Шпаргалки по статистике

8. Ряды распределения  и группировки.

Статистические  группировки и классификации  преследуют цели выделения качественно  однородных совокупностей, изучения структуры  совокупности, исследования существующих зависимостей. Каждой из этих целей  соответствует особый вид группировки: типологическая, структурная, аналитическая (факторная).

Типологическая группировка решает задачу выявления и характеристики социально-экономических типов (частных подсовокупностей). Структурная дает возможность описать составные части совокупности или строение типов, а также проанализировать структурные сдвиги. Аналитическая (факторная) группировка позволяет оценивать связи между взаимодействующими признаками. В зависимости от числа положенных в их основание признаков различают простые и сложные группировки. Группировка, выполненная по одному признаку, называется простой. Сложн группировка производится по двум и более признакам. Частным случаем сложн группировки явл комбинационная группировка, базирующаяся на 2-4 признаках, взятых во взаимосвязи, многомерная – свыше 6 признаков. Среди простых группировок особо выделяют ряды распределения. .Рядом распр-я наз. ряд цифровых показат-ей, представл-их распределение единиц сов-ти по одному сущ-му приз-ку, разновидности кот-го расположены в опред последоват.

Вариационные  ряды распределения состоят их двух элементов вариантов и частот.

Вариантами называются числовые значения колличественного признака в ряду распределения, они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными. Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда. Сумма всех частот называется объемом совокупности и определяет число элементов всей совокупности.

Ряды  распр-я могут быть образованы по качественному(атрибутивному) и колич-му пр-ку. В первом случае они наз. атрибутивными ,а во втором- вариационными.

Вариационные  ряды распр-ия по сп-бу постр-ия бывают дискретные и интервальные:

Дискр. вариац. ряд распр-я - группы сост-ны по признаку, изменяющемуся дискретно и приним-му только целые значения. Интервальный вариац. ряд распр-ия - группировачный признак, сост-ий групп-ки, может принимать в опред-ом интервале любые знач-ия. Число ед-ц частоты, приходящиеся на ед-цу инт-ла наз. плотностью распред-я. Ряд накопл-ых частот (кумулятивный)-показ-т число случаев ниже или выше опред-го уровня. Графич изображения ряда распред.: линейные, плоскостные диаграммы, гистограммы, куммулятивная кривая (изображ-ет ряд накопл-х частот) 

9. Средняя арифметическая  взвешенная.

При расчете  средних величин отдельные значения признака, который осредняется, могут  повторяться, поэтому расчет средней  величины производится по сгруппированным  данным. В этом случае речь идет об использовании  средней арифметической взвешенной, которая имеет вид: X средн = (EXi*fi)/ Efi

При расчете  средней по интервальному вариационному  ряду для выполнения необходимых  вычислений от интервалов переходят  к их серединам.

Расчет  средней по способу  моментов.Основан на свойствах средней арифметической. В качестве условного ноля – X0 выбирают середину одного из центральных интервалов, обладающего наибольшей частотой.Этот способ используется только в рядах с равными интервалами. 

10. Средняя гармоническая  простая и взвеш.

Средняя гармоническая. Эту среднюю  называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1. Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

К примеру, нам нужно вычислить  среднюю скорость двух автомашин, прошедших  один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней  гармонической, мы вычисляем среднюю  скорость:

В статист  практике чаще исп гармонич взвеш, формула кот имеет вид:

Данная  формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней  известен числитель, но неизвестен знаменатель.

Например, при расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных  единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных товаров. Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных  товаров: Вид товара Цена за единицу, руб.Сумма реализаций, руб.

а                        50                           500

б                        40                           600

с                        60                          1200 

Получаем 
 

Если здесь использовать формулу  средней арифметической, то можно  получить среднюю цену, которая будет  нереальна:  

11. Упрощенный расчет  средней арифм. (ср. ар.) (способ моментов).

Пользуясь св-ми ср. ар., ее можно рассчитать след. образом: 1) вычесть из всех вариант  постоянное число (лучше значение серединной варианты); 2) разделить варианты на постоянное число – на величину интервала; 3) частоты выразить в %. Вычисление ср. ар. первыми двумя способами  называется способом отсчета от условного  начала (способом моментов). Этот способ применяется в рядах с разными  интервалами. Ср. ар. в этом случае опред. по ф-ле:

           Где m – момент первого порядка; х₀ – начало отсчета; К – величина интервала. 

12. Мода и медиана.

Для определения структуры совокупности используют особые средние показатели, к которым относятся медиана  и мода, или так называемые структурные  средние.  Медиана (Ме) - это величина, которая соответствует варианту, находящемуся в середине ранжированного ряда. Для ранжированного ряда с нечетным числом индивидуальных величин (например, 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10) медианой будет величина, которая расположена в центре ряда, т.е. пятая величина. Для ранжированного ряда с четным числом индивидуальных величин (например, 1, 5, 7, 10, 11, 14) медианой будет средняя арифметическая величина, которая рассчитывается из двух смежных величин. Для нашего случая медиана равна (7+10) : 2= 8,5. То есть для нахождения медианы сначала необходимо определить ее порядковый номер (ее положение в ранжированном ряду) по формуле Nme=(n+1)/2, где n - число единиц в совокупности. Численное значение медианы определяют по накопленным частотам в дискретном вариационном ряду. Для этого сначала следует указать интервал нахождения медианы в интервальном ряду распределения. Медианным называют первый интервал, где сумма накопленных частот превышает половину наблюдений от общего числа всех наблюдений. Численное значение медианы обычно определяют по формуле-----à                                         где xМе - нижняя граница медианного интервала; i - величина интервала; S-1 - накопленная частота интервала, которая предшествует медианному; f - частота медианного интервала.

Модой (Мо) называют значение признака, которое встречается наиболее часто у единиц совокупности. Для дискретного ряда модой будет являться вариант с наибольшей частотой. Для определения моды интервального ряда сначала определяют модальный интервал (интервал, имеющий наибольшую частоту). Затем в пределах этого интервала находят то значение признака, которое может являться модой. Чтобы найти конкретное значение моды, необходимо использовать формулу

где xМо - нижняя граница модального интервала; iМо - величина модального интервала; fМо - частота модального интервала; fМо-1 - частота интервала, предшествующего  модальному; fМо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Мода  имеет широкое распространение  в маркетинговой деятельности при  изучении покупательского спроса, особенно при определении пользующихся наибольшим спросом размеров одежды и обуви, при регулировании ценовой политики.

13. Свойства средней  ариф. (ср. ар.)

1.Если из всех вариантов ряда (-) или ко всем вариантам (+) постоянное число, то ср. ар. соответственно уменьшится или увеличится на это число. .2.Если все варианты ряда умножить или разделить на постоянное число, то ср. ар. соответственно увеличится или уменьшится в это число раз.  3.Если все частоты увеличить или уменьшить в постоянное число раз, то средняя от этого не изменится. .

4.Сумма отклонений всех вариантов ряда от ср. ар. = 0. (Нулевое свойство средней). . 5. Σf_i=Σfix_i . Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты.

6.Сумма квадратов отклонений  всех вариантов ряда от ср. ар. < суммы квадратов их отклонений  от любого другого постоянного  числа. Средний квадрат отклонений  вариантов ряда от произвольного  числа А равен дисперсии + квадрат  разности между средней и числом  А.

Данное  св-во положено в основу метода наименьших  квадратов, кот. широко применяется  в исследовании стат. взаимосвязей. 

14. Виды дисперсий.  Правило их сложения.

Различают три вида дисперсий: общая; средняя внутригрупповая; межгрупповая. Общая дисперсия (s²_о) характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле s² _о = S (X – Xо средн)²*f / Sf, где Xо средн -  общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности. Средняя внутригрупп дисперс (s² _средн) свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (s²_i), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия (s²_i cредн): где ni - число единиц в группе. Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки. Эта дисперсия рассчитывается по формуле

где -  средняя величина по отдельной  группе. Все три вида дисперсии  связаны между собой: общая дисперсия  равна сумме средней внутригрупповой  дисперсии и межгрупповой дисперсии:

Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону (правилу), общая дисперсия, которая возникает  под влиянием всех факторов, равна  сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов. Благодаря правилу сложения дисперсий  можно определить, какая часть  общей дисперсии находится под  влиянием признака-фактора, положенного  в основу группировки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

15. Виды средних. Их исчисление.

16. Показатели вариации, применяемые в  статистике.

Вариация, т.е. несовпадение уровней одного и  того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и  помогает познать сущность изучаемого явления. Для измерения вариации в статистике применяют несколько  способов. Наиболее простым явл расчет показателя размаха вариации Н как разницы между Xmax  и Xmin:             H=Xmax - Xmin. Но размах вариации показывает лишь крайние значения признака. Повторяемость промежуточных значений здесь не учитывается. Среднее линейное отклонение d - среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня: d = S (Xi – X средн) / n. При повторяемости отдельных значений Х используют формулу средней арифметической взвешенной. В статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии:      δ = S (Xi – X средн)²/ n. Показатель s, равный √δ², называется средним квадратическим отклонением. Величина Mx = √(δ²/n)-средняя ошибка выборки и явля хар-кой отклонения выборочного среднего значения призн от его истинной средней величины. Показатель средней ошибки использ при оценке достоверности результатов выборочн наблюд. Коэфф осцилляции отражает относит колеблемость крайних значений признака вокруг средней: Ko = (R/X средн)*100%. Относительное линейное отключение характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины               Kd = (d средн/ X средн)*100%. Коэффициент вариации: V = (δ/X средн)*100% 

17. Простейшие приёмы  обработки рядов  динамики.