Средняя величина в статистике, ее сущность и условия применения

     При расчете средней по интервальному вариационному ряду необходимо сначала найти середину интервалов.

     В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю  по групповым средним или по средним  отдельных частей совокупности (частным  средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или  частные средние, на основании которых  исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

     Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

     1. От уменьшения или увеличения  частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится.

     Если  все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.

     2. Общий множитель индивидуальных  значений признака может быть вынесен за знак средней:

     

     3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

     

     4. Если х = с, где с - постоянная  величина, то  .

     5. Сумма отклонений значений признака  Х от средней арифметической  х равна нулю:

     

     Наряду  со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая  величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (f_i) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.

     Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле ,

     т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.

     Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

     На  первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

     

     Полученная  средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

                                                              все затраченное время

     Среднее время, затраченное = ______________________________

          на одну деталь                                 число деталей 

     Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:

        

     Это же решение можно представить  иначе: 

       

     Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

     

     Средняя гармоническая взвешенная:

      , где M_i=x_i*f_i (по содержанию).

     Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

     Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений - вариантов признака х:

      

     где n - число вариантов; П - знак произведения.

     Наиболее  широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних  темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

     В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

     Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы  квадратов отдельных значений признака на их число:

      ,

     где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

     Средняя квадратическая взвешенная:

      ,

     где f-веса.

     Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы  кубов отдельных значений признака на их число:

      ,

     где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

     Средняя кубическая взвешенная:

      ,

     где f-веса.

     Средние квадратическая и кубическая имеют  ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих  вариантов x, и из их отклонений от средней (х - ) при расчете показателей вариации.

     Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней  может быть средняя прогрессивная  как одна из частных средних, вычисляемая  не для всех, а только для «лучших» (например, для показателей выше или ниже сред- них индивидуальных).

     Для характеристики структуры вариационных рядов применяются  так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической  практике мода и медиана.

     Мода - значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.

     В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим  товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:

     44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;

     Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.

     В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

      ,

     где - начальное значение интервала, содержащего моду;

      - величина модального интервала;

      - частота модального интервала;

      - частота интервала, предшествующего  модальному;

      - частота интервала, следующего  за модальным.

     Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте 

     Мода  применяется для решения некоторых  практических задач. Так, например, при  изучении товарооборота рынка берется  модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные  размеры обуви и одежды и др.

     Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.

     В дискретных вариационных рядах с  нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным  будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

     В интервальных вариационных рядах медиана  определяется по формуле: , где

     x₀ - нижняя гранича медианного интервала;

     i_Me - величина медианного интервала;

     S_me-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

     f_Me - частота медианного интервала.

     Cоотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M₀<Me< имеет место правосторонняя асимметрия. Если же <Me<M₀ - левосторонняя асимметрия ряда. Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

     Мода  и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней  только в случае симметричного распределения  частот вариационного ряда. Поэтому  соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

     Мода  и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы  рядов распределения.

     Аналогично  медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части - квартели, на пять равных частей - квинтели, на десять частей - децели, на сто частей - перцентели.

 

      Заключение 

     В заключении подведем итоги. Средние  величины - это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений).  Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного. Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях. Отклонение индивидуального от общего - проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, свойственная предприятиям на определенном этапе экономического развития; изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг. Средний показатель - это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности. Средняя величина является отражением значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.