Условие равновесия жидкости в сечении

Задача 5.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Дано:

h=368 мм. В СИ  h=0,368м.

H=1м.

Р_атм=736 мм рт.ст, в СИ: Р_атм=736*101300/760=98101 Па.

ρ_рт=13600 кг/м³.

-----------------------

Р_абс-? 

Решение.

Условие равновесия жидкости в сечении 1-1 определяется равенством атмосферного давления с левой стороны и суммы давлений столба ртути, столба воды и абсолютного давления в сосуде с правой стороны:

Р_атм=r_рт*g*h+r_воды*g*H+Р_абс,

где g=9,81 м/с² - ускорение свободного падения.

Отсюда  абсолютное давление в сосуде:

Р_абс= Р_атм-r_рт*g*h-r_воды*g*H=

                                  =98101-13600*9,81*0,368-1000*9,81*1=39 194 Па 

Ответ: абсолютное давление в сосуде 39 194 Па.

 

Задача 18.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Дано:

r₁=1150кг/м³,  r₂=1060кг/м³.

D=2,6 м.

Н=4,5 м.

Р_м=0,01 МПа=0,01*10⁶ Па.

-----------------------------------

F₁- ?,  F₂ -?. 

Решение.

   Высота пьезометрической поверхности над уровнем в резервуаре составит

                                         h=h₁+h₂,

где h₁-уровень пьезометрической поверхности для жидкости Ж₁  над уровнем этой жидкости;

           h₂-уровень пьезометрической поверхности для жидкости Ж₂ над уровнем в резервуаре.

h₁=Р_м/(r₁*g)+(H+D/2-H/2)=0,01*10⁶/(1150*9,81)+(4,5+2,6/2-4,5/2)=4,44м

h₂= Р_м/(r₂*g) =0,01*10⁶/(1060*9,81)=0,96 м.

                                       h=4,44+0,96=5,4 м.

   Вертикальная составляющая силы гидростатического давления  на полусферическую крышку, или сила, растягивающая болты, определяется весом жидкости Ж₁ в объёме тела давления.

   Объём тела давления над полусферической крышкой  равен разности объёма цилиндра высотой h, диаметром D и объёма полусферы диаметром D:

V_т.д.=(p*D²/4)*h-(p*D³/6)/2=(3,14*2,6²/4)*5,4-(3,14*2,6³/6)/2=24,1 м³.

   Сила, растягивающая болты, направлена вверх, так как тело давления образовано воздухом, и равна:               

F₁=r₂*g*V_т.д.=1060*9,81*24,1= 250 606 Н.

   Горизонтальная составляющая силы давления определяется произведением площади вертикальной проекции стенки на гидростатическое давление в центре тяжести.

   Центр тяжести вертикальной проекции находится на высоте от основания

(Н+D/2)/2=(4,5+2,6/2)/2=2,9м.

 Гидростатическое  давление в этой точке определяется, как сумма гидростатического  давления жидкостей Ж₁ и Ж₂.

Р=Р₁+Р₂;

Р₁=r₁*g*(h₁+Н/2-2,9);

Р₂=r₂*g*(h₂+Н+D/2-2,9);

Р= r₁*g*(h₁+Н/2-2,9)+r₂*g*(h₂+Н+D/2-2,9) =

=1150*9,81*(4,44+4,5/2-2,9)+1060*9,81*(0,96+4,5+2,6/2-2,9)=82895 Па.

   Площадь вертикальной проекции криволинейной стенки определяется площадью прямоугольника высотой   (H+D/2) и шириной равной D:

                         S_в=(H+D/2)*D=(4,5+2,6/2)*2,6=15,08 м².

  Сила, разрывающая цистерну по сечению 1-1:

 F₂=P*S_в=82895*15,08=1 250 057 Н. 

Ответ:  F₁=250 606 H,  F₂=1 250 057 Н. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 21.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Дано:

Н=2м.

D=1м.

n=102мин^-1.

------------------------

V м³/с -?

Сила давления на дно F₁- ?

Горизонтальная  сила F₂ - ? 
 

Решение.

Исходный объём  жидкости :

                        V₀=p*D²*(3H/4)/4=3,14*1²*(3*2/4)/4=1,18  м³. 

Объём параболоида  вращения:

                         W=(p*D²/4)*z₀+(p*w²*D⁴/(64*g),

где z₀- вертикальная координата вершины параболоида поверхности уровня.

       z₀=h-(w²*D²)/(16*g),

       h=3*H/4=3*2/4=1,5 м – уровень в статическом состоянии;

w= 2*p*n/60=2*3,14*102/60=10,7с^-1– угловая скорость вращения сосуда.

           z₀=1,5-(10,7²*1²)/(16*9,81)=0,68 м.

        W=(3,14*1²/4)*0,68+(3,14*10,7²*1⁴)/(64*9,81) =0,59 м³.

Объём сосуда

V=(p*D²/4)*H =(3,14*1²/4)*2=1,57 м³. 

Объём воды, который  может помещаться в сосуде  при  вращении:

V₁=V-W=1,57-0,59=0,98 м³.

Количество воды, сливающейся из резервуара за 1 оборот:

V_слива=V₀-V₁=1,18-0,98=0,2 м³. 

При частоте  вращения n=102 об/мин=102/60 об/с=1,7 об/с,

ежесекундный  слив составит:

V_слива*n=0,2*1,7=0,34 м³/с.

Сила давления на дно резервуара F₁ , в соответствии с гидростатическим парадоксом, не зависит от формы и объёма сосуда и равняется площади дна, умноженной на гидростатическое давление в его центре тяжести, то есть:

        F₁=(p*D²/4)*r*g*H=(3,14*1²/4)*1000*9,81*2 =15402 Н

Горизонтальная  сила, разрывающая резервуар по сечению 1-1 равна площади вертикальной проекции стенки, умноженной на гидростатическое давление в центре тяжести.

        F₂=D*H*r*g*h_c,

где h_c=Н/2=1 м –глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции стенки.

         F₂=1*2*1000*9,81*1=19620 Н. 

Ответ: 1)Ежесекундный слив составит:   0,34 м³/с.

            2)Сила давления на дно 15402 Н,

               сила, разрывающая резервуар по сечению 1-1составит 19 620 Н.

 

Задача 26.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Дано:

D=20 мм =0,02 м

d=8 мм=0,008м

Q=1,2 л/с=0,0012 м³/с

Н=2 м, h=0,5 м.

Режим течения  считать турбулентным. Считать, что давление перед отводом расходуется на создание скоростного напора в отводе и подъём жидкости на высоту h.

Решение.

Приняв за плоскость  отсчёта ось трубы, уравнение Бернулли для сечений по уровню воды и в месте присоединения отвода (гидравлические сопротивления не учитываются по условию задачи):

Р₁/(r*g)+w₁²/(2*g)+H=P₂/(r*g)+w₂²/(2*g),

где  Р₁=Р_атм, для избыточного давления Р₁=0;

        w₁=0 - скорость движения жидкости на поверхности уровня;

        Н=2 м;

        Р₂- избыточное давление в точке присоединения отвода;

       w₂ – скорость движения жидкости в сечении, соответствующем точке присоединения отвода.

После подстановки:

2=Р₂/(1000*9,81)+ w₂²/(2*9,81);

                                            2=Р₂/9810+w₂² /19,62.   (1) 

По условию  задачи, давление перед отводом расходуется на создание скоростного напора (w₃²*r/2) и подъём жидкости на высоту h. То есть на создание пьезометрической высоты (r*g*h), тогда избыточное давление в точке присоединения отвода:

Р₂=w₃²*r/2+r*g*h= w₃²*1000/2+1000*9,81*0,5.

P₂=500w₃²+4905,

где w₃ – скорость движения жидкости в отводе.

   Подставив в (1), получим:

2= (500w₃²+4905)/9810+w₂² /19,62;

2=0,051w₃²+0,5+0,051 w₂² ;

                                               1,5=0,051w₃²+0,051 w₂²

                                               1,5/0,051=w₃²+ w₂²

                                             

                                             29,4= w₃²+ w₂²     (2)

По уравнению  постоянства расхода расход жидкости в общем трубопроводе до присоединения отвода равен сумме расходов в отводе и основной трубе

                  w₂*p*D²/4=w₃*p*d²/4+Q,

где   Q=0,012 м³/с- расход в основной трубе.

                  w₂*3,14*0,02²/4=w₃*3,14*0,008²/4+0,0012;

                   w₂*0,0003=w₃*0,00005+0,0012; 

w₂=0,17*w₃+4       (3)

 

 Подставив  это значение в (2), получим:

29,4= w₃²+ (0,17*w₃+4)²;

  29,4= w₃²+0,0289* w₃²+2*0,17*4* w₃+16;

1,0289w₃²+1,36 w₃-13,4=0