Математичні моделі й методи обгрунтування управлінських рішень, сфери їх використання в управлінській діяльності”

    Для кращого розуміння сутності економічних  моделей, я зроблю деталізований  огляд основних серед них з  наведенням конкретних прикладів та малюнків.

    Як  вже зазначалось вище, модель задачі прийняття рішень зводиться до знаходження оптимуму. Серед оптимізаційних задач дуже відомими є задачі лінійного програмування. Задачами лінійного програмування являються такі оптимізаційні задачі, в котрих цільова функція і функціональні обмеження – лінійні функції, що приймають будь-які значення з деякої множини значень. Стандартна задача лінійного програмування записується у вигляді: 

                              (I)

    В задачі лінійного програмування  нестрогі функціональні нерівності можна перетворити  в строгі рівності, прибавивши невідомі невід’ємні додаткові  змінні. Звичайно, число невідомих  і число рівнянь в системі може бути різним. Але й в цьому випадку для системи рівнянь відомі можливі варіанти: система може бути несумісною, тобто не мати рішень взагалі; рішення може бути одне, але (!) це єдине рішення може виявитися неприпустимим з-за наявності від’ємних компонент в рішенні; рішень може бути нескінченно багато. Взагалі для єдиності рішення задачі лінійного програмування не вимагається рівності числа змінних та числа обмежень. Для задач лінійного програмування розроблені багаточисельні ефективні методи вирішення і відповідне математичне забезпечення для різноманітних ситуацій [8, с.22].

• Приклад.

Невелика  сімейна фірма виробляє два широкопопулярних безалкогольних напої – “Pink Fuzz” та “Mint Pop”. Фірма може продати всю продукцію, котра буде вироблена, однак обсяг виробництва обмежений кількістю основного інгридієнту та виробничою потужністю обладнання. Для виробництва 1 л “Pink Fizz” потрібно 0,02 години роботи обладнання, а для виробництва  1 л “Mint Pop” – 0,04 години. Витрати спеціального інгридієнту складають 0,01 і 0,04 кг на 1 л “Pink Fizz” і “Mint Pop” відповідно. Щоденно в розпорядженні фірми мається 24 години часу роботи обладнання та 16 кг спеціального інгридієнту. Доход фірми складає 0,10 у.о. за 1 л “Pink Fizz” і 0,30 у.о. за 1 л “Mint Pop”. Скільки продукції кожного виду слід виробляти щоденно, якщо мета фірми – максимізація щоденного доходу?

Рішення.

Крок 1. Визначення змінних. В рамках заданих обмежень фірма повинна прийняти рішення про те, яку кількість кожного виду напоїв слід випускати. Нехай р – число літрів “Pink Fizz”, що виробляється за день. Нехай m – число літрів “Mint Pop”, що виробляється за день.

Крок 2. Визначення цілі та обмежень. Ціль полянає в максимізації щоденного доходу. Нехай Р – щоденний доход, у.о. Він максимізується в рамках обмежень на кількість годин роботи обдаднанняі наявності спеціального інгридієнту.

Крок 3. Виразимо ціль через змінні:

                              Р = 0,10 р + 0,30 m (у.о. в день).

Це є  цільова функція задачі – кількісне  співвідношення, що підлягає оптимізації.

Крок 4. Виразимо обмеження через змінні. Існують такі обмеження на виробничий процес:

А)  Час  роботи обладнання. Виробництво р  літрів “Pink Fizz” і m літрів “Mint Pop” потребує (0,02 р + 0,04 m) годин щоденно. Максимальний час роботи обладнання складає 24 год в день. Таким чином:                  0,01 р + 0,04 m 24 год/день   

Б)  Спеціальний  інгридієнт. Виробництво р літрів “Pink Fizz” і m літрів “Mint Pop” потребує (0,01 р + 0,04 m) 16 кг/день.

Інших обмежень не має, але розумно передбачити, що фірма не може виробляти напої у від’ємних кількостях , тому:

                              р 0, m _0.

_{Кінцеве формулювання задачі лінійного програмування  має наступний  вигляд. Максимізувати:}

                        Р = 0,10 р + 0,30 m (у.о. в день).

при обмеженнях:

час роботи обладнання: 0,01 р + 0,04 m 24 год/день

спеціальний інгридієнт:  0,01 р + 0,04 m 16 кг/день.

   р, m _{0.  (3, с.402).} 

    Різновидом  задач лінійного програмування  є транспортні задачі. Нехай потрібно перевезти деяку кількість одиниць однорідного товару з різних складів в декілька магазинів. Приймемо слідуючі позначення: k – число складів, n – число магазинів, а_і – кількість товару на і-ому складі, b_j - кількість товару, необхідного j-ому магазину, x_ij  - кількість одиниць товару, що перевозиться з і-го складу в j-ий магазин. Передбачається, що a₁ + … + a_k = b₁ + …b_n і що відомі вартості c_ij перевезення одиниці товару з і-го складу до j-го магазину (вважається, що загальна вартість перевезення пропорційна загальному обсягу перевезення c_ijx_ij  при перевезенні з і-го складу до j-го магазину). Потрібно знайти такі обсяги перевезень, щоб F(x) = (c₁₁x₁₁ + … + c_1nx_1n) + (c_i1x_i1 + … + c_inx_in) +

+ (c_k1x_k1 + … + c_knx_kn) -> min  при обмеженнях:

                      

                              (II).

Для нас важливим є те, що всі невідомі змінні входять  до цільової функції, а також в  обмеження в першому ступені  і являються неперервно знінюваними  величинами. Рівності n=k не вимагається.

    Для розв’язку задач лінійного програмування  використовується декілька методів, серед яких найбільш розповсюдженими є симплекс-метод (складається симплекс-таблиця, в якій за допомогою числа ітерацій методом Гауса-Жордана знаходиться оптимальне значення цільової функції) та графічний метод.

    На  практиці в сферах фінансів, маркетингу, інвестування та інших дуже часто виникає проблема раціонального розподілу якихось ресурсів (капіталовкладень, товару тощо). Щоб прийняти вірне рішення щодо оптимального розподілу ресурсів застосовується математична модель динамічного програмування. Динамічне програмування використовується для дослідження багатоетапних процесів. Стан системи, якою керують, характеризується певним набором параметрів (фазовими координатами). Процес переміщення в фазовому просторі розподіляють на ряд послідовних етапів і здійснюють послідовну оптимізацію кожного з них, починаючи з останнього. На кожному етапі знаходять умовно оптимальне управління при всеможливих передбаченнях про результати попереднього кроку. Коли процес доходить до вихідного стану, знову проходять всі етапи, але вже з множини умовних оптимальних управлінь обирається одне найкраще [8, с.32]. В простому випадку задача динамічного програмування може вирішуватися наступним методом.

    Нехай є n функцій з невід’ємними значеннями f₁(x₁), x₁ d₁,..., f_n(x_n), x_n d_n, де d₁,…,d_n – області визначення змінних. Потрібно знайти максимум (або мінімум) F(x₁,…,x_n)=f₁(x₁) + … + f_n(x_n) при деяких обмеженнях на змінні x₁,…,x_n. В найпростішому випадку обмеження одне ( не враховуючи природньої вимоги невід’ємності змінних): x₁+x₂+…+x_n=A. Схема дій буде наступною: знаходимо F₁₂(A)=max[f₁(x)+f₂(A-x)], далі F₁₂₃(A)=max[F₁₂(x)+f₃(A-x)] і т.ін., а в кінці кінців – max F(x₁,…,x_n)=F_12…n(A)=max[F_12…n-1(x)+f_n(A-x)].

• Приклад.

Нехай фірма має три торговельні точки, якусь кількість умовних одиниць капіталу і знає для кожної точки залежність прибутку в ній від обсягу вкладення певного капіталу в цю точку. 

(Див. таблицю  1). 

Таблиця 1:

Вихідні дані прикладу.

 

 

Як розпорядитися  наявним капіталом так, щоб прибуток був максимальним ? 

Звичайно, можна переглянути всі можливі комбінації розподілу капіталу, скажімо при чотирьох одиницях капіталу:

(4,0,0), (0,4,0), (0,0,4);   (3,1,0), (3,0,1);    (2,2,0), (2,0,2), (2,1,1) і  т.ін.

Але якщо задана велика кількість змінних?... Для  вирішення цієї задачі можна використовувати динамічне програмування. Введемо наступні позначення:

    F₁(x), f₂(x), f₃(x) – функції прибутку в залежності від капіталовкладень, тобто стовпці 2-4 (див. таб.1), F₁₂(A) – оптимальний розподіл, коли А одиниць капіталу вкладується в першу і лругу точки разом, F₁₂₃(A) – оптимальний розподіл капіталу величини А, що вкладається у всі точки разом.

    Наприклад,для  визначення F₁₂(2) треба знайти f₁(0)+f₂(2)=0,41, f₁(1)+f₂(1)=0,53, f₁(2)+f₂(0)=0,45 і обрати з них максимальну, тобто F₁₂(2)=0,53. Взагалі F₁₂(2)=max[f₁(x)+f₂(A-x)]. Обчислюємо F₁₂(0), F₁₂(1), F₁₂(2),…F₁₂(9), котрі заносимо в таблицю 2 (див. таб.2).

    Для А=4 можливі комбінації (4, 0), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (0, 4), котрі дають відповідно загальний прибуток: 0,78; 0,90; 0,86; 0,83; 0,65. Більш детально отримання цих величин показано нижче.

    Таблиця 2:

    Розподіл  капіталу між двома торговими  точками.