Анализ и синтез линейной непрерывной системы автоматического управления

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

КАФЕДРА ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: « Теория автоматического управления »

Тема: « Анализ и синтез линейной непрерывной системы  автоматического

управления»

 

 

 

 

 

Автор работы ______________Макута Д.В

 

Специальность  ___151900_____________________

Группа     ЗФ-216

Вариант : 3-7

Преподаватель    ______________________________Сырецкий  Геннадий  Александрович

 

Работа защищена  _____________________

 

 

 

 

 

Новосибирск 2015

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

 

 

Уравнения  связей  структурной  схемы  САУ :

 

x3= v-y

x4= x2= y3

x4= x2=y3

x1=( y2+y4)-f

 

 

ν – задающее воздействие ;   ƭ – возмущающее воздействие ;   xi -  входная переменнаяi –звена ; yi–выходная переменная  i–звена ; у = у1  выходная (управляемая ) переменная САУ.

 

 

Параметры  динамических  звеньев  исходной  САУ:

 

k1	1	T1	k01	k2	τ2	T2	k02	k3	T3
1,2	1,0	0,5	0,0	1,0	0	0	1,0	1,6	0

 

k4	τ4	T4
1	0,4	0,1

 

 

Система обыкновенных дифференциальных  уравнений, описывающая

динамику  звеньев   исходной  САУ:

 

T1+=k1 (τ1 +k01 x1),                                        (1)

 

T2 + =k2(τ2 +k02 x2 ),                                     (2)

 

T3 +y3 = k3 x3 ,(3)

 

T4+ y4 = k4 (τ4 + x4 ),                                          (4)

 

 

 

 

 

1. Анализ  линейной  непрерывной  системы   автоматического управления

 

1.1  Уравнения  в операторной  форме  в общем  виде.

 

 

T1 s2 y1 + s y1 = k1 (τ1 s x1 + k01 x1)

T2 s2 y2 + s y2 = k2 (τ2 s x2 + k02 x2)

T3 s y3 +y3 = k3 x3

T4sy4 +y4=k4 (τ4sx4 +x4 )

после  упрощения  получим  :

 

(T1s2 + s) y1 =k1 x1(τ1 s + k01 )

(T2 s2+ s) y2 =k2 x2 (τ 2s + k02 )

(T3s + 1) y3 = k3x3

(T4s + 1) y4 = k4 (τ4sx4 + x4)

 

уравнение  в операторной форме с учетом численных значений:

 

(0,5s2 + s) y1 = 1,2x1

y2 =x2

y3 =1,6 x3

(0,1s+1)y4= (0,4s+1)x4

 

2. Передаточные функции элементов.

 

= W1(s) = =

 

= W2(s)=k2=1

 

= W3(s) = 1,6

 

= W4(s) =

 

 

 

 

3. Структурная схема.

 

По уравнениям связи строим структурную схему  исходной нескорректированной САУ:

 

 

 

 

 

 

 

4. Структурные преобразования.

 

Заменим  параллельные звенья  W2(s)и W4(s)одним звеном W5(s)по правилам структурных преобразований:

 

Y2 = x2(s)·W2(s)

Y4 = x4(s)·W4(s)

Y2+Y4= x5(s)

 

Решая эти уравнения совместно получим:

 

x5= x2(s)W2(s)+x4(s)W4(s);

x5= x2 x4(W2(s)+W4(s));

=W5(s)= W2(s)+W4(s);

W5(s) =

K5=1+1=2.

 

 

 

 

Заменим  последовательно соединенные звенья   W3(s), W5(s)одним звеномW6(s)

По правилам структурных  преобразований:

y3=x3(s)·W3(s);

y5 =y3(s)·W5(s);

y5=x3(s)·W3(s)·W5(s);

=W6(s)=W3(s)·W5(s);

W6(s)= .

 

 

 

Передаточная  функция  разомкнутой  системы :

 

Коэффициент передачи:     

Kраз= k1 ̇  k3·k5 =3,84

 

Wраз(s)= W6(s) ·W1(s) ==

 

 

5. Передаточная функция замкнутой САУ

 

 

Передаточная  функциязамкнутой  САУ по задающему воздействиюv

 

WVY ===

 

6. Передаточная  функция  по ошибке :We (s) = =

 

 

 

 

 

 

 

 

1.7    Критерии устойчивости.

 

 

 

1.7.1  Формулировка  критерия  Гурвица :

 

Для того, чтобы линейная  САУ  была  устойчива , необходимо  и  достаточно, чтобы  главный  определитель  матрицы  Гурвица  и  все егоn-1 диагональные  миноры  были  положительными.

 

Матрица  Гурвица  составляется  из  коэффициентов  характеристического  уравнения   системы  по  определенным  правилам.

 

Характеристическое  уравнение  заданной  системы.

 

В  критерии  Гурвица характеристическое  уравнение  задается  в виде  операторного  полинома :

 

D(p) = a0 pn + a1 pn-1 + …+an-1 p+ an  ,

 

Чтобы  получить  характеристическое  уравнение  заданной  системы ,  приравниваем  к нулю  знаменательзаданнойСАУ:

 

 

0,05

Обозначим  коэффициенты  и найдем  их  значения:

 

a0  =0,050 ,

a1= 1,56 0 ,

a2= 4,84 0,

a3 = kраз = 3,84

 

все коэффициенты характеристического  уравнения  положительны –  необходимое условие  устойчивости  выполняется.

 

Составляем   матрицу  Гурвица:

 

= 

Условия  устойчивости :

 

=   = 1,56

= - = 7,35 0.

 

По  условию  Гурвица  система  является  устойчивой.

 

1.7.2 Критерий   Михайлова.

Формулировка  критерия:

 

для  устойчивости  системы  автоматического  управления   необходимо  и  достаточно, чтобы  вектор  описываемый  кривую ( годограф )  Михайлова   при  изменении  ω от 0  до    огибает  против  часовой  стрелки  начало  координат,  проходя  последовательно  в  положительном  направлении  nквадрантов,  где  n- порядок  системы.

При  этом  изменения  аргумента  argD(jω )равно  n .

 

 

Критерий  Михайлова  является  частотным  критерием  устойчивости.

Характеристическое  уравнение  системы :

 

+ +…+ s + .

 

Делаем  подстановку  (s =

получим  комплексный  полином :

 

(jω )n + (jω )n-1 +…+ =  X(ω) + jY(ω) = D (ω)ejφ(ω) ,

 

 

0,05(jω)3+ 1,56(jω)2+4,84(j+3,84=X(ω)+jY(ω).

 

Выделим   вещественную  и  мнимую  часть:

 

X(ω)= 3,84–1,56ω2,

Y(ω)= 4,84ω – 0,05ω3

 

Составим  таблицу  значений:

 

ω  с-1	0	1	3	5	10
X(ω)	3,84	2,28	-10,2	-35,16	-152
Y(ω)	0	4,79	13,2	17,95	-1,6

 

Построим  по  полученным  значениям   годограф   Михайлова

 

 

По  графику   видно ,  что  критерий  Михайлова  выполняется  так  как  годограф  проходит  n=3 квадрантов  и на 3  квадранте уходит  в  бесконечность.Система  устойчива!

 

1.7.3  Критерий  Найквиста.

Этот критерий называется точечным критерием.  Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы Ws (jω)

Для  устойчивости  замкнутой  САУ  необходимо  и  достаточно , чтобы  годограф  Найквиста  не охватывал  критическую  точку (-1,0)

 

Условие выполняется!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Построение  АЧХ, АФЧХ, ЛАХ, ЛАФЧХ и годографа в среде  MatLab.

 

 

Частотные  характеристики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Показатели  качества  переходных  процессов  при  моделировании  на  ЭВМ.

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходный  процесс  устойчивый,но отклоняется  от нуля.

 

При  подаче на вход  импульса  процесс  стабилизируется , но не сразу

 

 

 

2. Синтез  последовательного  корректирующего  устройства  на  основании

метода  желаемойЛАЧХ.

 

2.1 Построение  асимптотической   ЛАЧХ  нескорректированной   системы.

 

 

Wнес=

 

При  построении  ЛАЧХ  системы, состоящей  из  последовательных  типовых  звеньев  учитывается , что  логарифм  произведения  есть  сумма  логарифмов ,поэтому  для  каждого  звена  можно  построить  ЛАЧХ ,  а  затем  просуммировать  и  получить   ЛАЧХ  всей  системы.

 

Для  построения Lсн (ω)  рассчитываем   параметры:

 

1. 20lgkраз = 20lg( k1k3 k5) = 20 lg (3,84) = 11,7дБ

 

2. Частоты  сопряжения системы:

 

=1/ = 1/ 0,4 =2,5рад/ сек

 

=1/ T1 = 1/0,5=2рад/сек

 

=1/T4 = 1/0,1 = 10 рад/сек

 

 

по  оси  абсцисс  возьмем  логарифмический  масштаб   (lgω).  Пересчитаем  частоты  сопряжений  в десятичных  логарифмах  частоты:

 

lg = lg (2,5) = 0,397дек

 

lg = lg (2) = 0,3дек

 

lg = lg (10) =1дек

 

 

в координатной  плоскости  [ L (w), lgw]  при частоте   w=1 ( lg 1= 0 дек) отложим  ординату   20lgkи  логарифмы  частот  сопряжений.

 

В низкочастотной  области  асимптотическая Lнс(w)- прямая линия  проходящая  под  наклоном  - 20 дБ/ Дек  через  точку  с координатами  ( 20 lgk, 0)

Таким  образом  асимптотическая LHC(w)  представляет   собой  ломанную  с наклонами  -20, -40, -20 и -40 дБ/дек.

 

 

 

 

 

2.2  Построение  асимптотической желаемой   ЛАЧХ -  Lж

 

 

Построение  низкочастотной  зоны  Lжел (ω)начинаем  с определения  требуемого  коэффициента

 

 

Kтр = 1/yдоп( =1/0,005 = 200  20 lgkтр = 46

 

 

Через  точку20 lgkтрпроводим  прямую  линию  под  наклоном  -20 дБ/дек.

Эта  линия  соответствует  низкочастотной  зоне  желаемой  ЛАЧХ.

 

 

Для  определения  СЧЗ   необходимо определить  частоту  среза  Wcжелаемой  ЛАЧХ   и  ординаты  начала  и конца  зоны.

 

 

При  заданном   мах.доп = 25  определяем  Pмах , Tpeг f (Pмах)

 

Находим  время  регулирования

 

Tpeг =

 

При  заданном  значении  допустимом  времени  регулирования 

 

Tрег.доп=1,5 с  частоту  среза  найдем  по формуле:

 

 

с = =  =  6,07 рад/с

 

 

Lgc =0,78

 

 

Среднечастотная  асимптота  проводится  под  наклоном  - 20 дБ/дек

через  точку  lgc

начальная  и  конечная  ординаты  16 дБ.

 

 

Высокочастотная  зона   Lжел (ω) строится  параллельно  ЛАЧХ  исходной  САУ  ее  наклон  -20 дБ/дек  или  -40  дБ/дек.

 

Определим  ЛАЧХ  последовательно  корректирующего  устройства Lку(ω)  графическим  вычитанием   ординат  LHC(ω)  из  ординат  Lжел(ω)

 

 

2.3  Определение  передаточной  функции  и  параметров  корректирующего устройства.

 

Передаточная  функция  корректирующего  устройства :

 

Wку(s) =  kку .

 

Найдем   численные  значения  времени     T5, T6, T7:

 

T5 = 1/ср5;lgωcp5=0,055 дек,  ωср5=1,135 рад/с  Т5=0,88 с

T6 = 1/ωср6;lgωcp6=1,705 дек ,  ωср6=50,6 рад/с   Т6=0,02 с

T7 = 1/ωср7;lgωcp7 =1,365 дек,  ωср7=0,043 рад/с  Т7 =23,26 с

 

Коэффициент   передачи  регулятора  определяется  по  формуле:

 

 

Kку = == 52

 

2.4  Структурная  схема  синтезированной  САУ.

 

 

Включаем  корректирующий  элемент  в структурную  схему.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5  Запас  устойчивости  по  фазе  скорректированной  САУ.

 

 

Считаем  запас  устойчивости по  передаточной  функции:

 

Wжел (s) = kтр·

 

(=  - –(c),     при  A(= 1

 

Для  форсирующего  звена : (с) = arctg (T4c)

 

Для  апериодических  звеньев:    (с)  =  -  arctg (T5c)

(c) =  -arctg  ( T6c)

 

Для  интегрирующего  звена  : (с)  = -  

 

() = -180 – [arctg(T4c) – arctg (T6c)- arctg (T5  c)- 90] / = 73,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6   Проверка результатов синтеза методом цифрового моделирования.

 

 

 

 

после ввода корректирующего звена процесс стабилизации занимает меньше 1с.

 

Переходная характеристика скорректированной  САУ имеет вид:

 

При  подаче на вход импульса:

 

Частотные характеристики:

 

 

 

2.7   Вывод

 

Оценка показателей качества переходного процесса и статической ошибки  регулирования

Скорректированной  САУ при единичном ступенчатом воздействии

Время регулирования   Tрег. = Т рег. доп  = 0,5с

Статистическая  ошибка регулирования:  у(ω) = 1 в отличии от исходной САУ.