Шпаргалка по "Статистике"

y – квантиль t_y — такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей: y. t_y=F^-1(y), где F^-1(y) – функция, обратная функции распределения F(y).

0.25-квантиль  называется первым (или нижним) квартилем;

0.5-квантиль  называется медианой или вторым  квартилем;

0.75-квантиль  называется третьим (или верхним)  квартилем.

p-ой  перценти́лью называют квантиль уровня α = p / 100. При этом обычно рассматривают перцентили для целых p, хотя данное требование не обязательно. Соответственно, медиана является 50-ой перцентилью, а первый и третий квартиль — 25-ой и 75-ой перцентилями. В целом, понятия квантиль и перцентиль взаимозаменяемы, также, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная. Перцентили также называются процентилями или центилями.

Применение  АКФ и ВКФ в  геофизике

АКФ: 1) Оценка корреляционных свойств сигналов (аномалий) и помех. 2) Расчёты весовой функции и частотной характеристики оптимальных фильтров базируются на знании АКФ сигнала и помех. 3) Трансформация наблюденного поля. 4) Разделение наблюденного участка на однородные по статистическим характеристикам участки. 5) Оценка глубины залегания источников аномалий в магнито- и гравии разведкепо интервалам корреляции. 6) Проверка стационарности наблюдённого поля может быть осуществлена по отношению двух оценок дисперсии АКФ. 7) Оценка разрешающей способности сейсмической записи.

ВКФ: 1) Оценка корреляции свойств сигналов. 2) Оценка простирания сигналов 3) Оценка отношения сигнала/помеха

Вариант 7

Непараметрическая статистика.

В основе метода выделения сигналов на фоне помех лежит предположения о нормальности закона распределения. Но предположение о нормальном законе распределения помех не всегда имеет место на практике. Построение непараметрической статистики не требует предположения относительно вида распределения. При решении задачи обнаружения сигнала на фоне помех распределения последних может носить любой характер. Отказ при построении алгоритмов выделения сигналов от конкретного вида распределения помех, кстати, как и самих сигналов, если они представлены случайным процессом, позволит обнаружить сигналы в тех случаях, когда параметрические способы не являются эффективными. Использование непараметрических способов обработки геофизических данных связано с применением знаковых, ранговых и знаково-ранговых статистик.

Ранговые  коэффициенты корреляции и их значимость.

В том случае, когда определяется взаимосвязь между случайными величинами X,Y(физ. параметрами), распределёнными не по нормальному закону, а произвольно, зависимость между X и Y следует оценивать с помощью коэффициентов ранговой корреляции. Ранговая корреляция по Спирману. Отдельным значениям переменных присваиваются ранговые места. Коэффициент корреляции рангов Спирмэна (р) основан на рассмотрении разности рангов значений результативного и факторного признаков и может быть рассчитан по формуле , где D = Nx - Ny , т.е. разность рангов каждой пары значений х и у; n - число наблюдений. Коэффициенты ранговой корреляции весьма близки к соответствующим значениям коэффициентов Пирсона (исходные переменные имеют нормальное распределение). Ещё одним вариантом - ранговый коэффициент корреляции Кендала. В этом методе одна переменная представляется в виде монотонной последовательности в порядке возрастания величин; другой переменной присваиваются соответствующие ранговые места. Ранговый коэффициент корреляции Кендэла(τ) можно определить по формуле где S = P + Q.

Ряд Фурье в декартовых координатах.

Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда

, , , Числа a₀, a_n и b_n (n=1,2…) называются коэффициентами Фурье функции f.

Амплитудный и фазовый спектр

Для тригонометрической формы ряда Фурье вводится амплитуда  и фаза m-ой гармоники, связанные с коэффициентами Фурье соотношениями: ,

Распределение амплитуд гармонических составляющих сигнала  в зависимости от частоты (номера гармоники) называется амплитудным спектром, распределение фаз этих составляющих от частоты – фазовым спектром. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала являются линейчатыми, дискретными, они состоят из отдельных «линий», соответствующих дискретным частотам: 0; f1;2f1;f2 и т.д. Значение амплитудного и фазового спектров рассчитываются относительно принятого начала отчёта.

Вариант 8

Нормальный закон распределения случайной величины, плотность вероятности. Основные числовые характеристики и свойства

Плотность распределения 

Функция распределения  где и - параметры распределения. , При =0  и =1 получаем , . Причём Ф(-х)=1-Ф(х). Для нормального распределения почти всё отклонение от среднего , укладывается в интервале . Формула попадания случайной величины на заданный интервал (x1,x2). . Вероятности попадания случайной величины в интервалах , , : P1=

P2=

P3=

Способ  оценки диапазона возможных значений называется «правило трёх сигм». Асимметрия и эксцесс нормального закона равны нулю.

Ряд Фурье в полярных координатах

Амплитудный и фазовый спектр

Для тригонометрической формы ряда Фурье вводится амплитуда и фаза m-ой гармоники, связанные с коэффициентами Фурье соотношениями: ,

Тригонометрическая  форма ряда Фурье:

Распределение амплитуд гармонических составляющих сигнала в зависимости от частоты (номера гармоники) называется амплитудным спектром, распределение фаз этих составляющих от частоты – фазовым спектром. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала являются линейчатыми, дискретными, они состоят из отдельных «линий», соответствующих дискретным частотам: 0; f1;2f1;f2 и т.д. Значение амплитудного и фазового спектров рассчитываются относительно принятого начала отчёта.

Вариант 9

Равномерный закон распределения  случайной величины.

C плотностью

и функцией распределения 

Среднее значение и дисперсия случайной величины, распределённой по равномерному закону, равны соответственно MX=(a+b)/2 и DX=(b-a)²/12.

Вероятность попадания случайной величины в  интервал (x1,x2): P(x1<X<x2)=(x2-x1)/(a-b)

Асимметрия, ввиду симметрии плотности, равна  нулю, а эксцесс равен – 1,2;

Биноминальный закон

Биноминальное распределение - это распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р = const. Кроме события А может произойти также противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā) =1-р = q.

Вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз: ;

- число сочетаний появления события А. М(m)=np - математическое ожидание частоты появления события А при n независимых испытаниях; D(m)=npq - дисперсия частоты появления события А;

Закон Пуассона

Принимает последовательно значения X=0,1,2,…,m… с вероятностью и дискретной функции распределения

Для закона Пуассона =D=a, a – параметр распределения. Закон Пуассона ассиметричен и его асимметрия A= , а эксцесс E=1/a, т.е. распределение право асимметрично и имеет положительный эксцесс.

Метод наименьших квадратов.

f(x) эта  некая функция, конкретный вид  которой не известен, известен лишь ее общий вид. МНК позволяет зная общий вид функции найти ее конкретный вид (коэффициенты) который наилучшим образом вписывается в экспериментальные данные. Основная идея МНК состоит в том, чтобы при нахождении конкретного вида функции минимизировать сумму квадратов ошибок во всех исходных уравнениях. Иными словами нужно свести к минимуму функцию:

Выравнивание

Выравнивание  – замена нелинейной зависимости линейного вида и в обратном пересчёте параметров линейной регрессии. Таким образом, метод выравнивания заключается в следующем: предполагая, что между x и y существует зависимость определенного вида, находят некоторые величины и , которые при сделанном предположении оказываются связаны линейной зависимостью. Затем для заданных значений и вычисляют соответственные значения и и зображают их графически. Из графика легко увидеть, близка ли зависимость между и к линейной и, следовательно, подходит ли выбранная формула или нет.( →lny=lna+bx→Y=Ax+B)

Вариант 10

Основы выборочного метода изучения экспериментальных данных.

Суть  этого метода: если по результатам  изучения сравнительно небольшой ее части можно получить с достаточной  для практики достоверностью необходимую  информацию о всей совокупности, то нет необходимости в сплошном наблюдении. Часть объектов исследования, определенным образом избранная из более обширной совокупности, называется выборкой, а исходная совокупность, из которой взята выборка, — генеральной (основной) совокупностью. Число элементов в выборке называется объемом выборки (обозначается n).

Требование  к выборке

Важным требованием к выборке является ее репрезентативность, то есть правильная представимость в ней пропорций генеральной совокупности. Достижению репрезентативности может способствовать такая организация эксперимента, при которой элементы выборки извлекаются из генеральной совокупности случайным образом. Обычно в статистике различают три типа значений переменных: количественные, номинальные и ранговые.

Первичный ряд

Рядом распределения в статистике называется упорядоченное распределение

единиц  совокупности на группы по какому- либо варьирующему признаку.

Статистические  данные представлены в рядах распределения. Статистические данные без какой-либо систематизации образуют первичный  ряд.

Вариационный ряд

Вариационный  ряд последовательность каких-либо чисел, расположенная в порядке возрастания их величин. Например, В. р. чисел 1, —3, 8, 2 имеет вид —3, 1, 2, 8. Промежуток между крайними членами В. р. называют интервалом варьирования, а длину этого интервала — размахом.

Формы представления статистических данных.

Существует 3 основных формы представления статистических данных: 1)Текстовая – включение данных в текст, применяется при малом количестве цифровых данных; 2)Табличная – представление данных в таблицах; 3)Графическая – выражение данных в виде графиков.

Гистограмма

Гистограмма - один из вариантов столбиковой  диаграммы, позволяющий зрительно  оценить распределение статистических данных, сгруппированных по частоте  попадания в определенный (заранее заданный) интервал. Достоинства метода: 1)Наглядность, простота освоения и применения. 2)Управление с помощью фактов, а не мнений. 3)Позволяет лучше понять вариабельность, присущую процессу, глубже взглянуть на проблему и облегчить нахождение путей ее решения. Недостатки метода: Интерпретация гистограммы, построенная по малым выборкам, не позволяет сделать правильные выводы.

Ряд Фурье в комплексной  форме.

Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме: ,где , , . Комплексная форма ряда Фурье алгебраически проще и более симметрична. Поэтому, она часто используется в физике и прикладных расчетах.