СТАТИСТИКА  КАК НАУКА

  Статистика:

  - практическая деятельность по сбору, накоплению, обработке и анализу цифровых данных, характеризующих население, экономику, культуру, образование и другие стороны жизни общества;

  - отрасль знаний, изучающая явления в жизни общества с их количественной стороны.  

  Статистика  — наука, характеризующая  количественную сторону  качественно определенных массовых явлений  в конкретных условиях места и времени.

  Статистическая  наука сложилась в результате теоретического обобщения накопленного человечеством опыта учетно-статистических работ, обусловленных потребностями управления жизнью общества. 

  В статистической науке выделяются:

  - общая теория статистики,

  - экономическая статистика и ее отрасли (промышленности, сельского хозяйства, транспорта, торговли и др.),

  - социальная статистика и ее отрасли (населения, культуры, образования, права и др.).

  С количественной стороны (в непосредственной связи с качественным содержанием) статистика изучает массовые социально-экономические явления. При этом:

  - количественную сторону явлений нельзя рассматривать в отрыве от их качественной определенности.

  - статистические показатели не относятся к отдельному случаю, а всегда представляют собой результат обобщения данных по массе случаев

  Статистическая  совокупность - это множество единиц изучаемого явления, объединенных в соответствии с задачей исследования единой качественной основой.

  Вариация - различие в величине признака у отдельных единиц совокупности. Признаки, принимающие различные значения у отдельных единиц совокупности, называются варьирующими.

  Статистический  показатель - это количественная оценка свойства изучаемого явления.

  Два основных вида:

  Учетно-оценочные  показатели - это статистическая характеристика размера качественно определенных социально-экономических явлений в конкретных условиях места и времени. Характеристика может даваться на определенную дату или за определенный период.

  Аналитические показатели применяются для анализа статистической информации и характеризуют особенности развития изучаемого явления: относительные и средние величины, показатели вариации, динамики, тесноты связи и др. 

  Признак - характерное свойство изучаемого явления, отличающее его от других явлений. (При статистическом изучении качественный признак получает количественную оценку и становится статистическим показателем)

  Признаки бывают:

1) по  форме выражения:

• атрибутивными (не имеющими количественного выражения, например, профессия, пол, цвет) 
• количественными (например, стоимость основных фондов, списочная численность работников, величина дохода).

При этом количественные признаки могут  быть:

- дискретными

- непрерывными

2) по  характеру колеблемости:

• альтернативными,
• множественными

3) по  роли во взаимосвязи изучаемых  явлений: 

• факторные, воздействующие на другие признаки
• результативные, испытывающие на себе влияние других.

  Содержание статистической методологии составляют общие правила и приемы статистического исследования массовых общественных явлений

  Специфические приемы статистического исследования:

• массовое статистическое наблюдение. Изучаемые статистикой закономерности проявляются в достаточно большом массиве данных на основе действия закона больших чисел (в сводных статистических характеристиках действия элементов случайности взаимопогашаются, хотя они и могут проявляться в признаках индивидуальных единиц статистической совокупности)
• сводка и группировка первичных данных статистического 
  наблюдения;  определение обобщающих показателей; анализ, обобщение и интерпретация статистических показателей. При этом широкое применение имеют табличный и графический методы.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ  СВОДКА И ГРУППИРОВКА

      Статистическая  сводка – систематизация единичных фактов, позволяющая перейти к обобщающим показателям, относящимся ко всей изучаемой совокупности и ее частям, и осуществлять анализ и прогнозирование изучаемых явлений и процессов.

      Статистические  сводки различаются по сложности построения.

      Простая сводка (в узком понимании) представляет, прежде всего, общий размер изучаемого явления по заданным показателям, общие итоги по изучаемой совокупности в целом без какой-либо предварительной систематизации собранного материала

      Статистическая  сводка в широком ее понимании предполагает систематизацию и группировку данных, характеристику образованных групп системой показателей, подсчет соответствующих итогов и представление результатов сводки в виде таблиц, графиков.

      Группировка – это процесс образования однородных групп на основе расчленения статистической совокупности на части или объединение изучаемых единиц в частные совокупности по существенным для них признакам.

      Группировка бывает:

• простой (по одному группировочному признаку) 
• сложной (по двум или нескольким).

      Группировочный  признак, или основание группировки, - признаки, по которому производится распределение единиц наблюдаемой совокупности на группы. 

      С помощью метода группировок решаются задачи:

• выделение социально-экономических типов явлений;
• изучение структуры явления и структурных сдвигов, происходящих в нем;
• выявление связи и зависимости между явлениями.

      Для решения этих задач применяют соответственно типологические, структурные и аналитические группировки.

      Типологическая группировка - это расчленение разнородной совокупности на отдельные качественно однородные группы и выявление на этой основе экономических типов явления.

      Распределение предприятий розничной  торговли региона 

      по  организационно-правовым формам

     Структурная группировка предназначена для изучения состава однородной совокупности по какому-либо варьирующему признаку.

      Группировка торговых предприятий  района по объему товарооборота     

     Аналитическая группировка характеризует взаимосвязь между двумя и более признаками, один из которых рассматривается в качестве результата, а другой – как факторы.

      Качество  продукции и продолжительность

      договорных  связей поставщиков  с магазином

      Результаты  сводки и группировки оформляются  в виде статистических таблиц, в которых выделяются два элемента:

• подлежащее (обычно помещается в первой вертикальной графе) – перечень единиц или групп, на которые подразделена вся масса единиц наблюдения
• сказуемое – цифры, при помощи которых характеризуются выделенные в подлежащем единицы или группы.

      1. Выбор группировочного признака

      2. Выбор количества групп. Если совокупность состоит из большого числа единиц и распределение единиц по группировочному признаку близко к нормальному распределению, то используют формулу Стерджесса:

      n= 1+3,322 * lg N

      3. Определение интервала группировки.

      Интервал – это значение варьирующего признака, лежащее в определенных границах.

      Величина интервала - разность между максимальным и минимальным значениями признака в группе.

      Верхняя граница интервала - максимальное значение признака в группе,

      Нижняя граница - минимальное значение.  

      Интервалы бывают:

      закрытые (с указанием нижней и верхней границы) и открытые (с указанием только одной границы);

      равные или неравные (в зависимости от степени колеблемости группировочного признака, характера распределения статистической совокупности).  

      Если  вариация признака происходит в сравнительно узких границах и распределение носит равномерный характер, то строят группировку с равными интервалами; величина  интервала определяется по формуле:

где x_max – максимальное значение признака в изучаемой совокупности

      x_min – минимальное значение признака в изучаемой совокупности

      n – количество групп

     Ряд распределения – это группировка, в которой для характеристики групп применяется численность или удельный вес группы.

• Атрибутивные ряды распределения – ряды распределения, построенные по качественным признакам.
• Вариационные ряды распределения – ряды распределения, построенные по количественным признакам. По способу построения вариационные ряды бывают:

                  - дискретными

                  - интервальными

     Вариационный  ряд распределения состоит из двух элементов:

     1) Варианта (х) – отдельное значение варьирующего признака.

     2) Частота (f) – численность отдельных вариант, т.е. частота повторения каждого варианта. Частота, выраженная в долях единицы или в процентах к итогу, называется частость (обозначается  w).

     Дискретный вариационный ряд характеризует распределение единиц совокупности по дискретному признаку, принимающему только целые значения.

     Распределение рабочих производственного участка по квалификации

     Графическое изображение дискретных вариационных рядов:

1) полигон распределения, или полигон частот. В прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываются значения варьирующего признака, а по оси ординат наносится шкала для выражения величины частот. Полученные на пересечении абсцисс и ординат точки соединяются прямыми линиями, в результате чего получают ломаную линию.

2) кумулятивная кривая, или кумулята, построенная по накопленным частотам. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не больше, чем рассматриваемое, и определяются последовательным суммированием частот.

     Интервальный вариационный ряд строится в случае непрерывной вариации признака у единиц совокупности, а также в случае, когда число вариант дискретного признака достаточно велико.

     Распределение продавцов магазина по выработке

     Графическое изображение интервальных вариационных рядов:

1) гистограмма: на оси абсцисс откладываются величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенным на соответствующих интервалах. Высота столбиков должна быть пропорциональна частотам.

2) кумулятивная кривая, или кумулята. При построении по данным интервального ряда распределения нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней границе – частота данного интервала.

АБСОЛЮТНЫЕ  И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ  СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ

      Абсолютные  статистические показатели (абсолютные величины) характеризуют абсолютные размеры изучаемых статистикой процессов и явлений: их массу, площадь, объем, протяженность; отражают их временные характеристики, а также могут представлять объем совокупности, т.е. число составляющих ее единиц.

      Примечание. В отличие от математического понятия абсолютной величины, абсолютные показатели в статистике могут быть представлены как положительными, так и отрицательными числами.

      Индивидуальные абсолютные показатели, как правило, получают непосредственно в процессе статистического наблюдения как результат замера, взвешивания, подсчета и оценки интересующего количественного признака.

      Сводные (объемные) абсолютные показатели, характеризующие объем признака или объем совокупности как в целом по изучаемому объекту, так и по какой-либо его части, получают в результате сводки и группировки индивидуальных значений.

      Абсолютные  показатели всегда являются именованными числами. В зависимости от социально-экономической  сущности исследуемых явлений, их физических свойств они могут иметь различные единицы измерения:

• натуральные
• условно-натуральные
• стоимостные
• трудовые

      Относительный показатель (относительная величина) в статистике – это обобщающий показатель, который дает числовую меру соотношения двух сопоставляемых абсолютных величин.

      Величина, с которой производится сравнение (знаменатель дроби), называется базой сравнения, или основанием.

      По  способу получения относительные  величины – всегда производные. Относительный показатель может быть представлен в долях единицы (если значение базы сравнения принимается за единицу; относительная величина представлена в форме коэффициента), в процентах (если база сравнения принимается за 100%), в промилле (если за 1000), продецимилле (если за 10000) и т.д. Существуют также именованные относительные величины (например, показатель фондоотдачи).

Общие принципы построения относительных показателей:

1) Сравниваемые  в относительном показателе абсолютные (или, в свою очередь, относительные)  показатели должны быть объективно  связаны в реальной жизни.

2) При  построении относительного статистического показателя сравниваемые исходные показатели могут различаться только одним атрибутом:

• или видом признака (при одинаковом объекте, периоде времени, плановом или фактическом характере показателей),
• или временем (при том же признаке, объекте, плановом или фактическом характере показателей),
• или только характером показателей (т.е. показатель м.б. фактическим, плановым, нормативным при том же объекте, признаке, периоде времени) и т.д. Нельзя сопоставлять показатели, различные по двум или более атрибутам

3) Необходимо  знать возможные границы существования  относительного показателя. Например, если исходные показатели в  текущем и базисном периодах  имеют разные знаки, то теряет  смысл и не может применяться  относительная величина динамики

1. Относительный показатель динамики (ОПД) характеризует изменение уровня развития явления во времени. Представляет собой отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) к уровню этого же процесса или явления в прошлом.

где

у₀ – уровень показателя в базисном периоде,

у₁ – уровень показателя в отчетном периоде

Примечание. Показатели динамики могут определяться  с использованием постоянной либо переменной базы сравнения. При расчете базисных показателей динамики (на постоянной базе сравнения) каждый уровень у_i сравнивается с одним и тем же базисным уровнем у₀. Для расчета цепных показателей динамики (на переменной базе сравнения) каждый уровень у_i сравнивается с предыдущим у_i-1.

Взаимосвязь цепных и базисных показателей динамики: произведение последовательных цепных относительных показателей динамики равно величине базисного показателя динамики, исчисленной за тот же период, и наоборот, частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста. 

2. Относительный показатель  планового задания (ОПП) рассчитывается как отношение уровня, запланированного на предстоящий период у_пл, к уровню, фактически сложившемуся в предшествующем периоде у₀:

ОПП = у_пл  / у₀

3. Относительный показатель  выполнения планового задания (ОПВП) рассчитывается как отношение фактически достигнутого в данном периоде уровня у₁   к запланированному на данный период у_пл:

ОПВП_.= у₁  / у_пл

4. Относительные показатели  структуры (ОПС) характеризуют доли, удельные веса составных элементов в общем итоге. Как правило, в форме процентного содержания.

где

Y –   уровень части совокупности,

SY – суммарный уровень совокупности

5. Относительные показатели  координации (ОПК) характеризуют отношение частей данной совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения. ОПК показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой, либо сколько единиц одной части приходится на 1, 10, 100, 1000 … единиц другой части.

где

Y_i – показатель, характеризующий i-ую часть совокупности

Y₀ – показатель, характеризующий часть совокупности, выбранную в качестве базы сравнения 

6. Относительные показатели сравнения (наглядности) характеризуют результаты сопоставления одноименных абсолютных величин, относящихся к одному и тому же периоду либо моменту времени, но к различным объектам или территориям.

где

Y_А – показатель, характеризующий объект А

Y_Б – показатель, характеризующий объект Б 

7. Относительные показатели  интенсивности (ОПИ) характеризуют степень распределения или развития данного явления в той или иной среде. Это отношение абсолютного уровня одного показателя, свойственного изучаемой среде, к другому абсолютному показателю, также присущему данной среде, и, как правило, являющемуся для первого показателя факторным признаком.

   Разновидностью относительных показателей интенсивности являются относительные показатели уровня экономического развития, характеризующие производство продукции в расчете на душу населения.

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

   Средние величины – это обобщающие показатели, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

   Сущность  средней величины состоит в том, что она отражает общие черты, закономерности, тенденции, присущие данной совокупности, погашая влияние индивидуальных (случайных факторов) и поэтому является обобщающей характеристикой варьирующего признака качественно однородной совокупности. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя.

   Все виды средних величин, используемые в статистических исследованиях, подразделяются на 2 категории: степенные и структурные.

   В зависимости от вида представления  исходных данных средние величины могут  быть:

• простыми
• взвешенными

     Правило мажорантности: _гарм< _геом< _арифм< _квадр

   Вопрос  о том, какой вид средней надо применить в каждом отдельном  случае  решается исходя из задачи исследования, материального содержания изучаемого явления и наличия исходной информации. При этом величины, представляющие собой числитель и знаменатель в формуле средней, должны иметь определенный логический смысл.

• Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок.
• Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной. В том случае, когда объемы явлений (т.е. произведения) по каждому признаку равны, применяется средняя гармоническая простая.
• Средняя геометрическая – это величина, используемая как средняя из отношений. Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел, т.е. когда индивидуальные значения признака – относительные величины. Например, средняя геометрическая используется при расчете среднегодовых темпов роста.
• Средняя квадратическая – используется при расчете показателей вариации признака, а также в технике

1. Сумма  отклонений индивидуальных значений  признака от их средней величины  равна нулю.

2. Сумма  квадратов отклонений индивидуальных  значений признака от их средней величины есть величина минимальная.

3. Если  все частоты разделить на одно  и то же число, средняя арифметическая  останется без изменений. Следствие: для расчета средней арифметической можно воспользоваться не только значениями частот, но и значениями частостей: 

Структурные средние: Мода

     Мода – величина признака, наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака.

     В дискретном ряду распределения мода – это варианта, которой соответствует  наибольшая частота.

     В интервальном ряду распределения сначала  определяют модальный интервал (т.е. интервал, содержащий моду), которому соответствует наибольшая частота. Конкретное значение моды определяется формулой:

x_Mo – начальное значение модального интервала

i_Mo – величина модального интервала

f_Mo    – частота модального интервала

f_Mo-1  – частота интервала, предшествующего модальному

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным

     При этом мода будет несколько неопределенной, т.к. ее значение будет зависеть от величины групп, точного положения границ групп.

     Медиана – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения, не большие, чем средний вариант, а другая – не меньшие.

     Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:  

∑ |х-Ме| < ∑ |х-A| ,    где А=Ме

      В ранжированном ряду с нечетным числом членов медиана - это варианта, расположенная в центре ряда. В ранжированном ряду с четным числом членов за медиану условно принимают среднюю арифметическую из двух вариант, расположенных в центре ряда.

     В дискретном ряду распределения медиана рассчитывается с помощью накопленных частот: медианой является варианта, которой соответствует накопленная частота, впервые превысившая половину общей суммы частот.

     В интервальном ряду распределения с помощью накопленных частот определяют медианный интервал (т.е. интервал, содержащий медиану), которому соответствует накопленная частота, впервые превысившая половину общей суммы частот. Затем конкретное значение медианы рассчитывают по формуле

где

х_Ме - начальное значение медианного интервала

i_Me - величина медианного интервала

S_Me-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу

f_Me – частота медианного интервала

     Мода  определяется по полигону или гистограмме  распределения. В первом случае мода соответствует наибольшей ординате. Во втором – правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым углом предыдущего  прямоугольника, а левую вершину – с левым углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения – этих прямых будет модой распределения.

     Медиана определяется по кумуляте (рис.3). Для  ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей  численности совокупности, делят  пополам. Через полученную точку  проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой.

ПОКАЗАТЕЛИ  ВАРИАЦИИ

     Различие  индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности называется вариацией признака.

     Показатели вариации характеризуют колеблемость отдельных значений, степень их близости к средней. 

      Если  >33%, то это говорит о том, что колеблемость признака в совокупности значительна, совокупность неоднородна, а средняя не является представительной.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю
2. Если у всех значений вариант отнять постоянное число А (А=const), то средний квадрат отклонений (дисперсия) не изменится
3. Если все значения вариант разделить на постоянное число А (А=const), то средний квадрат отклонений (дисперсия) уменьшится в А² раз

      Альтернативные  признаки – это признаки, которые  могут принимать только два взаимоисключающих  значения.

      Наличие признака обозначается 1, а доля единиц совокупности, обладающих данным признаком, обозначается р.

      Отсутствие  признака обозначается 0, а доля единиц, не обладающих данным признаком, - q. 

      Очевидно, p+q=1.

т.е.

   Дисперсия альтернативного  признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, и доли единиц, не обладающих им.

Виды  дисперсий в совокупности, разделенной на части

Если  изучаемая совокупность подразделена на группы, однородные по изучаемому признаку, то можно исчислить следующие виды дисперсий:

• Внутригрупповые дисперсии ( , … ), отражают дисперсию внутри каждой из выделенных групп под влиянием случайной вариации (т.е. части вариации, происходящей под влиянием неучтенных факторов и не зависящей от признака-фактора, положенного в основание группировки).
• Средняя из внутригрупповых дисперсий ( ) – это средняя арифметическая взвешенная из внутригрупповых дисперсий.

      где

       - численность выделенных групп

• Межгрупповая дисперсия ( ) – это средний квадрат отклонений групповых средних от общей средней. Характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого (результативного) признака за счет признака-фактора, положенного в основание группировки.

      где

       - внутригрупповые средние

       - общая средняя, которую можно исчислить двумя способами:

1) как среднюю арифметическую взвешенную из внутригрупповых средних:

2) обычным способом по данным всей совокупности

• Общая дисперсия ( ) характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности. Общую дисперсию, так же как и общую среднюю, можно исчислить двумя способами:

     1) по правилу сложения дисперсий

     2) обычным способом по данным всей совокупности

общая дисперсия равна сумме величин средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.

     Правило сложения дисперсий позволяет выявить  зависимость результативного признака от определяющих его факторов с помощью соотношения межгрупповой и общей дисперсий. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную влиянием вариации факторного признака:

      Эмпирическое  корреляционное соотношение позволяет оценить степень связи между результативным и факторным признаками:

Качественная  оценка степени связи между признаками

(шкала  Чэддока)

Изучение  формы распределения

  Распределение непрерывной случайной величины  x  называют  
нормальным, если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой

          ,

         или            ,    

где x  – значение изучаемого признака;

         – средняя  арифметическая ряда;

      s²  – дисперсия значений изучаемого признака;

      s  – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;

      π = 3,1415926;  е = 2,7182;

         – нормированное отклонение.

1. Кривая симметрична относительно максимальной ординаты ( =  Ме  = Мо)
2. Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс в обе стороны до бесконечности. Следовательно, чем они дальше от центра, тем реже встречаются. Равноотстоящие от центра значения равновероятны.
3. Кривая имеет две точки перегиба (х ± s).
4. Кривая нормального распределения подчиняется правилу трех сигм:

  в интервале  х ± s находится 68,3 % наблюдений

  х ± 2s  находится 95,4 %

  х ± 3s находится 99,7% 

   Момент  распределения  k-го   порядка – средняя величина отклонений  k-й степени от некоторой постоянной величины  А:

          .    

   Если     А – произвольное число, то моменты условные. 

   Если         А = 0, то моменты начальные;

            (в частности,  m₀ = 1;  m₁ – средняя арифметическая (m₁= )) 

   Если       А = , то моменты центральные;

              _(5.33)

            (в частности,  = 1; = 0; – дисперсия ( =s²))

   Нормированные моменты:

                 (5.34)

             (в частности,  μ₀=1;     μ₁=0;     μ₂=1) 

   Для центральных  моментов можно вывести зависимости  от начальных моментов: