Средняя величина

Описание  средней 

     Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому – либо количественно варьирующемуся признаку. Средняя показывает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

     Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, которым мы характеризуем изучаемую совокупность и который, в разной степени присущ всем единицам совокупности.

     Средние показатели широко применяются в  анализе, так как именно в них  находят свое проявление закономерности массовых явлений и процессов, как во времени, так и в пространстве. Так, например, закономерность повышения производительности труда находит свое выражение в статистических показателях роста средней выработки на одного работающего  в промышленности, закономерность неуклонного роста уровня благосостояния людей, присущая современному обществу, проявляется в статистических показателях увеличения средних доходов рабочих, служащих и т. д. Точно так же и закономерность в преодолении отставания в развитии отдельных районов проявляется в более высоких темпах развития ранее отсталых районов, а так же сглаживания разницы в показателях среднего уровня их развития по сравнению с аналогичными показателями более развитых районов.

     ^{В средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.}

     ^{Вычисление  среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.} 

     Виды  средних

     Рассмотрим  теперь виды средних величин, особенности  их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние. ^{К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая. В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:}

      

     ^{где Xi – варианта (значение) осредняемого признака;}

     ^{m – показатель  степени средней;}

     ^{n – число вариант.}

     ^{Взвешенная  средняя считается  по сгруппированным  данным и имеет  общий вид:}

      

     ^{где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;}

     ^{m – показатель  степени средней;}

     ^{fi – частота, показывающая, сколько раз встречается  i-e значение осредняемого  признака.}

     ^{В статистической практике чаще, чем остальные  виды средних взвешенных, используются средние  арифметические и средние гармонические взвешенные.}

 

     ^{Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.}

     ^{Формула средней геометрической:} 

     

     ^{используется  чаще всего при  расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам  динамики.}

     ^{Структурные средние}

     ^{Особый  вид средних величин  – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).}

^{В качестве структурных  средних чаще всего  используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака –  и медианы –  величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.}

^{Если  изучаемый признак  имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:}

     ^{где XMe – нижняя граница  медианного интервала;}

     ^{hMe – его величина;}

     ^{(Sum m)/2 – половина  от общего числа  наблюдений или  половина объема  того показателя, который используется  в качестве взвешивающего  в формулах расчета  средней величины (в  абсолютном или  относительном выражении);}

     ^{SMe-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;}

     ^{mMe – число наблюдений  или объем взвешивающего  признака в медианном  интервале (также  в абсолютном либо  относительном выражении).}

     ^{При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как}

     

^{где ХMo – нижнее значение модального интервала;}

     ^{mMo – число наблюдений  или объем взвешивающего  признака в модальном  интервале (в абсолютном  либо относительном  выражении);}

     ^{mMo-1 – то же для  интервала, предшествующего  модальному;}

     ^{mMo+1 – то же для  интервала, следующего за модальным;}

     ^{h – величина интервала  изменения признака  в группах.}

     ^{Изучая  общественные явления  и стремясь выявить  их характерные, типичные черты в конкретных условиях места и  времени, статистики широко используют средние  величины. С помощью  средних можно сравнивать между собой различные совокупности по варьирующим признакам. Трудно без исчисления средних сказать, на каком предприятии ниже себестоимость производства какого – либо одинакового продукта. Средние показатели широко используются для планирования и проверки выполнения планов, для постановки задач и проверки их решений. Они становятся активным средством управления и планирования.} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Расчетная часть 

Данные 

 

      Решение:

1. Рассчитываем величину равного интервала. Используем формулу:

 

           =4.4 млн. руб.

2. рассчитываем границы интервалов:

1-й:  8.8 - 13.2   млн. руб.

2-й: 13.02 - 17.6 млн.  руб.

3-й: 17.6 – 22.0  млн. руб.

4-й: 22.0 – 26.4  млн. руб. 

   3.   Строим рабочую таблицу группировки: