Ряды динамики

Для количественной оценки динамики социально – экономических явлений  применяются статистические показатели : абсолютные темпы роста и прироста , темпы наращивания и т. д.

В основе расчета показателей рядов  динамики лежит сравнение его  уровней . В зависимости от применяемого способа сопоставления показатели динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения .

Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем . Исчисляемые при этом показатели называются базисными . Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим . Такие показатели называются цепными .

Способы расчета показателей динамики рассмотрим на данных товарооборота  магазина в 1987 – 1991 гг. (см. таб. 2).

Абсолютный прирост – важнейший  статистический показатель динамики , определяется в разностном соотношении , сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации . Бывает цепной и базисный :

1. Базисный абсолютный прирост определяется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем , принятым за постоянную базу сравнения (формула 1):

 

                                                                                                         (1)                                                                

 

2. Цепной абсолютный прирост  – разность между сравниваемым уровнем и уровнем , который ему предшествует, (формула 2):

 

                                                                          (2)

 

Абсолютный прирост может иметь  и отрицательный знак , показывающий , насколько уровень изучаемого периода  ниже базисного .

Между базисными и абсолютными  приростами существует связь : сумма  цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту последнего ряда динамики   (формула 3):

                                 

                                                                            (3)

 

Ускорение – разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период равной длительности (формула 4):

 

                                                                     (4)

 

Показатель абсолютного ускорения  применяется только в цепном варианте , но не в базисном . Отрицательная  величина ускорения говорит о  замедлении роста или об ускорении  снижения уровней ряда .

Темп роста – распространенный статистический показатель динамики . Он характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах .

1. Базисные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на уровень , принятый за постоянную базу сравнения , по формуле 5 :

                                                                                                       (5)

 

2. Цепные темпы роста  исчисляются делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень (формула 6):

         

                                                                                         (6)

 

Если темп роста больше единицы (или 100%) , то это показывает на увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным . Темп роста ,равный единице (или 100%) , показывает , что уровень изучаемого периода по сравнению с базисным не изменился . Темп роста меньше единицы (или 100%) показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с базисным. Темп роста всегда имеет положительный знак .

Между базисными и цепными темпами  роста имеется взаимосвязь : произведение последовательных цепных темпов роста  равно базисному темпу роста , а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста .

Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах . Исчисленный в процентах темп прироста показывает , на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню , принятому за базу сравнения .

1. Базисный темп прироста вычисляется делением сравниваемого базисного абсолютного прироста на уровень , принятый за постоянную базу сравнения (формула 7):

 

                                                                                     (7)

 

2. Цепной темп прироста -- это отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню (формула 8):

 

                                      = :                                              (8)  

 

Между показателями темпа  роста и темпа прироста существует взаимосвязь , выраженная формулами 9 и 10:

 

                    (%) = (%) -- 100                                              (9)

 

(при выражении темпа роста  в процентах).

 

                    = -- 1                                                          (10)

 

(при выражении темпа роста  в коэффициентах).

Формулы (7) и (8) используют для нахождения темпов прироста по темпам роста .

Важным статистическим показателем  динамики социально – экономических  процессов является темп наращивания , который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание  во времени экономического потенциала .

Вычисляются темпы наращивания  Тн делением цепных абсолютных приростов  на уровень , принятый за постоянную базу сравнения , по формуле 11:

 

                                                                                                     (11)

 

 

2.2 Средние показатели  в рядах динамики 

Для получения обобщающих показателей  динамики социально -- экономических  явлений определяются средние величины : средний уровень , средний абсолютный прирост , средний темп роста и прироста и пр.

Средний уровень ряда динамики характеризует  типическую величину абсолютных уровней .

В интервальных рядах  динамики средний уровень у определяется делением суммы уровней  на их число n (формула 12):

 

                                                                                     (12)

 

В моментном ряду динамики с равноотстоящими датами времени  средний уровень определяется по формуле 13:

 

                                                            (13)

 

В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний  уровень определяется по формуле 14:

 

                                                 ,                                 (14)

где – уровни ряда динамики , сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени .

Средний абсолютный прирост  представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики . Для определения среднего абсолютного прироста сумма цепных абсолютных приростов делится на их число n (формула 15):

 

                                                                          (15)

 

Средний абсолютный прирост  может определяться по абсолютным уровням  ряда динамики . Для этого определяется разность между конечным и базисным уровнями изучаемого периода , которая делится на m – 1 субпериодов (формула 16):

 

                                                                             (16)

 

Основываясь на взаимосвязи  между цепными и базисными  абсолютными приростами , показатель среднего абсолютного прироста можно определить по формуле 17:

 

                                                                                 (17)

Средний темп роста –  обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики . Для определения среднего темпа роста применяется формула 18:

 

                                                        (18)

 

где Тр1 , Тр2  , ... , Трn -- индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n -- число индивидуальных темпов роста.

Средний темп роста можно  определить и по абсолютным уровням  ряда динамики по формуле 19:

 

                                                                         (19)

  

На основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста средний темп роста можно определить по формуле 20:

 

                                                                           (20)

 

Средний темп прироста можно  определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста . При наличии данных о средних темпах роста для получения средних темпов прироста используется зависимость , выраженная формулой 21:

 

                                                                                (21)

 

(при выражении среднего  темпа роста в коэффициентах)

    

3. Проверка ряда на наличие тренда. Непосредственное выделение тренда

Изучение тренда включает в себя два основных этапа :

1. Ряд динамики проверяется на наличие тренда
2. Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов .

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям .

1. Метод средних . Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два) , для каждого из которых определяется средняя величина ( ) . Выдвигается гипотеза о существенном различии средних . Если эта гипотеза принимается , то признается наличие тренда .
2. Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура) . Суть его заключается в следующем : наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае , если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).
3. Критерий Кокса и Стюарта . Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае , когда число уровней ряда не делится на три , недостающие уровни надо добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп .
4. Метод серий . По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов : например , если уровень ряда меньше медианного значения , то считается , что он имеет тип А , в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов . В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов одинакового типа , с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).

Если в ряду динамики общая тенденция к росту или  снижению отсутствует , то количество серий является случайной величиной , распределенной приближенно по нормальному  закону (для n > 10) . Следовательно , если закономерности в изменениях уровней нет , то случайная величина R оказывается в доверительном интервале

 

.

 

Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р.

Среднее число серий  вычисляется по формуле 22 :

 

                                           .                                  (22)

 

Среднее квадратическое отклонение числа серий вычисляется  по формуле 23 :

 

                                          .                             (23)

 

здесь n -- число уровней ряда .

Выражение для доверительного интервала приобретает вид 

 

 

Полученные границы  доверительного интервала округляют  до целых чисел , уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю .

Непосредственное  выделение тренда может быть произведено тремя методами .

1. Укрупнение интервалов . Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов . Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления , переходят к расчету уровней за большие промежутки времени , увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов) .
2. Скользящая средняя . В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами , которые получают из данного уровня и нескольких  симметрично его окружающих . Целое число уровней , по которым рассчитывается среднее значение , называют интервалом сглаживания . Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или четным (2,4,6 и т.д. точек).

При нечетном сглаживании  полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала , при четном это делать нельзя . Поэтому при обработке  ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными , для чего образуют ближайший больший нечетный интервал , но из крайних его уровней берут только 50%.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения  сглаженных уровней для точек  в начале и конце ряда . Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной . Так , при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле 24 :

 

                       .                              (24)

 

Для последней точки расчет симметричен .