Вероятность выполнения задачи в этом случае простейших потоков  отказов и восстановлений может быть определена по полной вероятности сложного события.

K_г(t_x) – функция готовности

P(t_x,t_з) – условная вероятность безотказной работы за оперативное время t_з при условии, что в момент t_x аппаратура была работоспособной.

[1-K_г(t_x)] – вероятность неисправного состояния (неготовности) аппаратуры к началу применения в момент времени t_x.

P_вос(τ) – вероятность восстановления и проверки аппаратуры за время τ<t_з.

P(t_з-τ) – условная вероятность безотказной работы аппаратуры за оставшееся время ещё достаточное для выполнения поставленной задачи. Полученное выражение может быть упрощено по следующим соображениям: при достаточно большом времени t_x функция готовности стремится к К_г

   

Для ответственной  аппаратуры T_ср>>Т_в.ср; К_г≈1.

Тогда [1-К_г(t_x)] ≈0.

Вероятность выполнении задачи

Коэффициент оперативной  готовности есть вероятность того, что аппаратура окажется работоспособной в произвольный момент времени t_x в установившемся режиме эксплуатации, и, что начиная с этого момента, аппаратура будет безотказно работать в течение заданного интервала времени t_з. Если распределение времени безотказной работы аппаратуры подчиняется экспоненциальному закону (λ=const), то условная вероятность не зависит от момента времени начала выполнения задачи t_x, а зависит от длины промежутка времени t_з.

;  

;  ;  - среднее время восстановления элементов i-го типа.

; P_iτ_i – доля среднего времени восстановления аппаратуры, связанное с отказом элементов i-го типа или группы.

;  

Существует аппаратура 3-го типа – аппаратура, предназначенная  для длительной работы, во время  которой она может ремонтироваться. К такой аппаратуре не предъявляется  требование безотказности в течение  заданного времени (измерительная, бытовая). Надёжность такой аппаратуры определяется функцией готовности, а при достаточно большом времени – коэффициентом готовности.

7. Понятие о случайных  функциях и процессах

Параметры элементов  и систем в связи с влиянием на них большого количества факторов на этапах разработки, производства и эксплуатации имеют случайный характер. Рассматривая эти параметры при конкретных значениях факторов, от которых они зависят, мы будем иметь эти параметры как случайные величины. Для более полного представления о функционировании системы в реальных условиях эксплуатации необходимо знать как изменяются её параметры при изменении влияющих факторов. Такое представление дают случайные функции.

7.1. Случайная функция

Это функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, но неизвестно заранее какой именно. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате однократного опыта, называется реализацией случайной функции.

Если над случайной  функцией провести группу опытов, то получим семейство реализаций этой функции. Это семейство можно рассмотреть при разных факторах x, т.е. в сечении семейства. В каждом сечении параметр y будет являться обычной случайной величиной, которая характеризуется законом распределения. Случайную функцию можно также определить, как функцию своего аргумента, значение которого при любом значении её аргумента является случайной величиной. Характеристиками случайных функций, в отличие от числовых характеристик случайной величины, представляющих собой определённые числа, являются в общем случае не числа, а функции (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, автокорреляционные функции, взаимные корреляционные функции).

Математическое  ожидание M[Y(x)] случайной функции Y(x) есть неслучайная функция m_y(x), которая при каждом значении аргумента x равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

, где f(y,x) – одномерная плотность вероятностей семейства реализаций случайных функций.

Дисперсия D[Y(x)] случайной функции Y(x) есть неслучайная функция D_y(x), значение которой для каждого x равно дисперсии соответствующего сечению случайной функции.

Дисперсия D_y(x) характеризует разброс реализаций в семействе относительно математического ожидания m_y(x). Равномерная плотность распределения f(Y,x) позволяет найти среднее значение случайной функции и её дисперсию, но не содержит никакой информации о поведении случайной функции.

7.2. Случайный процесс

Это случайная  функция от независимой переменной t (Y(t)). Реализации случайного процесса называются траекториями. Все характеристики случайных функций аналогичны характеристикам случайной функции.

8. Марковские случайные  процессы

Являются основным методом анализа  надёжности систем: определения характеристик резервированных систем, анализ модели и контроля, поиск неисправностей и т.д. Марковский случайный процесс – это процесс, у которого в каждый момент времени вероятность любого состояния в будущем зависит только от состояния объекта в настоящий момент времени и не зависит от того, каким образом объект пришёл в это состояние. Марковский процесс – это случайный процесс без последствий. Момент времени t₁ и t₂ – моменты перехода из одного состояния в другое. Наиболее подходящим способом перехода объекта из одного состояния в другое является граф переходов. 

Pij(Δt), Pji(Δt) – вероятности перехода из одного состояния в другое за некоторый промежуток времени. Важнейшая характеристика Марковского процесса. Pii(Δt) – вероятность сохранения состояния в течение некоторого промежутка времени. μ_ij, λ_ij – постоянные интенсивности прямого и обратного перехода из одного состояния за некоторый промежуток времени. Возможно представление вероятностного процесса матрицей вероятности переходов.

P₀₂=P₂₀=0 
 
 
 

Состояние объекта  в момент времени t определяется вектором

 

Для момента  времени t+Δt вероятность состояния будет определяться

 

Переход объекта  из состояния в момент времени  t в состояние для момента времени t+Δt осуществляется преобразованием вектора в вектор с помощью транспонированной матрицы переходов .

Марковский однородный процесс – это процесс, закономерность поведения которого на любом интервале времени (t₂-t₁) не зависит от положения того интервала на оси времени. Дифференциальное уравнения можно составлять непосредственно по графу переходов по следующему правилу: в левой части каждого уравнения записывается

, а в правой части записывается  столько членов, сколько стрелок  связано с этим состоянием. Каждое  слагаемое равно произведению  интенсивности переходов λ или μ, переводящее систему по данной стрелке на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка. Знак перед каждым слагаемым зависит от направления перехода. Если стрелка входит в состояние, то ставится знак «+». Если выходит из состояния, то ставится знак «-». Получается система уравнений нахождения вероятностей состояний P₀(t) и P₁(t) производится с помощью преобразования Лапласа, которое позволяет перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим.

9. Расчёт надёжности  ремонтируемой нерезервированной  аппаратуры

Характеристикой надежности аппаратуры, которая учитывает  сочетание свойств безотказности и ремонтопригодности и количественно оценивает готовность системы к работе, является функция готовности. К_г(t) – Функция готовности – есть вероятность застать систему в работоспособном состоянии в произвольный момент времени (t). При определении функции готовности следует учитывать, что на практике имеют место случайные процессы, т.е. процессы перехода изделия из одного состояния в другое в случайный момент времени. Такие процессы встречаются в нерезервируемой ремонтопригодной аппаратуре, резервированной неремонтируемой и ремонтируемой аппаратуре. Рассмотрим ремонтируемую нерезервированную систему.

λ – интенсивность  отказов, μ – интенсивность восстановлений.

Эта система  может находиться в 2-х состояниях: рабочем и отказа. Переход из рабочего состояния в состояние отказа происходит за счёт отказа системы. Для определения показателей используют граф переходов и дифференциальные уравнения. 

    (*)

P_i(t)→P_i(z) 

 

 

Система в нулевой момент времени должна быть работоспособной

P₀(t=0)=1; P₁(t=0)=1;

(**) 

  ;

  ; 
 

; 

; 

9.1. Расчет в стационарном  режиме

Исследование  характеристик надёжности, формируемых  под воздействием потоков отказов  и восстановлений позволяет сделать  вывод о том, что при существующих соотношениях λ и μ наступает сравнительно быстро период установившегося режима, при котором вероятности состояний изделия становятся постоянными величинами P_i(t)=P_i=const.

;  Из системы уравнений  (*) можно записать 

;  ;   ; 

9.2. Определение среднего времени работы системы до отказа

Интегральное  преобразование Лапласа для P(t), которое связывает функцию оригинал P(t) действительного переменного t с функцией изображения P(z) комплексного переменного z, имеет вид:

, z=0;  

В уравнениях, записанных по преобразованию Лапласа P(z) заменяем через Т: P(z)=T. И тогда из системы уравнений (**) можно написать:

    

10. Методы повышения  надёжности радиоэлектронной  аппаратуры

Отказоустойчивость  системы обеспечивается введением  избыточности: параметрической, временной, алгоритмической и структурной.

Параметрическая избыточность выражается в облегчении режимов работы элементов и узлов аппаратуры с целью повышения их надёжности, т.е. уменьшением К_г, среды… При этом не удаётся получить существенного повышения надёжности.

Временная избыточность заключается в наличии дополнительного времени для решения задачи с тем, чтобы в случае возникновения сбоев или других ошибок можно было их исправить путём повторения вычислений.

Алгоритмическая избыточность заключается в применении таких алгоритмов, которые обеспечивают удовлетворительные результаты в случае наличия или возникновения ошибок в результате вычисления. Она, как правило, предполагает наличие временной избыточности и является способом её реализации.

Структурная избыточность – наиболее эффективный способ повышения надёжности системы. Она предполагает наличие резервных элементов для замены отказавших.

Методы повышения  надёжности классифицируются по этапам жизни аппаратуры:

• Проектирование;
• Производство;
• Эксплуатация.

При проектировании методы делятся на схемные и конструктивные.

1. Упрощение схем
2. Создание схем с широкими допусками

10.1. Метод резервирования  электронной аппаратуры

Резервирование  – метод повышения надёжности путём введения резервных вещей, являющихся избыточными по отношению к минимальной функциональной структуре изделия необходимой и достаточной для выполнения им заданной функции. Резервирование различают по методам:

• Общее
• Раздельное
• Смешанное
• Скользящее
• Мажоритарное