Ряды динамики

При сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения (формулы 25):

 

                                    (25)

 

Для последних двух точек  ряда расчет сглаженных значений полностью  симметричен сглаживанию в двух начальных точках .

Формулы расчета по скользящей средней выглядят , в частности , следующим образом (формула 26):

 

для 3--членной    .                                 (26)

 

3. Аналитическое выравнивание . Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления . Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий , суммарный , проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов . Отклонение конкретных уровней ряда от уровней , соответствующих общей тенденции , объясняют действием факторов , проявляющихся случайно или циклически . В результате приходят к трендовой модели , выраженной формулой 27:

 

                                       ,                                     (27)

 

где f(t) – уровень , определяемый тенденцией развития ;

        -- случайное  и циклическое отклонение от  тенденции. 

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение  аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса .

Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости :

линейная  ;

параболическая  ;

экспоненциальная 

или ).

1. Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к снижению.
2. Параболическая зависимость используется , если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития , но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют .
3. Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.).

Оценка параметров ( ) осуществляется следующими методами :

1. Методом избранных точек,
2. Методом наименьших расстояний,
3. Методом наименьших квадратов (МНК)

В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов , который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических  уровней от выравненных :

.

Для линейной зависимости ( ) параметр обычно интерпретации не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный уровень ряда ; -- сила связи , т. е. параметр , показывающий , насколько изменится результат при изменении времени на единицу . Таким образом , можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост .

Построив уравнение  регрессии , проводят оценку его надежности . Это делается посредством критерия Фишера (F) . Фактический уровень ( ) , вычисленный по формуле 28, сравнивается с теоретическим (табличным) значением :

 

           ,         (28)

 

где k -- число параметров функции , описывающей тенденцию;

n             -- число уровней ряда ;

Остальные необходимые  показатели вычисляются по формулам 29 – 31 :

 

                                                                  (29)

 

                                          (30)

 

                                              (31)

 

сравнивается с при степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если > , то уравнение регрессии значимо , то есть построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

 

 

4. Анализ сезонных колебаний 

Уровень сезонности оценивается  с помощью :

1. индексов сезонности ;
2. гармонического анализа.

Индексы сезонности показывают , во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня , вычисляемого по уравнению тенденции f(t) . При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет . Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года . Индексы сезонности – это , по либо уровень  существу , относительные величины координации , когда за базу сравнения принят либо средний уровень ряда , либо уровень тенденции . Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции .

Если тренда нет или  он незначителен , то для каждого  месяца (квартала) индекс рассчитывается по формуле 32:

 

                                                                                  (32)

 

где -- уровень показателя за месяц (квартал) t ;

       -- общий уровень показателя .

Как отмечалось выше , для  обеспечения устойчивости показателей  можно взять больший промежуток времени . В этом случае расчет производится по формулам 33 :

 

                                       (33)

 

где -- средний уровень показателя по одноименным месяцам за ряд лет ;

          Т     -- число лет .

При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов , исключающих влияние тенденции . Порядок расчета следующий :

1. для каждого уровня определяют выравненные значения по тренду f(t);
2. рассчитывают отношения ;
3. при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) по формуле 34 :

 

                   ,(Т -- число лет).                 (34)

 

Другим методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ . Его выполняют , представляя временной ряд как совокупность гармонических колебательных процессов .

Для каждой точки этого  ряда справедливо выражение , записанное в виде формулы 35 :

 

                 (35)

 

при t = 1, 2, 3, ... , Т.

Здесь   -- фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t;

f(t)     – выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t

      -- параметры колебательного  процесса (гармоники) с номером n , в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки .

Общее число колебательных процессов , которые можно выделить из ряда , состоящего из Т уровней , равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных гармоник . Параметры гармоники с номером n определяются по формулам 36 –38 :

 

1. ;                                                                       (36)

 

2.                                                      

                                                                                                       (37)

     при n=1,2,...,(T/2 – 1);

 

 

3)                                        (38)

 

 

4. Анализ взаимосвязанных рядов динамики .

В простейших случаях  для характеристики взаимосвязи  двух или более рядов их приводят к общему основанию , для чего берут в качестве базисных уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по темпам роста или прироста .

Коэффициенты опережения по темпам роста – это отношение  темпов роста (цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или базисным) другого ряда . Аналогично находятся и коэффициенты опережения по темпам прироста .

Анализ взаимосвязанных  рядов представляет наибольшую сложность  при изучении временных последовательностей . Однако нередко совпадение общих тенденций развития может быть вызвано не взаимной связью , а прочими неучитываемыми факторами . Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно следует избавиться от влияния существующих в них тенденций , а после этого провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда . Исследование включает проверку рядов динамики (отклонений) на автокорреляцию и установление связи между признаками .

Под автокорреляцией  понимается зависимость последующих  уровней ряда от предыдущих . Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию Дарбина – Уотсона (формула 39) :

 

                                    ,                                (39)

 

где -- отклонение фактического уровня ряда в точке t от теоретического (выравненного) значения .

При К = 0 имеется полная положительная автокорреляция , при  К = 2 автокорреляция отсутствует , при  К = 4 – полная отрицательная автокорреляция . Прежде чем оценивать взаимосвязь , автокорреляцию необходимо исключить . Это можно сделать тремя способами .

1. Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных рядов динамики Х и У получают уравнение тренда (формулы 40) :

 

                                                                          (40)

 

Далее выполняют переход  к новым рядам динамики , построенным  из отклонений от трендов , рассчитанным по формулам 41 :

 

                                                                         (41)

 

Для последовательностей выполняется проверка на автокорреляцию по критерию Дарбина – Уотсона . Если значение К близко к 2 , то данный ряд отклонений оставляют без изменений . Если же К заметно отличается от 2 , то по такому ряду находят параметры уравнения авторегрессии по формулам 42 :

             

                                                                   (42)

 

Более полные уравнения  авторегрессии можно получить на основе анализа автокорреляционной функции , когда определяются число параметров ( ) и соответствующие этим параметрам величины шагов .

Далее по формуле 43 подсчитываются новые остатки :

 

                  (t = 1, ... , Т)               (43)

 

и , по формуле 44, коэффициент корреляции признаков :

 

                                              .                                   (44)

 

2. Корреляция первых разностей . От исходных рядов динамики Х и У переходят к новым , построенным по первым разностям (формулы 45) :

 

                                                            (45)

 

По DХ и DУ определяют по формуле 46 направление и силу связи в регрессии:

 

                                                  (46)

 

3. Включение времени в уравнение связи : .

В простейших случаях  уравнение выглядит следующим образом (формула 47):

 

                                                              (47)

 

Из перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым является второй , однако более эффективен первый .