Аналитический расчет координат места судна при избыточном числе измерений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

МОРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 имени  адмирала Г.И.Невельского 

КАФЕДРА СУДОВОЖДЕНИЯ 

КУРСОВОЙ  ПРОЕКТ

ТЕМА: АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ КООРДИНАТ МЕСТА СУДНА ПРИ ИЗБЫТОЧНОМ ЧИСЛЕ ИЗМЕРЕНИЙ. 
 
 
 
 

                                                                              Выполнил: студент

                                                                                                 Лицай А. В.

                                                                                    Проверил: преподаватель

                                                                                                Домбинский А. П.   
 
 

Владивосток

2011

1. Составление уравнений линий  положения. Уравнение  поправок.

 

Счислимое место судна определяется координатами φ_с и λ_с. Если выполнены измерения навигационного параметра, то задача будет сводиться к вычислению поправок ∆φ и ∆ω (а затем и ∆λ) для перехода к обсервованному месту О с координатами φ₀ и λ₀. При любом способе обсервации можно воспользоваться азимутальным приемом перехода от счислимого места к обсервованному, сущность которого сводится к определению величины смещения ∆n и направления τ переноса из счислимого места к той линии положения, на которой ищется место судна (рис.1).

 

                       φ

                                             I

                   φ_o                                              O(φ_o,λ_o)

                                τ                                               g

                                           ∆n                                                       Рис. 1

                             τ

                                                                        I

               C(φ_c,λ_c)                     w_o                                     w

Пусть для определения  места судна измерен навигационный  параметр и₀, являющийся функцией координат.

и₀₌ f (φ₀, λ₀)  (1)

Наибольшее изменение  этой функции в данной точке характеризуется  градиентом, величина которого g определяется формулой

g=  (2)

или приближенно

g,  (3) 

где и₀ – измеренный и исправленный поправками навигационный параметр;

      и_с – рассчитанный по счислимым координатам «счислимый» навигационный параметр;

      v – ошибка навигационного параметра и₀, не известная при измерениях, как правило, малая величина.

Как видно из рис.1, линия положения ( I – I), на которой  находится обсервованное место О, определяется уравнением

            (4)

Точку К на линии положения принято называть определяющей точкой. С учетом уравнения (3) из уравнения (4) получаем

            (5)

откуда 

            (6) 

Это уравнение  иногда называют уравнением поправок (ошибок).

Уравнению поправок можно придать и другой вид. Для  этого разложим приращение функции  ∆u=u_o+v-u_c в ряд и, пологая, что счислимое место достаточно близко к обсервованному, ограничимся первыми членами разложения

      (7)

или 

Сравнивая уравнения (7) и (6), получим 

                                 (8)

отсюда

    .        (9)

Выражения (9) дают общий путь нахождения градиентов для  различных функций. Однако иногда проще  находить эти выражения из геометрических соображений.

2. Основы метода наименьших квадратов

  При производстве  измерений, отягощённых погрешностями,  обычно стремятся сделать их  больше, чем необходимо для отыскания  искомых величин.

  Избыточность  измерений обеспечивает контроль  и предохраняет от грубых промахов, даёт возможность получить более  точные результаты и оценить  как их погрешности , так и погрешности отдельных измерений. В то же время из за различных погрешностей избыточные измерения приводят к неодинаковым результатам. Поэтому вместо однозначного решения задачи получается несколько ответов , которые необходимо согласовать между собой.

  Так, для оценки приращения  координат Δφ  и Δλ на плоскости могут быть измерены три навигационных параметра, т.е. n=3. В этой ситуации говорят. Что избыточность равна единице. Система уравнений линий положений будет иметь вид:

      g ₁ cos τ₁^.Δφ+ g ₁ sin τ₁^.Δω = u₀₁-u_c1

      g ₂ cos τ₂^.Δφ+ g ₂ sin τ₂^.Δω = u₀₂-u_c2 (10)

      g ₃ cos τ₃^.Δφ+ g ₃ sin τ₃^.Δω = u₀₃-u_c3

  Из-за наличия погрешностей измерений линии положения образуют фигуру погрешностей – треугольник (рис 2)

  Решение  любых двух уравнений из трёх  даст нам положение вершин  этого треугольника относительно  начала координат (счислимого места). Это означает, что решение любой пары уравнений не обращает в тождество оставшееся уравнение. Такая система не совместна, т.е. решение любой пары несовместно с третьим уравнением. Анализ размеров фигуры погрешностей и её поведение в последовательности измерений дают полезные сведенья о качестве измерительной навигационной информации.

 φ II

 I 

 

 III  

      I

 II III

      C(φ с,λ _с) λ 

  Для того, чтобы получить согласованное решение необходимо ввести дополнительное условия, которые можно получить, если более детально представить систему (10). Необходимо в окрестности фигуры погрешностей выбрать точку(предполагаемое решение), относительно которой и можно было бы сформулировать дополнительное условие.

  Рис.2 дает  представление о фигуре погрешностей при n=3. Отрезки u ^/1 u ^/₂ u ^/₃  называются невязками. В специальной литературе также встречается термин «поправка» или «ошибка линий положения» в зависимости от знака. В такой ситуации именно невязки определяют решение относительно фигуры погрешностей. Множество возможных сочетаний невязок определяет множество решений и задача заключается в подборе наиболее простого и физически интерполируемого условия. если обозначить Δu₁= u_0i- u_ci, то с учетом невязок систему (10) можно записать так:  

 g ₁ cos τ₁^.Δφ+ g ₁ sin τ₁^.Δω-Δu₁ = u₀₁-u_c1

      g ₂ cos τ₂^.Δφ+ g ₂ sin τ₂^.Δω-Δu₂ = u₀₂-u_c2 (11)

      g ₃ cos τ₃^.Δφ+ g ₃ sin τ₃^.Δω-Δu₃= u₀₃-u_c3

  Здесь величины u₁ u₂ u₃ – невязки, выраженные в единицах измерений навигационного параметра, что более удобно для дальнейших выкладок.

  Для согласования системы  (11) с рис.2 необходимо выразить  невязки u_i в линейных единицах т.е. разделить все челены на модули соответствующих градиентов:

      g ₁ cos τ₁^.Δφ+ g ₁ sin τ₁^.Δω-Δn₁ = u₀₁-u_c1

      g ₂ cos τ₂^.Δφ+ g ₂ sin τ₂^.Δω-Δn₂ = u₀₂-u_c2 (12)

      g ₃ cos τ₃^.Δφ+ g ₃ sin τ₃^.Δω-Δn₃= u₀₃-u_c3 

  Избыточная  система уравнений(10) превратилась  в систему (12) с недостаточным  числом уравнений, так как невязки  также неизвестны. Формально наиболее  простое решение такой системы  можно получить, если принять  следующее условие:

S= [u²]= u²₁+ u²₂ +u²₃=min,                  ₍₁₄₎ 

  При увеличении  числа измерений (n>3) возникает более сложная фигура погрешностей с числом вершин , но условие (13) даёт однозначное решение системы уравнений линий положения при любом значении n. Его суть сводится к поиску «центра тяжести» фигуры погрешностей измерений, т.е. к определению некоторого среднего значения координат из множества координат вершины фигуры. Решение системы уравнений называется оптимальным в смысле выполнения условия S=min, т.е. при выполнении критерия минимума суммы квадратов невязок.

  Избыточность  позволяет нам получить информацию о некоторых средних значениях координат,  а поэтому важным является утверждение, что оптимальная точка будет всегда находиться в нутрии фигуры погрешностей, если систематические погрешности δ_i=0. Метод наименьших квадратов является наиболее универсальным средством обработки избыточной навигационной информации. Его основы были разработаны Лежандром и Гауссом с 1795 по 1805 год.

  Различные  модификации метода используются  в настоящее время для решения  многих навигационных задач: комплексирование  навигационной информации, вычисление  коэффициентов девиации и радиодевиации, определение коэффициентов дрейфа, точность счисления и т.п.  

3. Cоставление и решение нормальных уравнений

Обозначим                       g_icosτ_i→a_i

        g_icosτ_i→b_i

         Δu_i→c_i

Тогда система  уравнений (11) запишется следующим образом:

 a ₁^.Δφ+ b ₁^.Δω+l₁ = u₁

      a ₂^.Δφ+ b ₂^.Δω+l₂ = u_2 (15)

      a ₃^.Δφ+ b ₃^.Δω+l₃ = u₃ 

 Для решения  системы (15) воспользуемся критерием S=min и запишем его выражения через левые части уравнений

S= [u²]= u²₁+ u²₂ +u²₃=( a ₁^.Δφ+ b ₁^.Δω+l₁)² +( a ₂^.Δφ+ b ₂^.Δω+l₂)²+( a ₃^.Δφ+ b ₃^.Δω+l₃)²    (16)

Для определения  приращенияΔφ и Δλ, соответствующих минимуму критерия S, используем традиционный метод поиска экстремальных значений функций, взяв частные производные от S по Δφ  и Δω:

   и  .

Тогда

       2a₁(a₁Δφ+b₁Δω+l₁)+ 2a₂(a₂Δφ+b₂Δω+l₂)+2a₃(a₃Δφ+b₃Δω+l₃)=0 ₍₁₇₎

2b₁(a₁Δφ+b₁Δω+l₁)+ 2b₂(a₂Δφ+b₂Δω+l₂)+2b₃(a₃Δφ+b₃Δω+l₃)=0 

Выполнив сложение, получаем систему 2-х нормальных уравнений  в обозначениях Гаусса:                       

             [aa]Δφ+[ab]Δω+[al]=0 ₍₁₈₎

[ab]Δφ+[bb]Δω+[bl]=0

Так как  u_i=a_iΔφ+b_iΔω+l_i, то

[au]=0

[bu]=0

Матрица коэффициентов  системы (18)

Имеем следующие  свойства:

      -коэффициенты  на главной диагонали продолжительны;

      -коэффициенты, расположенные симметрично относительно  главной диагонали, равны. Это  симметричная система.

Универсальная запись нормальных уравнений в матричном  виде выглядит следующим образом                                  (A^TA)ΔX=A^TL

A^T- транспонированная  матрица А т.е., если