Основы корреляционного анализа

Содержание 

Основы корреляционного  анализа

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Основы  корреляционного  анализа

     Корреляционный  анализ, разработанный К.Пирсоном и  Дж.Юлом, является одним из методов  статистического анализа взаимозависимости нескольких признаков - компонент случайного вектора x. Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке степени зависимости между случайными величинами. Степень линейной зависимости между количественными переменными характеризуется с помощью парных, частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

     Парный  коэффициент корреляции характеризует  тесноту линейной зависимости между  двумя переменными на фоне действия всех остальных показателей, входящих в модель. Частный коэффициент  корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между двумя переменными при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель. Данные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до +1, причем чем ближе коэффициент корреляции к +1, тем сильнее зависимость между переменными. Если коэффициент корреляции больше 0, то связь положительная, а если меньше нуля - отрицательная.

      Множественный коэффициент корреляции характеризует  тесноту линейной связи между  одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель; изменяется в пределах от 0 до 1. Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием всех остальных переменных (аргументов), входящих в модель.

      Исходной  для анализа является матрица:

      

      размерности (n x k), i-я строка которой характеризует i-е наблюдение (объект) по всем k-м показателям (/=1, 2, ..., k).

      В корреляционном анализе матрицу X рассматривают как выборку объема n из k-мерной генеральной совокупности, подчиняющейся k-мерному нормальному закону распределения.

     По  выборке определяют оценки параметров генеральной совокупности, а именно: вектор средних (х ), вектор средне-квадратических отклонений s и корреляционную матрицу (R) порядка (k*k): 

      

      Матрица R является симметричной и положительно определенной:

      

      где - значение i-го наблюдения j-го фактора; Гц - выборочный парный коэффициент корреляции, характеризует тесноту линейной связи между показателями xj и x/. При этом г-/ является оценкой генерального парного коэффициента корреляции.

      Кроме того, находятся точечные оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции (к-2)-го порядка между факторами и равен:

      

      где - алгебраическое дополнение элемента корреляционной матрицы R. При

этом  где M- - минор, определитель матрицы, получаемой из матрицы R путем вычеркивания j-й строки и l-го столбца.

      Множественный коэффициент корреляции (к-1)-го порядка фактора (результативного признака) X₁ определяется по формуле:

      

      где - определитель матрицы R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задание 1

     По  данным n=10 машиностроительных предприятий методами корреляционного анализа исследуется взаимосвязь между следующими показателями: X₁ - рентабельность (%); Х₂ - премии и вознаграждения на одного работника (млн.руб.); X₃ - фондоотдача.

 

     Требуется:

     а) рассчитать вектора средних и среднеквадратнческих отклонений, матрицу парных коэффициентов корреляции

     б) проверить при α=0,05 значимость парного коэффициента корреляции ρ₁₂ и найти его интервальную оценку с доверительной вероятностью γ=0,95;

     в) по корреляционной матрице R рассчитать частный коэффициент корреляции ;

     г) проверить при α=0,05 значимость частного коэффициента корреляции ρ_12/3 и определить его интервальную оценку при γ=0,95;

     д) по корреляционной матрице R вычислить оценку множественного коэффициента корреляции и при α=0,05 проверить гипотезу Н₀: . 
 

     Решение:

     а) рассчитаем вектора средних и  средне – квадратических отклонений, матрицу парных коэффициентов корреляции .

     

     Расчет  представлен в таблице 1.

     В результате получим:

     

     б) проверим при  значимость парного коэффициента корреляции .

     Найдем 

     Здесь для парного коэффициента корреляции.

     Так как  , то гипотеза отвергается, т.е. предположение о его равенстве нулю отвергается, противоречит наблюдениям, но мало. Найдем интервальную оценку для при .

     По  таблице преобразования Фишера для  будет иметь .

     По  таблице нормального распределения  из условия найдем .

     Тогда

     Откуда 

     По  таблице Z – преобразования для и найдем интервальную оценку для :

     

     Полученная  интервальная оценка подтверждает вывод о не значимости парного коэффициента корреляции , т.к. ноль находится внутри доверительного интервала.

     в) рассчитываем частный коэффициент  корреляции :

     

     где

     г) проверим при  значимость частного коэффициента корреляции и определим его интервальную оценку при .

     Найдем 

      , значит, отвергаем гипотезу  о равенстве  нулю.

     По  таблице преобразования Фишера для  будем иметь .

     Тогда

     Откуда 

     По  таблице Z – преобразования для и найдем интервальную оценку для :

     

     Интервальная  оценка подтверждает вывод о значимости частного коэффициента корреляции.

     д) вычисляем оценку множественного коэффициента корреляции .

     

     где

     Проверим  гипотезу

     

     Критическое значение по таблице F – распределения

     

     Так как  , то гипотеза отвергается, то есть множественный коэффициент корреляции не равен нулю .

     Таблица 1

     

     Задание 2

   На  основании данных о темпе прироста (%) внутреннего национального продукта (У) и промышленного производства (Х), десяти развитых стран мира за 1992 г., приведенных в таблице и предположения, что генеральное уравнение регрессии имеет вид: ŷ = b₀ +b₁х.

     Требуется:

     а) определить оценки вектора b и остаточной дисперсии Y² ;

     б) при α=0,05 проверить значимость уравнении регрессии;

     в) при α=0,05 проверить значимость коэффициентов уравнения;

     г) с доверительной вероятностью γ=0,9 построить интервальные оценки β₀ и β₁;

     д) с доверительной вероятностью γ=0,9 построить интервальные оценки уравнения регрессии в точках, определяемых вектором начальных условий

     Решение:

     Определим вектор оценок в коэффициентов регрессии

     

     

     Найдем  обратную матрицу

     

     Вектор  оценок коэффициентов регрессии  равен

     

     Оценка  уравнения регрессии будет иметь  вид:

     

     Определим вектор модельных значений результативного показателя

     

     Тогда

     Наименьшая  оценка остаточной дисперсии

     

     Оценка  среднего квадратического отклонения

     

     б) при  проверим значимость уравнения регрессии.

     

     где                                         (расчет в таблице 2)

     По  таблице F – распределения для находим . Так как , то уравнение является значимым.

     Найдем  оценку ковариационной матрицы вектора  :

     

     Отсюда  получаем несмещенные оценки дисперсий и среднеквадратических отклонений коэффициентов регрессии:

     

     в) проверим при  значимость коэффициентов уравнения регрессии.