Инвариантные свойства ортогонального проецирования

Пространственные  кривые. Образование  и построение винтовой линии.

В отличие  о плоских кривых, пространственные кривые (линии двоякой кривизны) не лежат всеми своими точками на одной плоскости.

Общие свойства пространственной кривой, ее проекции связаны со свойствами проецирования  и справедливы для проекций плоских  кривых:

 а)  несобственная точка кривой проецируется  в несобственную точку ее проекции;

 б)  касательная кривой проецируется в касательную к ее проекции;

 в)  порядок проекции алгебраической  кривой равен порядку самой  кривой.

В частных  случаях проекция может распадаться  и иметь меньший, чем у кривой, порядок. Например, кривая второго порядка, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется в «двойную» прямую.

Цилиндрическая  винтовая линия представляет собой  траекторию точки, совершающей равномерное  движение вдоль некоторой прямой, которая в свою очередь равномерно вращается вокруг параллельной ее оси. Образование винтовой линии. Рассмотрим рисунок 113а на нем точка М двигается равномерно по некоторой окружности, которая представляет собой сечение круглого цилиндра плоскостью Р. Здесь эта плоскость перпендикулярна его оси.   

Допустим, что и сама окружность движется равномерно вверх или вниз по поверхности цилиндра. При этом плоскость Р, которая содержит окружность, будет оставаться всё время параллельной самой себе. Пять различных положений плоскости, которая содержит движущуюся точку, показаны на рисунке 113 б.   

Вследствие  этих двух равномерных движений данная точка М пройдет некоторую пространственную кривую М1М2М3М4М5. На рисунке 113в показана эта линия, которая располагается на поверхности цилиндра и носит название цилиндрической винтовой линии. Она не может быть совмещена с плоскостью. На рисунке 113 г показано наглядное представление о винтовой линии, которое дает пружина.

Способы задания поверхностей. Способы образования.

Поверхность может быть задана аналитически, графически. Графических

способов  задания поверхности три: очерк, каркас, определитель

Познакомимся  с графическими способами задания  поверхности.

Очерк поверхности при ортогональном проецировании – это границы

проекций  поверхности или следы проецирующей поверхности, огибающей

заданную  поверхность, на плоскостях проекций. Каркас поверхности – это множество точек или линий формирующих поверхность. Точечный каркас поверхности – множество точек принадлежащих поверхности. Линейчатый каркас поверхности – множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит одна линия

каркаса. Определитель поверхности – это совокупность геометрических

элементов определяющих поверхность и закономерность описывающая их

движение  в пространстве. Здесь в качестве образующей взята прямая 1. Закон перемещения образующей задан направляющей а и прямой b. При этом имеется в виду, что образующая 1 скользит по направляющей а, все время оставаясь параллельной прямой b. Такой способ образования поверхностей называют кинематическим. С его помощью можно образовывать и задавать на чертеже различные поверхности. В частности, на рис.3.1 изображен самый общий случай цилиндрической поверхности. Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже является задание поверхности множеством принадлежащих ей точек или линий. При этом точки и линии выбирают так, чтобы они давали возможность с достаточной степенью точности определять форму поверхности и решать на ней различные задачи. Множество точек или линий, определяющих поверхность, называют ее каркасом. В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями, каркасы подразделяют на точечные и линейные.

Образование цилиндрических поверхностей. Сечение цилиндра плоскостью.

В общем  случае цилиндрическая поверхность  формируется при

перемещении прямолинейной образующей L по криволинейной  направляющей

m. Определитель  цилиндрической поверхности Ф  (L, к)(A).

На рисунке 73 представлена цилиндрическая поверхность  вращения.

Определитель  этой поверхности Ф (L, к)(A) или Ф (L, i)(Вращение). При сечении цилиндра плоскостью можно получить различные фигуры сечения: 
Прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси вращения; Круг, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения. Такое сечение называется нормальным сечением; Эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси вращения.

Образование конической поверхности. Конические сечения. В общем случае коническая поверхность формируется при перемещении прямолинейной образующей L по криволинейной направляющей m и проходит в каждом положении через одну точку S, которую называют вершиной. На рисунке 75 представлена коническая поверхность вращения. Коническое сече́ние или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса. Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом. Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение. В невырожденном случае, если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс, если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу, если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу.

    Образование и изображение  поверхностей вращения. Параллели. Меридианы. Сечения их плоскостью. Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i. Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i. Алгоритмическая часть включает две операции:На образующей m выделяют ряд точек A, B, C, …F;Каждую точку вращают вокруг оси i. Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей (рис.8.5), плоскости которых расположены перпендикулярно оси  i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства: Плоскость  перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели. Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам. Сечение – например конус.

Образование и изображение  винтовой поверхности. Прямой и наклонный геликоид.

интовые поверхности образуются винтовым движением некоторой лининии образующей.Под винтовым движением понимается совокупность двух движений:поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси. При этом поступательное и угловое перемещение находятся в определенной зависимости ∆h=k∆v, где ∆h – линейное перемещение за время ∆t, ∆v – угловое перемещение за то же время, k – коэффициент пропорциональности. Если  k=Const, то шаг поверхности постоянный. Геометрическая часть определителя винтовой поверхности ничем не отличается от поверхности вращения и состоит из двух линий: образующей m и оси i. Алгоритмическая часть:1. На образующей m выделяют ряд точек А, В, С, …2. Строят винтовые линии заданного шага и направления, по которым перемещаются заданные точки. Винтовые поверхности являются частным случаем поверхности коноида. Криволинейной направляющей к является винтовая линия, прямолинейной направляющей n является ось вращения винтовой линии. Плоскостью

параллелизма a является одна из плоскостей проекций.

Винтовые  поверхности называют – прямой геликоид и наклонный

геликоид. Прямой геликоид Поверхность прямого геликоида формируется при движении

прямолинейной образующей L по цилиндрической винтовой линии к

(криволинейная  направляющая) и прямолинейной направляющей n (ось

цилиндрической  винтовой линии). В каждом своем положении  образующая L

пересекает  ось винтовой линии под прямым углом. Плоскостью параллелизма

прямого геликоида представленного на рис. 80 является горизонтальная

плоскость проекций П1. Наклонный геликоид. Поверхность наклонного геликоида формируется при движении прямолинейной образующей L по конической винтовой линии к (криволинейная направляющей) и прямолинейной направляющей n (ось

конической  винтовой линии). Образующая в каждом своем положении

пересекает  ось i под постоянным углом w, то есть образующая наклонного геликоида L параллельна образующим направляющего конуса с углом при

вершине 2w.

Образование и изображение  линейчатой поверхности. Основные определения. Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Пусть даны три пространственные кривые а, b, с. Возьмем на кривой а произвольную точку М, примем ее за вершину конической поверхности a, а за направляющую этой поверхности примем дугу кривой c. Если N – точка пересечения дуги кривой b с поверхностью a, то прямая МN пересечет дугу кривой с в точке L. Прямая МN и кривая с принадлежат одной конической поверхности, поэтому МN с = L, МNL – образующая поверхности q, заданной тремя кривыми. Описанным способом можно построить любое число прямолинейных образующих, которые выделят в пространстве одну единственную линейчатую поверхность. Движение прямой – образующей по трем направляющим, не единственный способ образования линейчатой поверхности. При образовании линейчатой поверхности может быть задана одна или две направляющие. Дополнительные условия движения образующей прямой должны быть даны в законе движения образующей. Линейчатая поверхность в дифференциальной геометрии - поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие,- направляющей кривой.

Образование изображение торовых  поверхностей. Сечение  их плоскостью.При вращении окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости образующей окружности, образуются торовые поверхности. Произвольная прямая пересекает тор в четырех точках, следовательно, это поверхность четвертого порядка.

Образование линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма. Цилиндр, коноид, косая  плоскость.

    Поверхность с плоскостью параллелизма представляет собой множество прямых линий  l (образующих), параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n (рис. 8.13).

Поверхность цилиндроида (рис. 77) формируется при  движении

прямолинейной образующей L по двум криволинейным  направляющим К и m.

Образующая L в каждом своем положении параллельна горизонтально-

проецирующей  плоскости параллелизма a. Поверхность  коноида (рис. 78) формируется при  движении прямолинейной образующей L по двум направляющим, одна из которых  прямая линия m, другая кривая линия  К. Образующая L в каждом своем положении параллельна горизонтально-проецирующей плоскости параллелизма a.