Середны величини

       
 ,  
де - середнє значення досліджуваного явища;  
k - показник ступеня середньої;  
x - поточне значення (варіант) осредняемого ознаки;  
i-i-тий елемент сукупності;  
n - число спостережень (число одиниць сукупності).  

     Вибір форми середньої обумовлений вихідним співвідношенням, суть якого наводилася вище. Існує порядок розрахунку середньої величини:

     1. Визначення вихідного співвідношення для досліджуваного показника.

     2. Визначення відсутніх даних для розрахунку вихідного співвідношення.

     3. Розрахунок середньої величини.

     Розглянемо деякі види середніх, які найбільш часто використовуються в статистиці.  

1.2.1.  Середня арифметична

      Одним з найпоширеніших видів середньої  є середня арифметична. Вона застосовується у тих випадках, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності являє собою суму індивідуальних значень її окремих елементів. Середня арифметична розраховується за такою формулою: 

   

=

де n – кількість одиниць сукупності,

   x – варіруюча ознака.

         Для того щоб розрахувати середню арифметичну, потрібно скласти всі окремі варіанти (індивідуальні значення ознаки) і суму поділити на їхню кількість.

   Наприклад, відомо, що тарифний розряд робітників бригади, яка складається з восьми чоловік, становить : 3,4,3,5,4,5,4,4. Треба знайти середній рівень кваліфікації робітників бригади. Для цього складемо тарифний розряд кожного робітника і добуту суму поділимо на кількість робітників:

                                      =

      Середня арифметична буває двох видів – проста і зважена. 
 Проста середня арифметична застосовується у випадках, коли є окремі значення ознаки, тобто дані не згруповані. Якщо дані представлені у вигляді рядів розподілу або угруповань, то середня обчислюється інакше. 
Проста середня арифметична розраховується за такою формулою:  
              = ,  де n – кількість одиниць сукупності, x – варіруюча ознака.

Середня арифметична зважена обчислюється за формулою: 

=

   де  n – кількість одиниць сукупності, x – варіруюча ознака.

   Таким чином, середня арифметична зважена дорівнює сумі зважених варіантів ознаки, поділена на суму ваг. Вона застосовується в тих випадках, коли кожна варіанта ознаки зустрічається декілька (нерівну) кількість разів.  

   Приклад.   Знайти середній рівень кваліфікації робітників бригади.

     
 

                        

                                      
 
 
 

                           

Властивості середньої арифметичної :

1.Якщо  варіанти збільшити (зменшити) у  одне і те саме число разів,  то середня арифметична збільшиться  (зменшиться) у стільки ж разів. 

2.Якщо  варіанти збільшити (зменшити) на  одне і те саме число, то  середня арифметична збільшиться (зменшиться) на те саме число.

3.Якщо  окремі значення варіант збільшити  (зменшити) на величину А або  в k разів, то середня зміниться  відповідно. Наприклад, якщо грошові  внески громадян до ощадбанку  скоригувати на рівень інфляції, що становить 1,2, то середній розмір внеску збільшиться відповідно в 1,2 рази.

4. Середня суми (різниці) двох або декількох величин дорівнює сумі (різниці) їх середніх:

5. Загальний множник індивідуальних значень ознаки може бути винесений за знак середньою:

2.2.2. Середня гармонійна

      Середня гармонічна тісно пов’язана із середньою  арифметичною і обчислюється як відношення суми ознак до суми добутків цих ознак на обернені значення варіант.

     Середня гармонійна застосовується в тих випадках, коли нам не відомі самі варіанти, а відомі або їхні обернені числа або добуток одиниць сукупності на значення ознаки.

     Середню гармонійну використовують, наприклад, для визначення середніх затрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь за двома (трьома тощо) підприємствами, робітниками, які зайняти виготовленням одного й того ж виду продукції, однієї й тієї ж деталі.

Приклад. Маємо дані про витрати часу в годинах на виготовлення однієї деталі кожним з трьох робітників: ½, 1/3, 1/7. Треба обчислити середні витрати часу на виготовлення однієї деталі.

      

      Середня гармонійна буває зважена і проста.

     У випадку розрахунку середньої гармонійної зваженої її обчислюють тоді, коли відомі дані про загальний обсяг ознаки (z = xf), а також індивідуальні значення ознаки (х), невідома частота (f). Формули мають такий вигляд:

      . 
 

1.2.3. Середня геометрична

     Середню геометричну застосовують у тих випадках, коли обсяг сукупності формується не сумою, а добутком індивідуальних значень ознак. Цей вид середньої використовується здебільшого для обчислення середніх коефіцієнтів (темпів) зростання в рядах динаміки. Так, у випадку однакових часових інтервалів між рівнями динамічного ряду середня геометрична проста має такий вигляд:

     

     де  K - темпи зростання, n – кількість інтервалів.

Приклад. Кількість зареєстрованих злочинів за чотири роки зросла у 1,57 рази, у тому числі за перший рік – у 1,08; за другий – у 1,1; за третій – у 1,18; за четвертий – у 1,12 рази. Середньорічний темп зростання кількості зареєстрованих злочинів становить:

       = = =1,12 рази, тобто число зареєстрованих злочинів зростало щорічно у середньому на 12 %. 

1.2.4.Середня квадратична

     Середня квадратична використовується для  визначення показників варіації (коливання) ознаки – дисперсії та середнього квадратичного відхилення. Обчислюється на основі квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини. Формула:

• проста ;
• зважена

Середня квадратична найчастіше використовується при розрахунку показників варіації. 
 

1.2.5. Середня хронологічна

     Середня хронологічна величина дає більш точний розрахунок середньої величини і використовується для розрахунків у разі, якщо аналіз ведеться за період більший, ніж один. Широко застосовується в рядах динаміки, у соціально-економічній статистиці для визначення середньої чисельності населення й середнього розміру залишків, а також для інших показників, які обчислюються на певні моменти часу. Розраховується за формулою: 

=

де  х - варіанти значень, n-кількість показників.

Приклад. У комерційному банку сума кредиторської заборгованості на початок кожного кварталу становила, млн. гр. од.: 1.01. – 20; 1.04. – 26; 1.07. – 32; 1.10. – 29; 31.12. – 22. Середньоквартальна сума кредиторської заборгованості складає: 

                     

                                 

1.2.6. Структурні середні величини

     Для визначення структури сукупності використовують особливі середні показники, до яких відносяться медіана і мода, або так звані структурні середні. Якщо середня арифметична розраховується на основі використання всіх варіантів значень ознаки, то медіана і мода характеризують величину того варіанту, який займає певний середнє положення в ранжируваному варіаційної ряду.

     Мода(Мо) – це величина, яка найчастіше трапляється в даній сукупності. Моду широко використовують у комерційній діяльності, в соціологічних дослідженнях, коли вивчають ринковий попит, встановлюють рейтинг популярності осіб чи товарів. У дискретному ряді моду легко відшукати візуально, бо це варіанта, якій відповідає найбільша частота. 

     Наприклад, під час реєстрації жіночого взуття,проданого протягом одного дня в одній із секцій магазину, було встановлено, що найбільш ходовим у день реєстрації виявився розмір 23,5, тобто Мо=23,5 

   

    В інтервальному ряді легко відшукається лише модальний інтервал, а сама мода визначається приблизно за формулою: 
 

   де  Х_мо - початкове значення інтервалу, що містить моду; h_M0- величина модального інтервалу; f₂- частота модального интервала; f₁- частота интервала, предшествующего модальному; f₃- частота интервала, следующего за модальным.

   Приклад. За даними таблиці найбільшим попитом користуються акції з терміном обертання в інтервалі 4 – 6 місяців. Це модальний інтервал, ширина якого і_Мо=2, а нижня межа х_Мо=4, частота f_Mo=29, передмодальна частота

f_Mo-1=13, а післямодальна частота f_Mo+1=22. Модальний термін обертання облігацій становить: