Понятие статистики

Асимметрия  распределения

Нормированный момент третьего порядка является показателем  асимметрии распределения:

   _{Степень существенности асимметрии характеризуется  средней квадратической ошибкой:}

   _{Если  , то асимметрия существенна.} 

   В качестве показателя асимметрии применяется также коэффициент асимметрии Пирсона:

При симметричном распределении (напр., нормальном) As= 0, 

При левосторонней  асимметрии распределения   As < 0,

При правосторонней асимметрии распределения  As > 0,

Эксцесс распределения

   Показатель  эксцесса рассчитывается:

   При нормальном распределении   Ex = 0

   При островершинном распределении  Ex > 0

   При плосковершинном  распределении  Ex < 0

  Степень существенности эксцесса характеризуется  средней квадратической ошибкой:

ВЫБОРОЧНЫЙ  МЕТОД В ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

По  времени проведения           По источникам сведений По степени охвата совокупности 
 

Ошибкой статистического  наблюдения считается величина отклонения между расчетным и фактическим значениями признаков изучаемых объектов.

В зависимости  от причин возникновения ошибок различают:

• ошибки репрезентативности;
• ошибки регистрации:

• преднамеренные;
• непреднамеренные:

• случайные;

• систематические (тенденциозные).

Причины возникновения ошибок:

• отсутствие данных по некоторым единицам совокупности;
• неправильное заполнение бланков;
• ошибки методологии;
• неточности и ошибки кодирования и расчетов;
• намеренное сокрытие данных.

      Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора. При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно 5-10%, реже до 25%).

      Значение  выборочного метода состоит в  том, что при меньшей численности  обследуемых единиц проведение исследования осуществляется с меньшими затратами и в более короткие сроки, повышая оперативность статистической информации.

      Подлежащая  изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части  единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью (или выборкой).

Виды  выборки:

1. Собственно-случайная.
2. Механическая.
3. Типическая (стратифицированная).
4. Серийная (гнездовая).

Используются  два способа отбора:

• Повторный
• Бесповторный.

Характеристики  выборочной совокупности и их распространение  на генеральную совокупность.

   При использовании выборочного метода обычно применяют два основных вида обобщающих показателей:

• относительную величину альтернативного признака
• среднюю величину количественного признака.

   Основная  задача выборочного исследования –  на основе характеристик выборочной совокупности получить достоверные  суждения о показателях генеральной  совокупности. 

P= p

где

Р - генеральная доля (доля единиц, обладающих изучаемым признаком, в генеральной совокупности),

p - выборочная доля (доля единиц, обладающих изучаемым признаком, в выборочной совокупности),

-  генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности)

- выборочная  средняя (среднее значение признака в выборочной совокупности)

μ – среднеквадратическая (средняя) ошибка выборки

t - коэффициент доверия, определяется в зависимости от того, с какой вероятностью надо гарантировать результаты выборочного обследования. Конкретные значения коэффициента доверия t определяются с помощью таблицы функции А.М.Ляпунова функции: 

     Величина  называется предельной ошибкой выборки Δ:

Δ_p =

Δ_x =

     Оптимальная численность выборки для повторного отбора:

     Оптимальная численность выборки для бесповторного отбора:

      Для оценки неизвестной величины σ² (дисперсии в генеральной совокупности) используются следующие способы:

• пробное обследование небольшого объема
• использование данных прошлых выборочных обследований, проводившихся в аналогичных целях
• если распределение признака в генеральной совокупности можно отнести к нормальному закону распределения, то σ≈R/6, где R – размах вариации.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ  МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ВЗАИМОСВЯЗИ  СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ  ЯВЛЕНИЙ

      Между общественными явлениями существует два типа связи:.

- Функциональная связь изменение независимых переменных приводит к получению точно определенных значений зависимой переменной.

-  Корреляционная связь – связь, проявляющаяся при достаточно большом числе наблюдений в виде определенной зависимости между средним значением результативного признака и признаками-факторами. 

Изучение корреляционных связей сводится в основном к решению  следующих задач:

• выявление наличия (или отсутствия) корреляционной связи между изучаемыми признаками;
• измерение тесноты связи между двумя (и более) признаками с помощью специальных коэффициентов;
• определение уравнения регрессии – математической модели, в которой среднее значение результативного признака  у  рассматривается как функция факторных признаков.

Задача  корреляционного  анализа – измерение тесноты связи между варьируемыми признаками и оценка факторов, оказывающих наибольшее влияние.

Задача  регрессионного анализа – выбор типа модели (формы связи), устанавливающих степени влияния независимых переменных.

      1. Наличие данных по достаточно большой совокупности явлений (число наблюдений должно быть в 5-6 больше числа факторов).

      2. Качественная однородность тех  единиц, которые подвергаются изучению методами корреляционно-регрессионного  анализа.

      3. Однородность исследуемой совокупности по комплексу признаков.

      4. Включаемые в исследование факторы  должны быть независимы друг от друга

      5. Нормальный характер распределения изучаемых признаков. На практике эта предпосылка выполняется приближенно. 

   Различают:

• парную корреляцию – это зависимость между результативным и факторным признаком (однофакторный корреляционно-регрессионный анализ);
• частную корреляцию – это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков;
• множественную – многофакторное влияние в статической модели (многофакторный корреляционно-регрессионный анализ).

Однофакторный корреляционно-регрессионный анализ (КРА)

а) корреляционный анализ 

     Оценка  тесноты связи в случае парной линейной корреляционной связи:

Принимает значения в интервале  –1 ≤ r ≤ 1. Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные – прямую. При r=0 линейная связь отсутствует. Чем ближе r по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. При r= 1 связь функциональная.

     Оценка существенности (значимости) коэффициента корреляции:

Коэффициент корреляции признается значимым при  уровне значимости и при ν степеней свободы (ν= n-2, n – объем выборки),   если t_расч>t_табл.

Уровень значимости показывает вероятность принятия ошибочного решения (в социально-экономических исследованиях обычно =0,1, =0,05 или =0,01).

     Коэффициент детерминации r² показывает долю вариации результативного признака, объясненную влиянием вариации факторного признака.

Однофакторный корреляционно-регрессионный  анализ (КРА)

б) регрессионный анализ

     Уравнение однофакторной парной линейной регрессии:

                             ŷ=a₀+a₁x,                     

где

ŷ – теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

a₀, a₁ – параметры уравнения регрессии

Примечание. Виды нелинейной однофакторной парной регрессии:

показательная  ;

степенная  ;

параболическая  ;

гиперболическая  .  

     Оценка  параметров уравнения однофакторной парной линейной регрессии:

1) методом наименьших квадратов (МНК): Σ(y_i - ŷ _i)² à min

Приравняв частные производные нулю, получают систему уравнений:

                     na₀ + a₁ Σx= Σy

                    a₀ Σx+ a₁ Σx²= Σxy 

отсюда  получают значения параметров. 

2) с  использованием линейного коэффициента  корреляции:

      Параметр  a₁ называется коэффициентом регрессии, он показывает, насколько в среднем изменяется величина результативного признака (в его единицах измерения) при изменении  факторного признака на единицу.

      Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится величина результативного признака при изменении факторного признака на 1%:

Многофакторный  корреляционно-регрессионный  анализ (КРА)

      Стадии  отбора факторов для включения в  модель:

      1) осуществляется анализ и выявление  факторов, влияющих на вариацию  изучаемого признака (результативного признака)

      2) производится отсев части факторов. Условием включения факторных признаков в регрессионную модель является наличие тесной связи между результативным и факторными признаками и как можно менее существенная связь между факторными признаками.

      Между факторными признаками может существовать значительная линейная связь, что приводит к недопустимому искажению параметров регрессии (такое явления называется мультиколлинеарность). Для выявления и устранения мультиколлинеарности составляется матрица парных коэффициентов корреляции, измеряющих тесноту связи каждого признака-фактора с результативным признаком и между собой. Анализ таблицы ведется с учетом критериев:

      где

       - парный коэффициент корреляции между j-м и k-м факторами (как правило, для включения в модель требуется, чтобы <0,8)

       - парный коэффициент корреляции между результативным признаком и j-м фактором  (как правило, для включения в модель требуется, чтобы >0,4)

       - парный коэффициент корреляции между результативным признаком и k-м фактором 

      Если  приведенные неравенства (или хотя бы одно из них) не выполняются, то из модели исключается тот фактор х_j или х_k связь которого с результативным признаком у будет менее тесной.

      3) производится окончательный отбор  факторов путем анализа значимости  различных вариантов уравнений  с использованием критерия Стьюдента:  t_расч>t_табл 

      При многофакторном корреляционном и регрессионном анализе оцениваются параметры линейного уравнения вида:

       =a₀+a₁x₁+а₂х₂+…+а_кх_к

      Совокупный коэффициент множественной корреляции R - показатель тесноты связи между результативным и двумя и более факторными признаками, который в общем случае определяется по формуле

где 

        – общая дисперсия значений результативного признака y, характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов (учтенных и неучтенных);

        – факторная дисперсия значений результативного признака y, отражает влияние учтенных факторов  на вариацию у;

        – остаточная дисперсия значений результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех прочих факторов, неучтенных при моделировании. 

      Частные коэффициенты корреляции применяются для оценки вклада во множественный коэффициент корреляции каждого из факторов, позволяют установить степень тесноты связи между результативным признаком и каждым из факторных признаков при исключении искажающего влияния других факторных признаков:

где 

        – общая дисперсия эмпирических значений  y, характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов (учтенных и неучтенных);

        – факторная дисперсия теоретических значений результативного признака, отражает влияние всех учтенных факторов  на вариацию у;

        – факторная дисперсия теоретических значений результативного признака, отражает влияние учтенных факторов, за исключением x₁,  на вариацию у;

        – остаточная дисперсия значений результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех прочих факторов, неучтенных при моделировании, и фактора x₁. 

      Совокупный  коэффициент множественной детерминации R² показывает, какая доля вариации изучаемого показателя объясняется влиянием факторов, включенных в уравнение множественной регрессии.

      Значимость коэффициента множественной детерминации, а соответственно и адекватность всей модели и правильность выбора формы связи можно проверить с помощью критерия Фишера:

где R²  – коэффициент множественной детерминации (R² );

      k  – число факторных признаков, включенных в уравнение регрессии.

Связь считается существенной, если расчетное значение F-критерия больше табличного значения для заданного уровня значимости  α и числе степеней свободы v₁ = k, v₂ = n – k – 1: F_расч > F_табл .

РЯДЫ  ДИНАМИКИ И ИХ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

     Рядами  динамики называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления во  времени. В каждом ряду динамики имеются два основных элемента:

1. показатель времени t. В качестве показателей времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты) времени, либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).
2. соответствующие им уровни развития изучаемого явления y. Уровнями ряда динамики называются отдельные наблюдения этого ряда. Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными и средними величинами.

Выделяют:

- моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни  и те же единицы изучаемой совокупности.

- интервальные ряды динамики отображают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени. Каждый уровень интервального ряда складывается из данных за более короткие интервалы.

-  производные ряды – ряды, уровни которых представляют собой не непосредственно наблюдаемые значения, а производные величины (относительные).

Система статистических показателей измерения динамики явлений

     Для количественной оценки динамики социально-экономических  явлений применяются статистические показатели: абсолютные приросты, темпы роста и прироста, темпы наращивания.

     Для расчета показателей рядов динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.

     Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели динамики называются цепными.

Показатели динамики социально-экономических явлений

Взаимосвязь показателей:

        ∑ Δу_цi =

           (при выражении темпа роста в процентах).

              (при выражении темпа роста в форме коэффициента)

• Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.

            В интервальных рядах динамики 

            В моментном ряду динамики с равностоящими датами

            В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами

• Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики.

• Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики, применяется формула средней геометрической:

где Тр_ц1, Тр_ц2, …,  Тр_цn-1 – индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах),

m – число индивидуальных темпов роста (m=n-1, где n - число уровней ряда).

или

где n – число уровней ряда

• Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста

основной  тенденции развития (тренда)

    Основная  тенденция (тренд) – изменение, определяющее общее направление развития, это систематическая составляющая долговременного действия.

    Методы  выявления тренда:

1) Метод укрупнения интервалов: основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление роста)  основной тенденции развития,  в то время как слишком малые интервалы между наблюдениями приводят к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию.

2) Метод скользящей средней: исчисляется средней уровень из определенного числа (обычно нечетного) первых по счету уровней ряда, затем - из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя “скользит” по ряду динамики, передвигаясь на один срок. Недостатком сглаживания ряда является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а, следовательно, потеря информации.

3) Аналитическое выравнивание ряда динамики используется для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени. Общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

ŷ_t=f(t), 

где ŷ_t- уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

      Простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

ŷ_t=a₀+a₁t   - линейная функция

ŷ_t=a₀ a₁^t   - показательная функция           

ŷ_t=a₀+a₁t+a₂t² - степенная функция-кривая второго порядка (парабола) 

   и др.

      Параметры a_i регрессионного уравнения могут быть найдены решением системы нормальных уравнений по МНК. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни.

      Выравнивание  ряда динамики заключается в замене фактических уровней y_i плавно изменяющимися уровнями ŷ_t, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

     Периодические колебания - результат влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также многочисленных и разнообразных факторов, которые часто являются регулируемыми. В широком понимании к сезонным относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии четко выраженную закономерность внутригодовых изменений, т.е. более или менее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней.

     Динамический  ряд в этом случае называют сезонным рядом динамики.

     Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригрупповых уровней к теоретическим уровням, выступающим в качестве базы сравнения. Для расчета индекса сезонности исходные данные берут за несколько лет и:

1. для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня
2. затем вычисляют среднемесячный уровень для всего ряда за несколько лет
3. определяют показатель сезонной волны - индекс сезонности i_s как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, %:

I_s=(`y<sub>i</sub> /`y)*100,

где ` средний уровень для каждого месяца,   -среднемесячный уровень для всего ряда

ИНДЕКСЫ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ 

В ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Статистический  индекс – это относительная величина сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой по отдельности не подлежат суммированию.

      Индексируемая величина - значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения.

     Способы построения индексов зависят от содержания изучаемых показателей, методологии расчета исходных статистических показателей, имеющихся в распоряжении исследователя статистических данных и целей исследования.

     По  степени охвата элементов совокупности различают 

• Индивидуальные индексы (обозначаются буквой i) характеризуют изменение только одного элемента совокупности.
• Сводный (общий) индекс (обозначается I) отражает изменение по всей совокупности элементов сложного явления.

     В зависимости от содержания и характера  индексируемой величины различают

• индексы количественных (объемных) показателей (например, индекс физического объема продукции)
• индексы качественных показателей (например, индексы цен, себестоимости).

     В зависимости от методологии расчета  различают 

• агрегатные индексы
• средние из индивидуальных индексов (или преобразованную форму индексов), которые в свою очередь делятся на

              - средние арифметические

              - средние гармонические. 

     Если  сравнивают друг с другом не два  момента (периода) времени, а более, то выделяют цепную и базисную систему индексов.

Свойства и основные задачи применения индексов в экономико-статистических исследованиях

     Индексы обладают синтетическими и аналитическими свойствами:

• Синтетические свойства: посредством индексного метода производится соединение (агрегирование) в целое разнородные единиц статистической совокупности.
• Аналитические свойства: посредством индексного метода определяется влияние факторов на  изменение изучаемого показателя.

     С помощью индексных показателей решаются следующие задачи:

1) характеристика общего изменения сложного экономического показателя или формирующих его отдельных показателей-факторов;

2) выделение  в изменении сложного показателя  влияния одного из факторов  путем элиминирования влияния  других факторов.

      Динамика  одноименных явлений изучается  с помощью индивидуальных индексов

                - индивидуальный индекс физического объема продукции

               - индивидуальный индекс цен

               - индивидуальный индекс товарооборота

где  подстрочное обозначение «0» соответствует  уровню базисного периода (с которым  сравнивают) или момента времени, «1» - уровню отчетного (сравниваемого) периода или момента времени.

     Основной  формой сводных (общих) индексов являются агрегатные индексы. В числителе и знаменателе общих индексов в агрегатной форме содержатся соединенные наборы (агрегаты) элементов изучаемой совокупности.

1. агрегатный индекс товарооборота

абсолютное изменение товарооборота:  

     Влияние изменения количества выпущенной продукции  на изменение общего товарооборота  отражается агрегатным индексом физического объема I_q.. Влияние изменения цен выражается агрегатным индексом цен I_p.

     В статистической практике индексы количественных показателей исчисляются с базисными весами, а индексы качественных показателей - с отчетными весами. 

2.  агрегатный  индекс физического объема продукции

Абсолютное  изменение товарооборота (прирост или снижение) за счет изменения физического объема продукции:

3.  агрегатный индекс цен

-

абсолютное  изменение товарооборота (прирост  или снижение) за счет изменения  цен, или экономию (перерасход) потребителя за счет изменения цен.

      Взаимосвязь сводных индексов в агрегатной форме:

(в  форме средних  из индивидуальных  индексов)

     Если  неизвестна индексируемая величина за отчетный период или базисный период, но известна величина соответствующего индивидуального индекса, то используется преобразованная форма индекса. Сводный индекс тогда рассматривается как средняя величина соответствующих индивидуальных индексов, и рассчитать его можно как среднюю арифметическую или среднюю гармоническую.

Индексы в форме средней арифметической:

      - сводный индекс товарооборота

     - сводный индекс физического объема продукции

      - сводный индекс цен

Индексы в форме средней гармонической:

      - сводный индекс товарооборота

     - сводный индекс физического объема продукции

     - сводный индекс цен

Значимость  преобразованной формы индексов: в качестве весов осредняемых  индивидуальных индексов используются реальные экономические категории, такие как:

q₁p₁    и     q₀p₀      - фактический товарооборот текущего и базисного периодов;

z₁q₁  и  z₀q₀    - фактические затраты на производство продукции в текущем и базисном периодах (здесь z – себестоимость единицы продукции)

и т.д.