Статистический анализ вариационных рядов распределения (на примере настрига шерсти овец и длины волоса шерсти)

 

	Настриг шерсти, кг	Длина волоса, см
Мода	Мо=4,72+(4,96-4,72)*(8-3)/((8- -3)+(8-5))=4,9	Мо=17,3+(19,3-17,3)*(6-2)/((6- -2)+(6-5))=18,9
Медиана	Ме=4,48+(4,72-4,48)*((5+3+ +3+8+5+1)/2-8)/3=4,8	Ме=17,3+(19,3-17,3)*((3+ +4+2+6+5+5)/2-9)/6=18,5

 

С помощью функций табличного процессора Excel найдём среднеарифметическую, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, ассиметрию и эскцесс.

 

Показатели	Настриг шерсти	Длина волоса
Мода	4,9	18,9
Медиана	4,8	18,5
Среднеарифметическая	4,69	17,98
Диперсия	0,15	11,34
Среднее квадратичное отклонение	0,39	3,37
Коэффициент вариации	0,08	0,19
Ассиметрия	-0,25	-0,46
Эксцесс	-1,06	-0,74

Таблица 3.

 

Вывод: мы нашли средние значения для анализа рядов распределения – среднюю арифметическую, моду и медиану, а также некоторые показатели вариации. Отрицательное значение ассиметрии означает левостороннюю ассиметрию, а значение эксцесса указывает на высокую вариацию.

 

Дисперсионный анализ.

 

Цель работы:

Научиться используя данные интервального ряда распределения настрига шерсти с помощью дисперсионного анализа рассчитывать достоверность разницы в настриге шерсти в зависимости от длины волоса шерсти.

 

При группировке данных по одному признаку и случайному, т.е. независимому формированию групп, общая вариация раскладывается на групповую и общую вариацию:

Формулы для расчета вариации имеют вид:

общая вариация (сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от общей средней):

,

где wо - общая вариация, - общая средняя арифметическая, xij - варианты, k - число групп; ni - численность групп; N - численность совокупности;

групповая вариация (сумма квадратов   отклонений групповых средних от общей средней):

,

где wгр - групповая вариация, - групповые средние арифметические;

остаточная вариация (сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней по группам):

,

где wост - остаточная вариация.

 

 

Схема однофакторного дисперсионного анализа.

 

Источники вариации	Вариация (сумма квадратов отклонений)	Степень свободы вариации	Дисперсия	Отношение дисперсий
				фактическое	табличное
Групповая	wгр
Остаточная	wост			1	´
Общая	wо			´	´

Таблица 4.

 

Дисперсионный анализ данных по настригу шерсти овец в зависимости от длины волоса шерсти можно представить в виде следующей таблицы:

 

Длина волоса, см	Настриг шерсти, кг
	1	2	3	4	5	6
11,3 - 13,3	4	4,2	4,3
13,3 - 15,3	4,1	4,2	4,2	4,3
15,3 - 17,3	4,8	4,9
17,3 - 19,3	4,4	4,5	4,7	4,8	4,9	4,9
19,3 - 21,3	4,5	4,8	5	5,1	5,4
21,3 - 23,3	4,8	4,9	5,1	5,2	5,2

Таблица 5.

 

Проведя однофакторный дисперсионный анализ данных при помощи сервиса программы Excel, получим следующие результаты:

 

ИТОГИ
Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
11,3 - 13,3	3	12,5	4,166666667	0,023333333
13,3 - 15,3	4	16,8	4,2	0,006666667
15,3 - 17,3	2	9,7	4,85	0,005
17,3 - 19,3	6	28,2	4,7	0,044
19,3 - 21,3	5	24,8	4,96	0,113
21,3 - 23,3	5	25,2	5,04	0,033

Таблица 6.

 

 

 

 

Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F крити-ческое
Между группами	2,8107333	5	0,562146667	12,19732014	2,16353E-05	2,740057541
Внутри групп	0,8756667	19	0,046087719
Итого	3,6864	24

Таблица 7.

 

S2 межгр. = 2,81

S2 внутригр. = 0,86

S2 общ. = 3,69

F набл. = 12,2

F кр. = 2,7

 

Вывод: Дисперсионный анализ данных наглядно показывает распределение овец по группам в зависимости от длины волоса шерсти и значение настрига шерсти внутри каждой из групп. Так, наибольший настриг шерсти – 28,2 кг – был получен от овец с длиной шерсти 17,3 –19,3 см.

Данные таблицы показывают, что фактическое отношение дисперсий больше табличного, следовательно, разница в среднем настриге шерсти по группам с различной длиной волоса шерсти достоверна при уровне значимости 0,05. Длина волоса шерсти оказывает влияние на их настриг шерсти.

 

Корреляционный анализ данных. Регрессия. Уравнение линии регрессии.

 

Цель работы:

Научиться с помощью корреляционного анализа определять влияние длины волоса шерсти на настриг шерсти. Научиться строить линейное уравнение регрессии, рассчитывать коэффициент корреляции и оценивать его достоверность с помощью t-критерия Стьюдента и F-критерия Фишера.

 

При парной корреляции устанавливают зависимость между двумя признаками, один из которых является факторным, другой - результативным. Связь между ними может иметь различный характер. Поэтому важно правильно установить форму связи между признаками и в соответствии с этим подобрать математическое уравнение, выражающее эту связь.

R – коэффициент корреляции устанавливает, есть ли связь между признаками, и насколько она тесная.  -1≤R≤1

Если же модуль коэффициента корреляции ~1, то связь близка к линейной.

Корреляционное поле для зависимости настрига шерсти овец от длины волоса шерсти имеет вид:

Рисунок 7.

 

График показывает, что связь между признаками имеет прямолинейный характер и поэтому может быть выражена уравнением прямой линии:

 

 

 

Регрессионная статистика
Множественный R	0,843685879
R-квадрат	0,711805863
Нормированный R-квадрат	0,699275683
Стандартная ошибка	0,214921509
Наблюдения	25

Таблица 8.

 

Дисперсион-ный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	2,624001134	2,624001134	56,80731409	1,17426E-07
Остаток	23	1,062398866	0,046191255
Итого	24	3,6864

Таблица 9.

 

	Коэффици-енты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	2,922249458	0,238186372	12,26875171	1,41873E-11
Переменная X 1	0,098184527	0,013026895	7,537062697	1,17426E-07
	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	2,42952341	3,414975506	2,42952341	3,414975506
Переменная X 1	0,071236341	0,125132714	0,071236341	0,125132714

Таблица 10.

 

Вывод: связь между признаками тесна и близка к линейной.

R2 (коэффициент детерминации) = 0,71 = 71%

 

Вывод: вариация настрига шерсти обусловлена на 71% влиянием длины волоса шерсти. Остальные 29% вариации настрига обусловлены неучтенными факторами.

 

Для того, чтобы составить уравнение регрессии, необходимо найти параметр В (Y-пересечение) и ρy/x.

Y-пересечение = 0,10

Длина волоса шерсти  (х) см = 2,92

Тогда уравнение регрессии будет иметь вид: y=2,92+0,10x

 

Вывод: при увеличении длины волоса шерсти на 1 см настриг шерсти в среднем увеличивается на 100 г.

 

Описательная статистика

 

Цель работы: Научиться рассчитывать основные статистические показатели, характеризующие выборочные показатели.

 

Для расчета основных статистических показателей, характеризующих выборочную совокупность, в табличном процессоре Microsoft Excel используется инструмент Описательная статистика надстройки Анализ данных. Данный инструмент позволяет рассчитать следующие показатели, характеристика которых приведена в предыдущих темах:

• средняя арифметическая простая
• средняя ошибка выборки
• медиана (Me)
• мода (Mo)
• выборочное среднее квадратическое отклонение
• выборочная дисперсия с учетом поправки
• эксцесс
• асимметрия
• размах вариации
• предельная ошибка выборки