости уровня – фронтальные и горизонтальные. Чаще всего плоскости пересекают заданные поверхности по прямым и окружностям частного положения, поэтому построение их проекций не вызывает особых затруднений.

Способ  вспомогательных  секущих сфер.

Основу  способа вспомогательных секущих  сфер составляют особенности взаимного  пересечения так называемых <соосных  поверхностей вращения>. К ним относятся поверхности, оси вращения которых совпадают, то есть несколько поверхностей имеют одну и туже ось вращения. Сущность применения способа вспомогательных секущих сфер для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения состоит в том, что каждая из заданных поверхностей вращения пересекается одной и той же вспомогательной сферой. При пересечении вспомогательной сферы с каждой из заданных поверхностей вращения образуются окружности. Точки пересечения полученных окружностей являются общими для обеих поверхностей вращения и поэтому принадлежат линии взаимного пересечения этих поверхностей. При этом пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей. В зависимости от расположения осей пересекающихся поверхностей вращения относительно друг друга применяются две разновидности способа вспомогательных секущих сфер. Если оси поверхностей пересекаются, то применяется способ вспомогательных концентрических секущих сфер, то есть сфер, проведенных из одного общего центра. Центром проведения таких сфер является точка пересечения осей вращения заданных поверхностей. Если же оси поверхностей параллельны друг другу или являются скрещивающимися, то применяется способ вспомогательных эксцентрических сфер. В этом случае вспомогательные секущие сферы проводят из разных центров.

Особые  случаи пересечения поверхностей второго порядка.Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени. Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой.В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой.Опуская доказательства, приведем некоторые теоремы и примеры, иллюстрирующие их применение. Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются.Теорема 2.(о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания.Теорема 3. (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.Теорема 4. Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка.

Развертка поверхностей. Свойства разверток. Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой; Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке; Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке; Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке; Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической.

Развертки поверхностей. Приближенные и условные. В качестве примера приближенной развертки наклонного цилиндра при построении приближенных разверток наклонных цилиндрических поверхностей применялся способ аппроксимирующих призм, при котором данную цилиндрическую поверхность заменяют вписанной в нее поверхностью n – гранной призмы. Затем строится развертка призмы с предварительным преобразованием ее ребер в линии уровня. Соединив вершины на развертке плавными кривыми, получаем искомую приближенную развертку боковой поверхности цилиндра.Для неразвертываемых поверхностей строят условные развертки. В отличие от точных и приближенных разверток, условные могут представлять собой фигуры с вырезами (разрывами).В работе рассматривались два способа развертки сферы. В первом случае сфера разбивалась меридианами на n – частей (лепестков), а во втором – параллелями на n – поясов. Аналогично строится условная развертка любой другой поверхности вращения.Построение разверток является важным технологическим этапом на производствах, связанных с листовыми материалами, таких как легкая, нефтехимическая, газовая отрасли промышленности, судостроение, авиастроение и т.д. Развертки изделий строятся, как правило, на стадии их проектирования.

Метод триангуляции. Общим методом построения разверток криволинейных поверхностей является метод триангуляции, при котором поверхность аппроксимируется (заменяется) вписанной или описанной многогранной поверхностью, грани которой – треугольники, а затем строится развертка многогранной поверхности, которая будет приближенной или условной разверткой криволинейной поверхности.

 Этот  метод применяется при построении  развертки конической поверхности,  которая аппроксимируется вписанной  (реже описанной) пирамидальной  поверхностью. Построение развертки  конуса сводится к построению  развертки пирамиды, у которой  боковые грани являются треугольниками.

Прямая  и плоскость, касательная  к поверхности. Нормаль  к поверхности.Касательной к поверхности в некоторой ее точке называют прямую, касательную к какой-либо кривой на поверхности, проходящей через данную точку. Очевидно, в данной точке М поверхности Θ можно провести бесчисленное множество касательных прямых tⁱ. Множество касательных tⁱ, проведенных к поверхности в некоторой ее точке М, принадлежит плоскости S, если точка М является регулярной точкой поверхности. Если точка М будет особой точкой поверхности Θ, то множество касательных tⁱ образует поверхность конуса в этой точке. Касательной плоскостью к поверхности ее в регулярной точке называют плоскость, содержащую множество касательных, проведенных к всевозможным кривым поверхности, проходящим через эту точку. С понятием касательной плоскости тесно связано понятие  нормали к поверхности. 
Нормалью h поверхности Θ в некоторой ее точке М называют  прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную касательной плоскости, построенной в этой точке. Из этого определения непосредственно следует способ построения нормали. В особой точке поверхности положения нормали неопределенно лежит. 
Касательная плоскость может пересекать поверхность по действительной или мнимой кривой. Например, на рис. 2 показана касательная плоскость S в точке М, принадлежащая горлу однополостного гиперболоида. Она пересекает поверхность по двум прямым l¹ и l².

Графические алгоритмы построения касательных  плоскостей и нормали. 
Для построения касательной плоскости и нормали в заданной точке М необходимо:  на поверхности взять две линии, проходящие через точку М;провести касательные в точке М к выбранным линиям; две пересекающиеся касательные определяют касательную плоскость; провести перпендикуляр к касательной плоскости в точке М.

Аксонометрические проекции. Прямоугольные  и косоугольные аксонометрические  поверхности.Аксонометрические изображения широко применяются благодаря хорошей наглядности и простоте построений.Слово «аксонометрия» в переводе с греческого означает измерение по осям. Аксонометрический метод может сочетаться и с параллельным, и с центральным проецированием при условии, что предмет проецируется вместе с координатной системой.Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к некоторой системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость вместе с координатной системой. В зависимости от направления проектирующих лучей аксонометрические проекции разделяются на: прямоугольные или ортогональные (проектирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости П') и косоугольные (проектирующие лучи наклонены к аксонометрической плоскости). 
В зависимости от наклона осей координат к аксонометрической плоскости , а следовательно, от степени уменьшения размеров аксонометрических проекций отрезков, имеющих направление осей координат  - все аксонометрические проекции делятся на три основных вида: 
1) изометрические, т.е. одинакового измерения (оси z', х' и у' наклонены одинаково; следовательно, уменьшение размеров по направлению всех трех осей одинаковое); 
2) диметрические, т. е. двойного измерения (две оси координат имеют один и тот же наклон, а третья - другой; следовательно, уменьшение размеров по этим двум осям будет одно и то же, а по третьей оси - другое); 
3) триметрические, т.е. тройного измерения (все оси имеют разный наклон; следовательно, уменьшение размеров по направлению всех трех осей разное). 
В машиностроительном черчении из прямоугольных аксонометрических проекций чаще всего применяют изометрическую и диметриче-скую, а из косоугольных - диметрическую, которую иначе называют фронтальной диметрической проекцией.

Плоскости общего положения. Особые линии плоскости.f - фронталь плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₂; w - профильная прямая плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₃. h - горизонталь плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₁; Прямая, принадлежащая плоскости и к горизонтали, фронтали или профильной прямой, называется линией наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций П₁, П₂ или П₃. Линию наибольшего наклона к плоскости проекций П₁ называют линией наибольшего ската. Прямые уровня и линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций называют главными линиями плоскости.

Построение  взаимно параллельных плоскостей. На  рис. 184 изображены две параллельные  между собой плоскости – одна га них задана треугольником  ЛВС, другая -- параллельными  прямыми DE  и FG.

Чем же устанавливается параллельность этих плоскостей? Тем, что в плоскости,

заданной  прямыми DE и FG, оказалось возможным  провести две пересекающиеся прямые KN и КМ, соответственно параллельные пересекающимся прямым АС  и

ВС другой плоскости.Конечно,  можно  было  бы попытаться  найти точку пересечения  хотя  бы прямой   DE  с   плоскостью   треугольника   ABC.  Неудача   подтвердила  бы параллельность плоскостей.

Построение  взаимно перпендикулярных плоскостей. Пересекающиеся плоскости могут быть взаимно перпендикулярными. Если плоскость проходит через прямую линию, перпендикулярную к другой плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, плоскость , перпендикулярную данной плоскости, можно построить: либо как плоскость, проходящую через прямую, перпендикулярную плоскости; либо как плоскость, перпендикулярную одной из прямых, принадлежащих плоскости . В обоих случаях задача имеет бесчисленное множество решений, если на плоскость не наложено каких-либо дополнительных условий.

Построение  прямой, перпендикулярной плоскости. Прямая, которая пересекает плоскость, может быть расположена к ней под прямым углом. Известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости. В качестве двух пересекающих прямых, принадлежащих плоскости, удобно использовать главные линии плоскости: горизонталь и фронталь. На основании теоремы о проецировании прямого угла необходимо горизонтальную проекцию перпендикуляра к плоскости провести перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальную проекцию перпендикуляра провести перпендикулярно фронтальной проекции фронтали. Используя это свойство прямых, перпендикулярных плоскости, можно решать как метрические, так и позиционные задачи. Например, задачи по определению расстояния от точки до плоскости, определению углов наклона прямой к заданной плоскости и т. д.

Пересечение двух плоскостей общего положения.теперь рассмотрим пример пересечения двух плоскостей общего положения. Для построения линии пересечения двух плоскостей a и b необходимо найти две точки, N и M каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Для нахождения точек N и M можно воспользоваться следующим алгоритмом:Взять две дополнительные плоскости частного положения 1ЧП и 2ЧП; Определить линии пересечения плоскостей частного положения 1ЧП и 2ЧП с плоскостями общего положения a и b с помощью метода, приведенного в предыдущем пункте; Определить точки N и M пересечения полученных линий.