Вероятностные распределения

 

Иногда плотность  распределения Вейбулла записывается также в виде:

 

где

b — параметр масштаба;

с — параметр формы;

е — константа Эйлера (2,718...).

Распределение Парето

В различных  задачах прикладной статистики довольно часто встречаются так называемые усеченные распределения.

Например, это  распределение используется в страховании  или в налогообложении, когда  интерес представляют доходы, которые  превосходят некоторую величину c₀

 

Основные числовые характеристики распределения Парето:

Логистическое распределение

Логистическое распределение имеет функцию плотности:

 

где

а — параметр положения; 

b — параметр масштаба; 

е — число Эйлера (2,71...).

Хотеллинга Т² -распределение

Это непрерывное  распределение, сосредоточенное на интервале (0, Г), имеет плотность:

 

где параметры n и k, n >_k >_1, называются степенями свободы.

Распределение Максвелла

Распределение Максвелла возникло в физике при  описании распределения скоростей  молекул идеального газа.

Это непрерывное  распределение сосредоточено на (0, ) и имеет плотность:

 

Функция распределения  имеет вид:

 

где Ф(x) — функция стандартного нормального распределения. Распределение Максвелла имеет положительный коэффициент асимметрии и единственную моду в точке (то есть распределение унимодально).

Распределение Максвелла имеет конечные моменты  любого порядка; математическое ожидание и дисперсия равны соответственно и

Распределение Коши

У этого распределения  иногда не существует среднего значения, т. к. плотность его очень медленно стремится к нулю при увеличении x по абсолютной величине. Такие распределения называют распределениями с тяжелыми хвостами.

Распределение Коши унимодально и симметрично относительно моды, которая одновременно является и медианой, и имеет функцию плотности вида:

 с > 0 — параметр масштаба и а — параметр центра, определяющий одновременно значения моды и медианы.

Распределение Стьюдента

Пусть x₀, x₁,.., х_m — независимые, (0, s²) — нормально распределенные случайные величины:

 

Это распределение, известное теперь как распределение  Стьюдента (кратко обозначается как t(m) -распределения, где т, число степеней свободы), лежит в основе знаменитого t-критерия, предназначенного для сравнения средних двух совокупностей.

Функция плотности f_t(x) не зависит от дисперсии õ² случайных величин и, кроме того, является унимодальной и симметричной относительно точки х = 0.

Основные числовые характеристики распределения Стьюдента:

 

t-распределение  важно в тех случаях, когда  рассматриваются оценки среднего  и неизвестна дисперсия выборки.  В этом случае используют выборочную  дисперсию и t-распределение. 

F-распределение

Рассмотрим m₁ + m₂ независимых и (0, s²) нормально распределенных величин

 и положим

 

Очевидно, та же самая случайная величина может  быть определена и как отношение  двух независимых и соответствующим  образом нормированных хи-квадрат-распределенных величин и то есть

Основные числовые характеристики F-распределения: