Статистический метод

 Эти признаки можно  рассмотреть на примере  уравнения состояния идеального газа. совокупности большого числа молекул. В частности, невозможно однозначно предсказать движение каждой отдельной молекулы, так как оно зависит от поведения множества других молекул. Это можно сделать лишь с определенной вероятностью.

• Вероятность — это числовая характеристика возможности появления события в тех или иных условиях. Чем больше вероятность, тем чаще происходит данное событие. Если число всех проведенных испытаний N, ΔN—число испытаний, в которых происходит данное событие, то вероятность этого события вычисляют по формуле: .

 Можно под N понимать  общее число частиц в системе,  а под ΔN — число частиц, находящихся в определенном состоянии.  В этом случае ω — вероятность  существования частицы в данном  состоянии.

В теоретических расчетах бывает сложно вычислить вероятность, так как не представляется возможным  предсказать число испытаний, в  которых событие произойдет. Задача упрощается, если изучают равновероятные события, т. е. события, происходящие с  равной частотой. Именно с равновероятными  событиями имеют дело при рассмотрении хаотического движения молекул: вдоль  любых выделенных направлений движется одинаковое число частиц. Следует  пояснить учащимся, что понятие вероятности  имеет смысл лишь для массовых событий. В противном случае частота  наступления события может существенно  отличаться от значения вероятности.

• С вопросом о статистическом распределении молекул десятиклассники сталкиваются при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов, рассматривая равновероятное распределение молекул по объему и по направлениям движения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Статистические распределения
1. Распределение молекул в объеме, занимаемом газом.

Рассмотрим равновесную  систему – газ, находящийся в  состоянии невесомости в объеме V. Пусть N – число молекул газа. Спрашивается, каким будет распределение этих N молекул в объеме V.

Поскольку мы предположили, что молекулы находятся в неупорядоченном  движении, а состояние газа равновесно, необходимо признать, что плотность  газа в среднем одинакова по всему  объему – в состоянии равновесия молекулы распределены по объему равномерно.

Разделим мысленно объем  V на ячейки объемом , но такие, чтобы объем V₀ ячеек был все же макроскопическим. Вследствие хаотического движения в каждой ячейке объемом V₀ число молекул может случайно меняться: в какой-то момент из объема V₀ может, например, выйти число молекул большее, чем число вновь вошедших молекул.

Число молекул в объеме V₀, таким образом, есть случайная величина. Но для любой молекулы, находящейся в объеме V, вероятность попасть в любую ячейку объемом V₀ одинакова и равна . Поскольку число молекул велико, распределение молекул в объеме должно мало отличаться от равномерного – в равных объемах должно быть в среднем одинаковое число молекул.

Пользуются средним значением  числа молекул . Это число, называемое концентрацией молекул, статистически определяет число молекул в единице объема газа.

 

 

2. Распределение молекул газа по направлениям движения.

Предположение о неупорядоченном  движении молекул означает, что в  состоянии равновесия молекулы газа равномерно распределены по направлениям движения: все направления движения равновероятны. В системе отсчета, по отношению к которой газ  как целое покоится, не существует преимущественного направления  для движения молекул. По любому направлению  в среднем движется одинаковое число  молекул.

Опытным подтверждением полученного  вывода может служить тот факт, что падающий мыльный пузырь имеет  форму шара: если бы в каком-то направлении  число движущихся молекул превосходила число молекул, движущихся по другим направлениям, форма мыльного пузыря не была бы шаром.

Равновероятность направлений  движения молекул дает возможность  разложить движения молекул по трем взаимно перпендикулярным осям: можно  считать, что молекулы движутся в  трех взаимно перпендикулярных направлениях и по каждому направлению движется одинаковое число молекул: . Эта “модель неупорядоченности” используется для вычисления давления газа.

• Одна из важнейших характеристик статистического распределения – среднее значение случайной величины. Знание средних значений величин, характеризующих свойства молекул, позволяет нам определить макроскопические свойства системы, не заботясь о значении соответствующих величин для каждой молекулы в отдельности. Рассмотрим на примере.

Давление газа на стенку мы представляем как результат ударов его молекул о стенку. При этом мы можем проследить за ударами отдельных  молекул.

Различные молекулы имеют  различные скорости. Вследствие многократных столкновений скорость каждой молекулы может принимать самые различные  по модулю и по направлению значения. Появление той или иной скорости у данной молекулы следует рассматривать  как случайное явление. Сила ударов о стенку разных молекул различна, а то или иное значение этой силы – среднее значение случайной величины оказывается числом постоянным. Легко показать, что это так.

Пусть система состоит  из N молекул. Допустим, что мы измерили скорости всех молекул и нашли, что n₁ молекул имеют скорость v₁, n₂ молекул имеют скорость v₂, n₃ молекул имеют скорость v₃ и т. д. очевидно, чтобы найти среднюю скорость молекул, необходимо сложить скорости всех молекул и это число разделить на число молекул. Обозначим среднюю скорость через . Тогда

.

Для равновесной системы  отношение  при большом N есть постоянное число и равно вероятности того, что молекул будут иметь скорость . Среднее значение случайной величины, равное сумме произведений случайной величины на вероятность ее появления, тоже постоянно.

Такой вывод можно получить для любой случайной величины, поскольку среднее значение случайной  величины стремится к постоянному  числу при очень большом числе  измерений.

Иногда знания среднего значения величины недостаточно и приходится вводить среднее значение квадрата величины. Для скорости, например, среднее  значение квадрата можно записать в  виде:

 

 

У учащихся может сложиться  впечатление, что статистический метод  был введен в науку как некий  искусственный прием, позволивший  описать поведение молекул, и  что динамические законы являются основными  по сравнению со статистическими. Следует  предупредить эту ошибку и объяснить, что статистические законы существуют объективно. Классическая статистика возникла в XIX в. Этот факт выражал прогрессивное  направление науки и был связан с изучением внутреннего строения вещества. В настоящее время известно, что поведение всех микрообъектов  подчиняется статистическим законам, причем в квантовой физике в отличие  от классической статистические законы проявляются не только вследствие массовости и хаотичности движения, но и в связи с самой природой квантовых объектов (с невозможностью одновременного точного определения координаты и скорости частицы). Целесообразно подчеркнуть, что статистический метод является основой современной физики. В частности, вероятностные, статистические законы господствуют в мире элементарных частиц.

 

 

 

 

 

 

2.3. Статистический  подход к пониманию физического  смысла температуры

Предположим, что в двух половинках сосуда равного объема, разделенных  легкой подвижной перегородкой, находится по 1 моль двух различных газов с молярными массами и . Пусть газы находятся в состоянии термодинамического равновесия. Это означает, что давления газов на перегородку будут одинаковыми и между двумя газами будет отсутствовать теплообмен — температуры газов будут одинаковыми. Равенство давлений означает равенство кинетических энергий обоих газов. Одновременное равенство температур и энергий газов позволяет высказать утверждение, что абсолютная температура Т представляет собой величину, которая пропорциональна кинетической энергии Е поступательного движения молекул газа:                   T~E           

или                          E=χT,

где коэффициент х зависит только от количества газа и не зависит от его химической природы. Оказывается, что значения таким образом определенной температуры совпадают со значениями температуры в уравнении состояния идеального газа, если принять, что в случае 1 моль газа

 

где — так называемая универсальная газовая постоянная.

Таким образом, для кинетической энергии  поступательного движения 1 моль газа Ец можно записать:

 

Обратим еще раз внимание на то, что в рассуждениях, лежащих в основе последнего уравнения, важная роль принадлежит допущению, что газ находится в состоянии теплового или термодинамического равновесия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4. Статистическая  природа необратимости тепловых процессов

Термодинамический подход не позволяет вскрыть внутреннюю природу необратимости реальных процессов в макроскопических системах. Он только фиксирует факт необратимости во втором законе, опираясь на эксперимент. Молекулярно-кинетический подход позволяет проанализировать причины такой необратимости реальных процессов и определенной направленности энергетических превращений в природе.

Рис. 8.1. Один из вариантов «вечного» двигателя второго рода.

Рассмотрим с точки зрения молекулярно-кинетической теории модель гипотетического «вечного»  двигателя второго рода, изображенную на рисунке. Предположим, что этот «вечный» двигатель работает следующим образом: газ самопроизвольно собирается в левой половине цилиндра, после чего поршень подвигают вплотную к газу. При таком перемещении внешние силы работы не совершают, так как собравшийся в левой половине газ не оказывает давления на поршень. Затем подводим к газу тепло и заставляем его изотермически расширяться до прежнего объема. При этом газ совершает работу за счет подводимого тепла. После того, того, как поршень перейдет в крайнее правое положение, будем ждать, пока газ снова не соберется самопроизвольно в левой половине сосуда, и затем повторяем все снова. В результате получилась периодически действующая машина, которая совершает работу только за счет получения тепла от окружающей среды.

Молекулярно-кинетическая теория позволяет сразу объяснить, почему такое устройство не будет работать. Как мы видели, вероятность того, что газ, содержащий большое число молекул, хотя бы один раз самопроизвольно соберется в одной половине сосуда, ничтожно мала. И уж совершенно невозможно себе представить, чтобы это могло повторяться раз за разом по мере работы машины.

Теперь можно указать, какой смысл вкладывается в понятие  необратимого процесса: процесс является необратимым, если обратный процесс в действительности почти никогда не происходит. Строгого запрещения для такого процесса нет — он просто слишком маловероятен, чтобы его можно было наблюдать на опыте. Так, рассмотренный пример «вечного» двигателя второго рода основывался на процессе самопроизвольной концентрации газа в одной половине сосуда. Такой процесс является обратным для процесса расширения газа в пустоту. Расширение газа в пустоту представляет собой один из наиболее ярких примеров необратимых процессов — обратный процесс в макроскопической системе никогда не наблюдался.

Таким образом, с точки  зрения представлений молекулярно-кинетической теории второй закон термодинамики  утверждает то, что в природе в  макроскопических системах процессы развиваются  в таком направлении, когда менее  вероятные состояния системы  заменяются на более вероятные. Такая интерпретация второго закона термодинамики была впервые предложена Больцманом. При рассмотрении флуктуаций плотности идеального газа было выяснено, что состояния газа, при которых распределение молекул близко к равномерному, встречаются горазда чаще, чем далекие от равновесия состояния с сильно неравномерным распределением молекул. Другими словами, состояния с неравномерным распределением молекул но объему, при которых число молекул в правой и левой половине сосуда сильно различается, имеют гораздо меньшую вероятность, чем состояния с почти равномерным распределением, близкие к равновесному. Итак, необратимый процесс приближения к равновесию — это переход к наиболее вероятному макроскопическому состоянию.

Сказанное выше о природе  необратимости реальных процессов можно сформулировать и несколько иначе. Можно сказать, что необратимый переход к равновесию — это переход от сильной степени упорядоченных неравновесных состояний к менее упорядоченным, хаотическим состояниям. При расширении газа в пустоту начальное состояние, когда газ занимает часть предоставленного ему объема, является в значительной мере упорядоченным, в то время как конечное состояние теплового равновесия, когда газ равномерно распределен по всему объему сосуда, является совершенно неупорядоченным. Другой пример — направленный пучок молекул газа, входящий в откачанный сосуд. Установление равновесного максвелловского распределения молекул по скоростям представляет собой необратимый процесс перехода системы из упорядоченного состояния, когда все молекулы имеют почти одинаковые по величине и направлению скорости, в конечное состояние, характеризующееся полной хаотичностью движения молекул.