Аналитический расчет координат места судна при избыточном числе измерений

A=        ,то                 A^T= 

Формальная запись решения системы (19) при обращаемой матрице (А^TA) такова:

                                                                Х=(A^TA)^-1А^ТL

Расшифровка записи (20) приводит к формулам Крамера для решения системы. При определении места по трём линиям положения можно написать:

   =                       ;

      =          

   =          

     =            =                          (21) 

   Таким  образом получено правило Крамера, где D-главный определитель системы, а D_Δφ   и D_Δω  - определители для Δφ и Δω   соответственно.

   Контроль  правильности решения получают  подстановкой найденных неизвестных  в так называемое суммарное  уравнение, полученное суммированием  нормальных уравнений.

([aa]+[ab])Δφ+([ab]+[bb])Δω+([al]+[bl])=0                 (22)

Способ решения  нормальных уравнений по правилу  Крамера при n>2 становится трудоёмким и не всегда устойчивым при малых значениях D.

  Другими  способами решения системы нормальных  уравнений являются:

     -способ  последовательного исключения искомых  величин;

     -способ  последовательных приближений (итерации)

Первый из них  применяется главным образом  при неавтоматизированных вычислениях, осуществляемых в ручную или на каркуляторах. Все расчеты выполняются в специальных схемах. Наиболее употребима схема Гаусса-Зейделя, в которой вычисления сводятся к простым однообразным действиям , предусмотрены постоянный контроль правильности вычислений и оценивание точности полученных результатов.

  Способ итерации  легко реализуется на ЭВМ  , к недостатку стоит отнести итерационную процедуру, которая не даёт конечного решения, но быстродействие современных ЭВМ снимает этот вопрос. 

      4. Метод наименьших  квадратов при  неравноточных измерениях.

     До  сих пор при рассмотрении метода наименьших квадратов предполагалось. что измерения были равноточными, т. е. имели равные средние квадратические погрешности (СКП). Если же мы располагаем информацией о точности измерений по каждому параметру, то считаем, что измерения неравноточны, т.е. имеют различные СКП. Различные СКП будут иметь и соответствующие линии положения. В этом случае с вероятностно-статистической точки зрения есть основания больше доверять тому измерению, которое имеет наименьшие погрешности.

      Поэтому естественно считать, что поправки v_i, применяемые для формирования критерия S, должны быть обратно пропорциональны соответствующим СКП измерений, т.е. величинам m_i. Тогда критерий МНК будет рассчитан так:

       (23)

Величина р_i называется весом измерения и характеризует относительную точность измерений, входящих в группу. Таким образом критерий S в соответствии с (23)

  (24)

Исходя из формулы (24) система уравнений поправок для  трёх линий положения будет иметь  вид:

         (25)

После приведения системы (25) к нормальным уравнениям для двух неизвестных ∆φ и ∆ω

     (26)

Более компактно 

После того как система  нормальных уравнений решена, определяются обсервованные координаты, которые рассчитываются по формулам:

   (27) 

где    - оптимальность решения  по методу наименьших квадратов.

5. Оценка точности определения места по методу наименьших квадратов.

Поправки ∆φ и ∆ω, найденные методом наименьших квадратов, характеризуются следующими показателями точности (для неравноточных измерений) 

            (28)

где - СКП измерения с весом, равным единице;

D - главный определитель системы.

  при n › 5 вычисляется апостериорно, т.е. после вычисления поправок ∆φ и ∆ω

           (29)

Близость этой величины к единице является свидетельством соответствии используемых в расчетах СКП навигационных параметров действительным условием, в котором производилась обсервация.

При малом числе  измерений (n<5) оценка m₍₁₎ становится весьма приближенной, поэтому принимается m₍₁₎=1.

Элементы среднего квадратического эллипса погрешностей так же выражаются через коэффициенты нормальных условий и рассчитываются по следующим формулам: 

      (30) 

Если  величина положительная , то a, вычисленный по третьей формуле (30) определяет направление малой оси, если же отрицательная, то угол a определяет направление (относительно меридиана) большой оси эллипса.

Расчет радиальной средней квадратической погрешности места судна производится по формуле: 

Во всех формулах D - главный определитель системы нормальных уравнений. При n < 5 за величину принимается единица.

    Решить  задачу № 1/134, 

 
 

φ_с = 36° 20,0'S λ_с = 129° 30,0'Е

Аналитическое решение

Промежуточные результаты расчета сведем в таблицу: 

Контроль результатов  расчета дает

[раа] + [pab] + [pal] = [pas] =7,821

[pab] + [pbb] + [pbl] = [pbs] =5,026

Результаты  могут отличаться на 0,001 - 0,002 за счет погрешностей округления чисел.

Запишем систему нормальных уравнений с  рассчитанными коэффициентами

4,129∆φ+2,747∆W= -0,945

2,747∆φ+2,906∆W= 0,627

Рассчитаем определители системы уравнений

Д=4,453

Д_∆φ = -4,469

Д_∆ω=5,185

∆φ= Д_∆φ/Д= -1,004-1,0' к S

∆W=Д_∆W/Д= 1,164 1,2' к E

= = 1,4901,5' к E

φ_c  = 36º 20,0' S    λ_с= 129º 30,0' E 

∆φ=        1,0'  к S    ∆λ=          1,5'  к E

φ_o= 36º 21,0' S    λ_o= 129º 31,5' E

Рассчитаем вспомогательную  величину q и параметры эллипса погрешностей

q=5,628 
 
 

0,976

 

Следовательно угол 2Т_а лежит в 3-ей четверти

2Ta=257,6 º;   Та=128,8º 

Графоаналитическое  решение

Промежуточные результаты расчета занесем в  таблицу 

 

    По  параметрам τ и ∆n выполним прокладку линий положения в масштабе 1 см = 1 миля и проверим значения углов θ между линиями положения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Снимем с прокладки  приращения координат в принятом масштабе

∆φ₁₃= -0,8'     ∆W₁₃= -2,0'

∆φ₁₄= -2,2'     ∆W₁₄= 4,1' 

Рассчитаем  вероятнейшие координаты: 
 
 
 

==1,6141,6 ' к E 

φ_c  = 36º 20,0' S    λ_с= 129º 30,0' E 

∆φ=         -1,5'  к S    ∆λ=          1,6'  к E

φ_o=  36º 21,5' S    λ_o= 129º 31,6' E 

    Нанесем на рисунок обсервованную точку по полученным приращениям координат ∆φ и ∆W. Для оценки точности полученного вероятнейшего места все необходимые данные для расчета имеются в приведенной выше таблице.

    Построим  «полигон весов», последовательно складывая  векторы длиной Р_лп, направленные под углами 2τ. Масштаб построения «полигона весов» необходимо выбрать самостоятельно с тем, чтобы рисунок поместился примерно на половину тетрадного листа. В нашем примере можно выбрать масштаб 1 см = 1 единице веса. 
 
 
 
 
 
 
 

    Снятая  с рисунка величина замыкающего  вектора q – 5,7 см = 5,7 ед. веса.

    Построим  биссектрису угла между вектором q и направлением на N. В результате получим направление малой полуоси эллипса погрешностей Т_b. Перпендикулярно Т_b проведем направление большой полуоси Т_а и снимем транспортиром угол между полученным направлением Т_а и N. В нашем примере он равен: Т_а=129°.

Рассчитаем  веса эквивалентных линий положения

P_max=

P_min= 
 
 
 

    Нанесем эллипс погрешностей на рисунок, где выполнена прокладка линий положения. Построим его в принятом масштабе 1 см = 1 миля в месте расположения обсервованной точки, ориентируя направление Т_а относительно N.