Применение среднеарифметического и среднегармонического индексов в региональном анализе товарооборота

Расчет средней арифметической взвешенной:

                                   (5)

Расчет дисперсии:

                                                                     (6)

Расчет среднего квадратического отклонения:

                                   

Расчет коэффициента вариации:

                                     (7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя цена за 1 кг товара предприятий составляет 97 руб., отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 11,07 руб. (или 11,4%), наиболее характерные значения объема кредитных вложений находятся в пределах от 85,93 руб. до 108,07 руб. (диапазон ).

Значение V_σ = 11,4% не превышает 33%, следовательно, вариация средней цены за 1 кг товара в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =97 руб., Мо=96,67 руб., Ме=97 руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение цены за 1 кг товара предприятии (97 руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4.Вычисление средней арифметической  по исходным данным

Для расчета применяется  формула средней арифметической простой:

,                             (8)

Причина расхождения средних  величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти предприятий, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов  и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнение Задания 2

 

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи, оценка тесноты и силы связи.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии  задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая  сущность явления и определены факторный  и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа  данных.

По условию Задания 2 факторным является признак Средняя цена за 1 кг товара (X), результативным – признак Объем продаж (Y).

1. Установление наличия и характера  связи между признаками Средняя цена за 1 кг товара и Объем продаж методом аналитической группировки

Применение метода аналитической  группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения  единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную  таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между  факторным признаком Х – Средняя цена за 1 кг товара и результативным признаком Y – Объем продаж. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7).

Зависимость Средней цены за 1 кг товара предприятий от Объема продаж

Таблица 7

Номер группы	Группы предприятий по Средней цене за 1 кг товара руб. х	Число предприятий fj	Сумма прибыли, руб.
			всего	в среднем на одно предприятие
1	70 – 80	2	121	60,50
2	80 – 90	6	329	54,83
3	90 – 100	10	511	51,10
4	100 – 110	8	373	46,62
5	110 - 120	4	166	41,50
Итого		30	1500	50

Групповые средние  значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 7.

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением Средней цены за 1 кг товара от группы к группе систематически убывает и средняя прибыль по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение тесноты и силы  корреляционной связи с использованием  коэффициента детерминации и  эмпирического корреляционного  отношения

Для измерения тесноты и силы связи  между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные  показатели – эмпирический коэффициент  детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

,                                                               (9)

где  – общая дисперсия признака Y,

        – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,                                                        (10)

Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

                                                               (11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

                                                          (12)

 

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет  по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица  для расчета общей дисперсии

Номер предприятия п/п	Объем продаж, руб.
1	2	3	4	5
1	48	-2	4	2304
2	54	4	16	2916
3	55	5	25	3025
4	58	8	64	3364
5	53	3	9	2809
6	49	-1	1	2401
7	50	0	0	2500
8	50	0	0	2500
9	52	2	4	2704
10	63	13	169	3969
11	52	2	4	2704
12	51	1	1	2601
13	53	3	9	2809
14	52	2	4	2704
15	42	-8	64	1764
16	46	-4	16	2116
17	48	-2	4	2304
18	48	-2	4	2304
19	46	-4	16	2116
20	58	8	64	3364
21	44	-6	36	1936
22	46	-4	16	2116
23	45	-5	25	2025
24	46	-4	16	2116
25	59	9	81	3481
26	57	7	49	3249
27	37	-13	169	1369
28	41	-9	81	1681
29	42	-8	64	1764
30	55	5	25	3025
Итого	1500	0	1040	76040

 

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

      – квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера 

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

,                                                (13)

 

 

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 13 При этом используются  групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

 

 

 

 

Вспомогательная таблица  для расчета межгрупповой дисперсии

Таблица 13

Группы предприятий по средней цене за 1 кг товара руб.	Число предприятий,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
70 – 80	2	60,50	10,50	220,50
80 – 90	6	54,83	4,83	139,97
90 – 100	10	51,10	1,10	12,10
100 – 110	8	46,62	-3,38	91,39
110 - 120	4	41,50	-8,50	289,00
Итого	30			752,96

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

  

^{или 72,4%}

Вывод. 72,4% вариации суммы прибыли предприятий обусловлено вариацией средней цены за 1 кг товара, а 27,6% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                                                                     (14)

Значение  показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14

Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного  отношения  по формуле (14):

 

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между Средней ценой за 1 кг товара и Объемом продаж является тесной.

 

3. Оценка статистической значимости  коэффициента детерминации 

.

Показатели  и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка  выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации  служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле