Выборки и их представления

    Определение выборочных характеристик

    Определим выборочные среднее, дисперсию, cтандартное отклонение, медиану (сравним их с теоретическими значениями), минимальное и максимальное значения выборки,  размах:

    F.1 - Summary Statistics - Data rectors: x — в окне Statistics оставляем те буквы — коды, которым соответствуют нужные нам статистики A, B, E, F, H, I, J - F6.

    Наблюдаем таблицу выборочных значений. Выписываем ее и сравниваем с теоретическими значениями.

    Проверка  гипотезы о типе распределения

    Проверим  выборку с помощью критерия Колмогорова - Смирнова .

    H.1. - Distribution Fitting Data vector:  x, вводим код распределения в окно Distribution number - F6 — ââîäèì вместо оценок теоретические значения параметров - F6 — Histogram - ENTER — поправляем параметры графика: No of classes 200, Cumulative: Yes - F6.

    Наблюдаем функции эмпирического и теоретического распределений; определим по графику значение статистики

    

 

— ìåðû различия между этими функциями. Величина D_n, конечно же, определяется пакетом:

    Esc - Esc — вместо опции Histogram выбираем K-S Test - ENTER. Сообщается значение статистики « ...statistic DN = ....» и «...significance level = ...» т.е. уровень значимости

    

.

    Если  эта вероятность мала (сотые доли или меньше), гипотезу о соответствии наблюдений теоретическому распределению следует отклонить. В противном случае признают, что наблюдения не противоречат гипотезе.  

    Описание  двумерных выборок

    Пример. В табл.2 приведены результаты химического анализа 32 образцов сланцевых пород на содержание двуокиси кремния (SiO₂ – x) и двуокиси алюминия (Al₂O₃ – y).

    Построим  диаграмму рассеяния для этой выборки, определим выборочные характеристики: среднее, дисперсии, коэффициент корреляции и построим  диаграмму рассеяния и двумерную гистограмму. 

    Таблица 2

 

    а) Ввод данных:

    А.2.File Operations — file name: WORK, Desired operation: С (операция Edit (редактирование) в списке Operations) - F6 - F6 - В окне Add additional column (добавить дополнительные столбцы) вводим имена новых переменных: Name: x1, Type: N (тип вещественный), Width: 13 (или меньше; - число десятичных разрядов) - F6 - Name: y1 - F6 - ESC - вводим данные в колонки x1 и y1. - F6 - Save and Exit (запомнить и выйти) - ENTER (появляется описание созданных переменных).

    Замечание. При вводе удобнее вводить числа без десятичной точки, а затем операцией J и опцией A (ASSIGNMENT - назначение) разделить на 10.

    б) Представление выборки диаграммой рассеяния:

    E.1.X-Y Line and Scatterplots - вносим в строку x: x1, в строку у: y1 - F6. Появляется диаграмма рассеяния, которую можно отредактировать (F5): изменять надписи, диапазоны величин по осям, частоту делений и т.д. Диаграмму выводим на печать (F4).

    в) Определение выборочных характеристик:

    F.1.Summary Statistics - Data vectors: x1, во второй строке: y1, Statistics: A, B, F, H, I, - F6. Появляется таблица выборочных характеристик для двух переменных x1 и x2.

    Определение выборочной ковариационной матрицы: Q.2.Covariance Analysis (анализ ковариаций) - Data vectors: x1, во второй строке: y1 - F6. Появляется матрица ковариаций (в данном случае, 2´2).

    выборочная корреляционная матрица определяется процедурой Q.1.Correlation Analysis.

    г) Построение двумерной  гистограммы:

    F.7.Three - Dimensional Histogram - Sample 1: x1, Sample 2: y1 - F6 - Поправляем, если необходимо, параметры графика - F6.

      Появляется трехмерный  график. Выводим  его на печать или сохраняем.

3.   Выполнение в пакете  STATISTICA

 

    Генерация выборки 

    Сгенерируем, например, выборку объема n =50 с показательным распределением со средним значением 5.

    Создадим  новый файл:

    File - New Data - укажем имя файла  в окне File Name : descript (например) - OK. На экране  сетка-таблица; в ее заголовке указаны название и размеры : 10v * 10c - ( 10 переменных ( variables ) - столбцов по 10 наблюдений ( cases ) - строк.

    Преобразуем таблицу к размерам 1´50:

    кнопка  Vars (на экране) - Delete; окно Delete Variables: укажем какие переменные- столбцы убрать :  From variable : var 2, To variable : var 10  - OK - Кнопка Cases - Add ( добавление ) - окно Add Cases: укажем, сколько строк добавить и куда : Number of Cases to Add : 40, Insert after Case : 1 ( например ) - OK.

    Сгенерируем выборку:

    выделим столбец - переменную Var1 ( щелчком мыши по ее заглавию) - нажмем правую клавишу - в открывшемся меню выберем Variable specs ( спецификации переменной ) - в появившемся окне Variable 1 введем Name x ( например ) , в нижнем поле Long name вводится выражение, определяющее переменную. Ввод можно сделать набором на клавиатуре или с помощью клавиши Functions, выбирая в меню Kategory и Name требуемую функцию и вставляя клавишей Insert. Для задания закона распределения следует ввести, например,

      =rnd(2)                                        для R[0, 2],

     =Vnormal(rnd(1); 2; 0.5 )           для N(2, s²=0.5²),

     =VExpon(rnd(1); 0.2 )           для E(5) со средним 1/0.2=5; (для нашего примера вместо значения параметра l=0.2 можно набрать выражение 1/5).

Такая форма задания определяется способом генерации: с помощью функции, обратной (буква V) к функции распределения и генератора случайных чисел R[0, 1] ( rnd(1)).

    Распечатаем выборку командой Print меню File.

    Посмотрим выборку графически:

    Graphs - Custom Graphs (настраиваемые графики)  - 2D graphs - в открывшемся окне все можно оставить по умолчанию - .OK. Наблюдаемый график (рис.2) распечатаем. 

  

  Рис. 2. Наблюдения, распределенные по показательному закону со средним 5 (n = 50). 

    Построение  вариационного ряда

    Первый  способ:

    выделим требуемую переменную (столбец) - нажмем правую клавишу мыши - выберем Quiq Stats Graphs (быстрые статистики и графики) - Values / Stats of Vars (значения и статистики ) - наблюдаем вариационный ряд и выборочное среднее (mean) и стандартное отклонение ( SD ).

    Второй  способ:

    войдем  в модуль Data Menagement (двойной щелчек левой клавишей мыши на чистом поле и выбор модуля в окне Module Switcher; если модуль уже загружен, то Alt+Tab до появления модуля) - Analysis Sort - устанавливаем имя переменной, тип сортировки: Ascen (по возрастанию ) или Desc ( по убыванию) - OK. 

    Функция эмпирического распределения

    Первый  способ:

    Graphs - Stats 2D Graphs - Histogram - в появившемся окне установим: Graph Type : Regular, Cumulative Counts (накопленные частоты), Fit Type (подбираемый тип) : Exponential (для нашего примера) или  off (без подбора), Variablles: x,  Categories (число интервалов группирования) : 250 - OK.

    Наблюдаем график функции эмпирического распределения (рис. 3). График можно отредактировать: изменить линии, точки, фон, шкалы, надписи; для этого необходимо подвести стрелку в нужное иесто и дважды щелкнуть левой клавишей мыши. Выведем его на печать или сохраним.  
 

  

  Рис.3. Функция эмпирического распределения  

    Второй  способ:

    упорядочим  по возрастанию нашу выборку (см. Построение вариационного ряда);

    образуем  новую переменную F для значений функции:

    клавиша Var - Add - ... ( см. Генерация выборки) - выделим новую переменную NEWVAR - правая клавиша мыши - Variable Specs ... - Name: F - Long name:

    = V0/50

(оператор V0 создает массив целых чисел) ; построим график:

    Graphs - Custom Graphs - 2D Graph - в новом окне установим: в поле X: x, в поле Y: F, Step Plot (ступеньки, но не Line Plot - линии) - OK.

    Наблюдаем функцию эмпирического распределения (с точностью до мелкого группирования  с 250 интервалами). 

    Группирование данных

    Analysis Frequency Tables - в окне Frequency Tables зададим No of exact intervals: 10  (10 интервалов группирования; или Step size: 2, starting at: 0), в поле Display options отметим Cumulative frequences ( накопленные частоты ), Percentages (проценты - относительные частоты), Cumulative Percentages (накопленные частоты ) - OK.

    Наблюдаем таблицу группированных данных. Выведем  ее на печать или сохраним.  

    Построение  гистограммы частот

    Graphs - Stats 2D Graphs - Histograms - в появившемся окне устанавливаем: имя переменной, Graph Type: Regular, Fit Type; off ( без подбора ) или нужный тип, число интервалов группирования Categories: или Auto (автоматический выбор числа интервалов) - OK.

         Наблюдаем гистограмму (рис. 4). Отредактируем график, если необходимо.  Выведем на печать или сохраним. 

    

    Рис. 4. Гистограмма. 

    Выборочные  характеристики

    первый способ: на заголовке столбца с выборкой щелкнем правой клавишей мыши - Quick Basic Stats... - Descriptives of var - получаем таблицу с характеристиками: mean (среднее), Confid 95% ( доверительные границы нижняя и верхняя с уровнем доверия 0.95 ), Sum ( сумма ), Minimum, Maximum, Range ( размах ), Variance ( дисперсия ), Std. Dev. ( стандартное отклонение ) и др. Сравним выборочное среднее, медиану и стандартное отклонение с соответствующими теоретическими значениями. Это же можно сделать через меню: Anflisis - Quick Basic Stats ...

    Второй  способ: на заголовке столбца с  выборкой щелкнем правой клавишей мыши - Block Stats / Columns (блок статистик по колонкам ) - выделим необходимое или All.