Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона

Содержание

1. Предмет теории вероятности. Вероятность и статистика.

2. Основные категории  теории вероятности.

3. Классическое и статистическое  определение вероятности.

4. Теорема сложения вероятностей.

5. Теорема умножения вероятностей.

6. Следствие теорем сложения  и умножения вероятностей.

7. Вероятность гипотез. Формула  Байеса.

8. Независимые события. Биномиальное  распределение.

9. Вероятность редких  событий. Формула Пуассона.

10. Локальная теорема де  Муавра-Лапласа.

11. Интегральная формула  Лапласа.

12. Зависимые события. Гипергеометрическое  распределение.

13. Нормальное распределение.

14. Сравнительная оценка  параметров эмпирического и нормального  распределений. Критерий Пирсона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Предмет теории  вероятности. Вероятность и статистика.

Теория вероятности и математическая статистика – это наука, занимающаясяизучением закономерностей массовых случайных явлений, то есть статистических закономерностей. Такие же закономерности, только в более узкой предметной области социально-экономических явлений, изучает статистика. Между этими науками имеется общность методологии и высокая степень взаимосвязи. Практически любые выводы сделанные статистикой рассматриваются как вероятностные.

Особенно наглядно вероятностный характер статистических исследований проявляется в выборочном методе, поскольку любой вывод сделанный по результатам выборки оценивается с заданной вероятностью.

С развитием рынка постепенно сращивается вероятность и статистика, особенно наглядно это проявляется в управлении рисками, товарными запасами, портфелем ценных бумаг и т.п. За рубежом теория вероятности и математическая статистика применятся очень широко. В нашей стране пока широко применяется в управлении качеством продукции, поэтому распространение и внедрение в практику методов теории вероятности актуальная задача.

2. Основные категории  теории вероятности.

Как и всякая наука, теория вероятности и математическая статистика оперируют рядом основных категорий:

— События;

— Вероятность;

— Случайность;

— Распределение вероятностей и т.д.

События – называется произвольное множество некоторого множества всех возможных исходов, могут быть:

— Достоверные;

— Невозможные;

— Случайные.

Достоверным называется событие, которое заведомо произойдет при соблюдении определенных условий.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при соблюдении определенных условий.

Случайным называют события, которые могут произойти либо не произойти при соблюдении определенных условий.

События называют единственновозможными, если наступление одного из них это событие достоверное.

События называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие.

События называют несовместимыми, если появление одного из них исключает возможность появления другого в том же испытании.

3. Классическое  и статистическое определение  вероятности.

Вероятность – численная характеристика реальности появления того или иного события.

Классическое определение вероятности: если множество возможных исходов конечное число, то вероятностью события Е считается отношение числа исходов благоприятствующих этому событию к общему числу единственновозможных равновозможных исходов.

Множество возможных исходов в теории вероятности называется пространством элементарных событий.

Пространство элементарных событий всегда можно описать числом nS=2, nS=6.

Если обозначить число исходов благоприятствующих событию n(E), то вероятность события Е будет выглядеть . Для наших примеров .

Исходя из классического определения вероятности, можно вывести ее основные свойства :

1) Вероятность достоверного  события равна 1.

2) Вероятность невозможного  события равна 0.

3) Вероятность случайного  события находится в пределах  от 0 до 1.

Классическое определение вероятности связано с непосредственным подсчетом вероятности, требует точного знания числа всех возможных исходов, и удобно для расчета вероятности достаточно простых событий.

Расчет вероятности более сложных событий — это сложная задача, требующая определения чисел всех возможных комбинаций появления этих событий. Подобными расчетами занимается специальная наука – комбинаторика. Поэтому на практике часто используется статистическое определение вероятности.

Цена, руб./кг	Объем продаж, т	Доля в общем объеме продаж
15	45	0,45
20	35	0,35
25	20	0,2
100	1,0

 

Доказано, что при многократном повторении опыта частости довольно устойчивы и колеблятся около некоторого постоянного числа, представляющего собой вероятность события.

Таким образом, в условиях массовых испытаний распределение частостей превращается в распределение вероятности случайной перемены.

Достоинство статистического определения вероятности в том, что для ее расчета не обязательно знать конечное число исходов.

Если классическое определение вероятности осуществляется априори (до опыта), то статистическое апосториори (после опыта по результатам).

Распределение частостей дискретного ряда, выраженных конечными числами, называется дискретным распределением вероятности .

Если осуществляются исследования массовых событий частостей, которые распределяются непрерывно и могут быть выражены какой-либо функцией, называются непрерывным распределением вероятности .

На графике такое распределение отражается непрерывной плавной линией, а площадь ограниченная этой линией и осью абсцисс всегда равна 1.

4. Теорема сложения  вероятностей.

Суммой или объединением событий Е1 и Е2, называют событием Е, состоящим в появлении события Е1 или Е2 или обоих этих событий.

Площадь прямоугольника – это пространство элементарных событий (число единственно возможных равновозможных исходов). Площади кругов Е1 и Е2 соответственно – это числа исходов благоприятствующих событиям Е1 и Е2 .

— число появлений исходов благоприятствующих событиям Е1 или Е2 или обоих этих событий.

То есть вероятность появления хотя бы одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий.

Данная формула является частным случаем теоремы сложения вероятностей .

Доказывается общий случай теоремы методом математической индукции, путем последовательной разбивки сложного события на пары.

Пример : По результатам наблюдения за продажей мужских костюмов получены следующие данные о вероятности продажи костюмов разных размеров.

Размер	48	50	52	54	56	58	60
Вероятность	0,16	0,22	0,2	0,19	0,07	0,05	0,02

 

Совокупность единственно возможных событий называется полной группой илиполной системой.

Сумма вероятностей событий, образующих полную систему равна 1.

образуют полную систему, тогда вероятность появления хотя бы одного события равна 1.

В то же время не совместны, тогда по теории сложения вероятностей .

Пример : Из каждых 10 посетителей магазина 6 не делают покупок.

Вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна 1.

Два единовременно возможных события, образующих полную группу, называютсяпротивоположными (например: орел и решка).

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Если случайное событие Е имеет весьма малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не произойдет. Если .

На практике весьма малой считается вероятность Р(Е)£0,1.

Игнорировать возможность появления редких событий в виду их малой вероятности на практике можно только в том случае, если это событие не имеет катастрофических последствий.

Если случайное событие имеет вероятность весьма близкую к 1, то в конкретном испытании это событие, скорее всего, произойдет.

5. Теорема умножения  вероятностей.

Два события считаютсянезависимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или не появления другого события.

Независимые события имеют место при повторном отборе, когда отобранная в первом испытании единица после регистрации исхода испытания возвращается в генеральную совокупность.

Вероятность совместного появления двух независимых событий Е1 и Е2 равна произведению их вероятностей.

n(E1 ) – число исходов благоприятных событию Е1 ;

n(E2 ) – число исходов благоприятных событию Е2 ;

n1 – число исходов благоприятных и неблагоприятных событию Е1 ;

n2 — число исходов благоприятных и неблагоприятных событию Е2 .

Поскольку каждый конкретный результат испытания может осуществиться в комбинации с любым другим возможным результатом испытания, вероятность совместного появления событий Е1 и Е2 можно определить по формуле:

Несколько событий называются совместно независимыми или независимыми в совокупности, если каждая из них и любая комбинация из них содержащая либо все остальные события, либо часть из них – есть события независимые.

Е1 Е2 Е3

Е1 и Е2 – независимы;

Е1 и Е3 – независимы;

Е2 и Е3 — независимы;

Е1 и Е2 Е3 – независимы;

Е2 и Е1 Е3 – независимы;

Е3 и Е1 Е2 — независимы.

Попарная независимость событий не означает их независимость совокупности, однако независимость событий в совокупности обуславливает их попарную независимость.

Вероятность совместного появления нескольких событий независимых в совокупностях равна произведению вероятностей этих событий.

Так же доказывается по методу математической индукции (то есть последовательным делением на пары),

Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий.

Произведение вероятностей противоположных событий позволяет определить вероятность их совместного появления, то есть вероятность того, что не произойдет ни одного из событий .

Но совместное появление противоположных событий и какого-либо из событий — составляют полную группу, при этом сумма вероятностей таких событий равна 1.

Пример : Вероятность приобретения женского платья составляет 0,09.

=0,09

=0,03 (пальто)

=0,02 (плащи)

Какова вероятность, что посетитель купит хотя бы одну из этих вещей?

Если события равновероятны, то есть ==, то равновероятные и противоположные им события q1 =q2 =…=qm, тогда вероятность появления хотя бы одного из этих событий .

Два события считаются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или не появления другого события. Такие события (зависимые) имеют место при бесповторном отборе (по схеме невозвращаемого шара), когда отобранная единица обратно в генеральную совокупность не возвращается.

С зависимыми событиями связана условная вероятность. Условной вероятностьюназывается вероятность события Е, исчисленная в предположении, что событие Е1 уже наступило.

Пример : Из колоды вынута карта «дама». Какова вероятность, что она будет черной масти.

, где — число исходов  благоприятствующих совместному  появлению событий Е и Е1, —  число исходов благоприятствующих  появлению события Е1 .

Зная числа элементарных исходов всегда можно рассчитать условную вероятность.

Пример : Вынута карта красной масти, какова вероятность, что это «дама»?

Если события Е и Е1 неравновероятны, то .

Непосредственный подсчет условной вероятности требует знания конечного числа исходов, поэтому более приемлемым на практике является расчет условной вероятности по формуле:

, где — вероятность  совместного наступления событий  Е и Е1; — вероятность наступления  события Е1 .

Данная формула не требует знания конечного числа исходов, хотя является полным аналогом, по сути, предыдущей формуле.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, исчисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Если , то .

Пример : Вероятность брака при поставке женской одежды составляет 0,015. Определить вероятность того, что проверенные наугад 2 платья из партии в 200 шт., окажутся стандартными.

q=0,015

N=200

Вероятность стандартных платьев ;

Количество стандартных платьев

Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности первого из них на условные вероятности остальных, исчисленные в предположении, что это и все предшествующие события уже произошли.

6. Следствие теорем  сложения и умножения вероятностей.

Площадь прямоугольника – это пространство элементарных всех событий. Площадь кругов Е1 и Е2 – числа исходов, благоприятствующих событиям Е1 и Е2 .

— число исходов, благоприятствующих совместному появлению событий Е1 и Е2 .

Допустим нас удовлетворяет появление только одного из двух событий Е1 и Е2. Если эти события не совместны, то их пересечение пустое множество Æ, а вероятность появления Е1 и Е2 несовместимых событий определяется по формуле:

.

Однако, при совместных событиях нас не удовлетворяет ситуация, когда оба события появляются одновременно. Вероятность такого исхода определяется по теореме умножения вероятностей.

Таким образом, вероятность появления событий Е1 и Е2 в общем случае можно рассчитать по формуле:

— для независимых событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.