График статической функции распределения

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 28 Ноября 2014 в 13:14, курсовая работа

Описание работы

Первичные записи статических наблюдений за случайной величиной представлены в виде статического ряда, в котором записаны номера опытов и значений случайной величины, наблюдавшиеся в этих опытах.
Удобным способом получить представление о распределении случайной величины Χ является построение графика статической функции распределения выборки ():

Содержание работы

1 График статической функции распределения……………..………………4
Обработка статических данных…………………………………………..4
Построение функции распределения…………………………………….5
2 Гистограмма наработок между отказами………………………………..…6
3 График функции распределения на вероятностной сетке…………….….9
3.1 Распределение Вейбулла………………………………………………...10
4 Согласование теоретического распределения со статистическим (критерий Пирсона)………………………………………………………………….13
5 Средний и гамма – процентный ресурс машины…………….…………..15
Список использованных источников…………………………………….….17

Файлы: 1 файл

RGRka_po_teorii_nadezhnosti.docx

— 146.07 Кб (Скачать файл)

СОДЕРЖАНИЕ

1 График статической  функции распределения……………..………………4

    1. Обработка статических данных…………………………………………..4
    2. Построение функции распределения…………………………………….5

2 Гистограмма наработок между  отказами………………………………..…6

3 График функции распределения  на вероятностной сетке…………….….9

3.1 Распределение Вейбулла………………………………………………...10

4 Согласование теоретического  распределения со статистическим (критерий Пирсона)………………………………………………………………….13

5 Средний и гамма – процентный  ресурс машины…………….…………..15

Список использованных источников…………………………………….….17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ГРАФИК СТАТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

    1. Обработка статических данных

Первичные записи статических наблюдений за случайной величиной представлены в виде статического ряда, в котором записаны номера опытов и значений случайной величины, наблюдавшиеся в этих опытах.

Удобным способом получить представление о распределении случайной величины Χ является построение графика статической функции распределения выборки ():

 

где g – число опытов, в которых случайная величина X принимала значение меньше x; n – общее число произведенных опытов.

Статистический ряд перестроен так, чтобы полученные числовые значения случайной величины располагались в возрастающем порядке (вариационный ряд).

Для возрастающего ряда эмпирическая функция распределения :

 

Таблица 1.1 – Вариативный ряд наработки до отказа, тыс.км

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тыс.км

666

729

734

761

836

953

993

998

1005

1050

Fi(t)

0,025

0,05

0,075

0,1

0,125

0,15

0,175

0,2

0,225

0,25

                     

i

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Тыс.км

1119

1214

1232

1247

1274

1410

1424

1430

1436

1448

Fi(t)

0,275

0,3

0,325

0,35

0,375

0,4

0,425

0,45

0,475

0,5

                     

i

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Тыс.км

1470

1575

1676

1689

1704

1745

1869

1895

1925

1940

Fi(t)

0,525

0,55

0,575

0,6

0,625

0,65

0,675

0,7

0,725

0,75

                     

i

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

Тыс.км

2067

2114

2267

2279

2510

2516

2729

2865

3455

3699

Fi(t)

0,775

0,8

0,825

0,85

0,875

0,9

0,925

0,95

0,975

1


1.2Построение функции распределения

По оси абсцисс отложено значение случайной величины пробега l40=3822 часа, а по оси ординат – значения функции распределения, изменяющиеся от нуля до единицы. Этими величинами будет ограничен график.

Коэффициент масштабирования по оси абсцисс , мм/час:

3)

где L – длина оси абсцисс, L=235 мм; – максимальное значение наработки

 

Коэффициент масштабирования по оси ординат :

 

где – длина оси ординат, ; – максимальное значение функции распределения, .

 

Исходя из формулы (3) длина участка на оси абсцисс , мм:

 

где – текущее значение наработки, тыс.км;

Аналогично для оси:

 

где – текущее значение функции распределения.

    

 

 

 

 

 

 

  Таблица 1.2 – данные для построения графика

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тыс.км

666

729

734

761

836

953

993

998

1005

1050

Fi(l)

0,025

0,05

0,075

0,1

0,125

0,15

0,175

0,2

0,225

0,25

S(Fi)

2,925

5,85

8,775

11,7

14,625

17,55

20,475

23,4

26,325

29,25

S(li)

9,7

12,9

14,25

14,8

15,4

15,6

21,3

26,5

30,5

31,25


 

i

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Тыс.км

1119

1214

1232

1247

1274

1410

1424

1430

1436

1448

Fi(l)

0,275

0,3

0,325

0,35

0,375

0,4

0,425

0,45

0,475

0,5

S(Fi)

32,175

35,1

38,025

40,95

43,875

46,8

49,725

52,65

55,575

58,5

S(li)

37,4

40,15

43,3

46,2

46,4

46,9

50,6

54

55,5

64,4

                     

i

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Тыс.км

1470

1575

1676

1689

1704

1745

1869

1704

1925

1940

Fi(l)

0,525

0,55

0,575

0,6

0,625

0,65

0,675

0,7

0,725

0,75

S(Fi)

61,425

64,35

67,275

70,2

73,125

76,05

78,975

81,9

84,825

87,75

S(li)

65,1

67

67,6

72,4

81,8

86,8

93,5

99,8

100,6

101,4

                     

i

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

Тыс.км

2067

2114

2267

2279

2510

2516

2729

2865

3455

3699

Fi(l)

0,775

0,8

0,825

0,85

0,875

0,9

0,925

0,95

0,975

1

S(Fi)

90,675

93,6

96,525

99,45

102,37

105,3

108,22

111,15

114,075

117

S(li)

105,3

105,7

105,8

118,25

123

125,15

126,8

133,4

136,1

198


 

 

График представлен на рисунке 1.

 

 

 

2 ГИСТОГРАММА НАРАБОТОК МЕЖДУ  ОТКАЗАМИ

Гистограмма изображает статическую плотность распределения. Заданные значения наработки разбиты на разряды. Определен интервал зоны рассеяния, как разность между наибольшим и наименьшим значением наработок, а затем данная зона разделена на 6 разрядов.

 

 

Таблица 2.1 – Статистический ряд наработки между отказами машин

Номер разряда, i

Разряд

Длина разряда li

Частота (число) наблюдений в разряде gi

Частость

=gi/n

Высота разряда

f*(ti) 10-3

от αi

до βi

1

0

500

500

7

0.175

0,35

2

500

1000

500

10

0.25

0,5

3

1000

1500

500

8

0.2

0,4

4

1500

2000

500

6

015

0,3

5

2000

2500

500

6

0.15

0,3

6

2500

4000

1500

3

0,075

0,05




 

Высота разряда гистограммы

 

Общее число наблюдения n:

 

Сумма частостей

 

По оси ординат отложено значение, а по оси абсцисс – значения наработки по разрядам. Масштабы по осям взяты аналогично масштабам функции распределения.

Гистограмма представлена на рисунке 2.

Рисунок.2. Гистограмма наработки между отказами

Вывод: На основании гистограммы наработки между отказами можно установить два закона распределения :

1.Логарифмически нормальное  распределение;

2.Закон распределения  Вейбулла.

 

3 ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ВЕРОЯТНОСТНОЙ СЕТКЕ

При небольшом числе опытов для определения закона распределения, его параметров, значений гамма - процентного ресурса и вероятности безотказной работы удобно пользоваться вероятностными шкалами.

На сетке, построенной на этих шкалах (так называемой вероятностной бумаге), график функции распределения является прямой линией. На сетку нанесены точки, соответствующие экспериментальным значениям случайной величины t и значениям экспериментальной функции распределения F(t). Если эти точки располагаются на вероятностной бумаге близко к прямой, то это свидетельствует о согласии опытных данных с тем законом распределения, для которого построена вероятностная бумага.

3.1 Логарифмически нормальный закон распределения

Порядок построения вероятностной сетки для логарифмически нормального    закона распределения:

- По оси х в масштабе откладываются значения десятичного логарифма случайной величины (наработки) lgli, ч.

- Коэффициент масштабирования μl , (мм):

,                                                       (10)

где Ll – заданное расстояние на графике в мм (Ll = 250 мм),

                                         

                                            (11)

 

 

- Произвольное расстояние Sl , (мм) по оси x рассчитывается по формуле:

,                                             (12)

где lgti – десятичный логарифм текущего значения наработки.

- Коэффициент масштабирования, расстояния SF такие же, как при построении вероятностной сетки для нормального закона распределения.

Таблица 3.1  – Вероятностная шкала длиной 150 мм для логарифмически нормального закона распределения [2]

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тыс.км

249

284

300

510

601

772

888

903

1039

1238

Fi(l)

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

S Fi(l)

-39,9

-31,1

-25,75

-20,4

-16,55

-21,7

-9,42

-6,15

-3,5

0

lg (li)

2,49

2,84

3,0

5,1

6,01

7,72

8,88

9,03

1,039

1,238

S lg(li)

37,5

45,2

47,7

71,3

77,9

93,2

94,9

95,6

0

8,15

                     

i

11

12

13

14

15

16

Тыс.км

1289

1393

1798

2026

2407

2566

Fi(l)

0,55

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

S Fi(l)

3,5

6,15

12,7

20,4

31,1

39,9

lg (li)

1,289

1,393

1,798

2,026

2,407

2,566

S lg(li)

11,6

14,5

25,7

30,3

36,2

41


 

График логарифмически нормального распределения представлен на рисунке 3 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3. График логарифмически нормального распределения

3.2 Распределение Вейбулла

 

Функция распределения случайной величины:

,                                            (13)

видно, что данная функция – уравнение кривой.

Логарифмируем эту функцию:

Логарифмируем второй раз и в результате получаем линейную зависимость:

                                     (14)

Порядок построения вероятностной сетки для закона распределения Вейбула:

- По оси х в масштабе откладываются значения десятичного логарифма случайной величины (наработки) lgti, тыс.км.. Коэффициент масштабирования, расстояния St такие же, как при построении вероятностной сетки для логарифмически нормального закона распределения.

- По оси y (Fi(t)) в масштабе откладываются значения выражения

- Коэффициент масштабирования μF , (мм):

,                                              (15)

где LF – заданное расстояние на графике в мм (LF = 150 мм),

           (16)

максимальное значение уравнения при F(t) = 1≈ 0,999:

минимальное значение уравнения при F(t) = 0 ≈ 0,001:

- Произвольное расстояние SF , (мм) по оси y рассчитывается по формуле:

,                                           (17)

где Fi(l) - текущее значение функции распределения.

- Условный ноль для оси у (Fi(l)):

 при F(l) = 0,632.

Для построения графика функции распределения Вейбулла необходимо вы брать минимум 14  значений результатов опытов, выберем 16.

Таблица 3.2  – Вероятностная шкала длиной 150 мм для закона распределения Вейбулла.

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тыс.км

249

284

300

510

601

772

888

903

1039

1238

Fi(l)

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

lg li

2,49

2,84

3,0

5,1

6,01

7,72

8,88

9,03

1,039

1,238

S(li)

37,5

45,2

47,7

71,3

77,9

93,2

94,9

95,6

100

108,15

S(Fi)

-50,4

-38,2

-31,8

-25,45

-21,47

-17,5

-14,45

-11,4

-8,8

-6,2

 

 

 

                 

i

11

12

13

14

15

16

Тыс.км

1289

1393

1798

2026

2407

2566

Fi(l)

0,55

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

lg li

1,289

1,393

1,798

2,026

2,407

2,566

S(li)

111,6

114,5

125,7

130,3

136,2

141

S(Fi)

-3,95

-1,7

3,1

8,3

14,15

18,6

                     

Информация о работе График статической функции распределения